導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題

1、1導(dǎo)數(shù)恒成立問(wèn)題21 已知函數(shù)f(x) = ax 2ln(1-x)(a 為實(shí)數(shù))(I)若f(x)在x - -1處有極值，求 a 的值；(II)若f(x)在一3,一2上是增函數(shù)，求 a 的取值范圍。(I)由已知得f(x)的定義域?yàn)?一:,1)又f(x) =2ax 3 分1 -x.由題意得f( -1) = -2a-1 =0121121；x-3,_2,._(x_)2的最大值為_(-2_)2._ = _6242422即2 10,故a = -3(n)f (x)的定義域?yàn)?, *.1a.5 分2(II)解法一：依題意得f( x)0對(duì)x -3,-2恒成立，.二ax 02ax12-xa :1-x1 2x7 分

2、9 分1的最小值為+ 12 分11+121又因a -時(shí)符合題意61.a為所求62設(shè)函數(shù)f (x) =1 n x x2ax.1(I)若x時(shí)，f (x)取得極值，求a的值；(n)若f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍;18.解：解:f (x)2x a22x ax 114 分32 2方程2x ax 0的判別式幾=a -8,當(dāng).: 0,即2、2 a22時(shí)，2x2ax 1 _ 0,f (x) _0在0, :內(nèi)恒成立，此時(shí)f (x)為增函數(shù)當(dāng)=:-0,即a -2 .2或a2、2時(shí)，要使f (x)在定義域0, 內(nèi)為增函數(shù)，只需在0, 內(nèi)有2x2ax 0即可,設(shè)h(x) = 2x2ax 1，h(0)

3、=10,_由a得a 0, 所以a 2 2.02 2由 可知，若f(x)在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，a的取值范圍是-鳥遼，.9 分3設(shè)函數(shù) f(x) =(1 x)2-2In(1 x).(I)求 f (x)的單調(diào)區(qū)間；(H)若當(dāng) x 引2he“時(shí)，不等式 f (x)0;由 f/(x) 0 ,得1 ：x ：0.f (x)的遞增區(qū)間是(0, ：；)，遞減區(qū)間是(-1, 0).(n)v由 f /(x) =2x(x2)=0，得 x=0, x=-2 (舍去) x+1由(I)知 f (x)在! T,0上遞減，在0, e1上遞增e ，111又 f( 1)2 2，f(e-1)=e-2,且 e - 22 2 eee當(dāng)x壬

4、-怡一“時(shí)，f (x)的最大值為 e2-2 .24e ，故當(dāng) m e2-2 時(shí)，不等式 f (x)1 或 xo,只須 g(x)=0 在0,1和(1,2上各有一個(gè)實(shí)數(shù)根，于是有g(shù)：.0,g(2)_0./22ln 2 ：3 _2ln 3, 實(shí)數(shù) a 的取值范圍是2 _2l n2：a3_2l n3.14 分214.已知函數(shù)f (x)二ax21n x (x 0).x(i)若f (x)在1：)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；20.(本題滿分 14 分)2112解：(I)由f (x) = ax止-2l nx，得f (x) =2ax-2-.2 分xxx由函數(shù)f (x)為1,：)上單調(diào)增函數(shù)，得f(X)_0在

5、1,二)上恒成立,1 2即不等式2ax20在1, *：)上恒成立.x x11也即a -32在1,二)上恒成立.4 分2x x11令g(x)3上述問(wèn)題等價(jià)于a -g(x)max.2xx113而g(x)32為在1,=：)上的減函數(shù)，貝 Ug(X)max= g(1)：2x x23于是a為所求.6 分25.已知函數(shù)f (x) =xln x.(I)求f (x)的最小值；(n)若對(duì)所有x-1都有f (x) _ ax -1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18.(本小題滿分 13 分)(I)解：令f (x) 0，解得x；令f (x) 0，xlx丿故g(x)是(1，+=0)上的增 函數(shù)，g(1)=1，.12 分從而a的取(皿,1.對(duì) 于,