醫(yī)學(xué)科學(xué)研究導(dǎo)論的課外翻譯分享

1、真誠(chéng)為您提供優(yōu)質(zhì)參考資料，若有不當(dāng)之處，請(qǐng)指正。313下319頁(yè)11. 近似值 雖然建立問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型通常是最困難的步驟，他比得上用合適的方法的得到結(jié)果的近似值。原始數(shù)學(xué)模型常常與事物的本性相似，但同時(shí)這個(gè)模型很少能徹底地解決問(wèn)題。 許多專業(yè)的近似值是有效的，通常其用處是在序列中那個(gè)延伸。我們必須記住這類序列大多數(shù)集中于復(fù)平面上的某個(gè)范圍內(nèi)，并且有限數(shù)目的條件可得到起初符合但逐漸低于那一點(diǎn)的近似值。此外，必須考慮到不同類型的完全收斂性和條件性，特別是多重級(jí)數(shù)。除非序列是完全收斂的，我們必須抵制重排數(shù)據(jù)順序的誘惑，許多問(wèn)題的方程式的提出，有多個(gè)參量可選擇，且某一個(gè)的選擇會(huì)優(yōu)于另一個(gè)。適當(dāng)?shù)?，?shù)列

2、數(shù)據(jù)近似值的選擇，必須在對(duì)余數(shù)有一個(gè)更高的限制的前提下估計(jì)，不幸的是，這常常不可能實(shí)現(xiàn)。因此，結(jié)果具有限制性，僅在開(kāi)端有效。對(duì)于任何方程式的實(shí)際有效性而言，它確實(shí)比練習(xí)值有效，有時(shí)實(shí)驗(yàn)性結(jié)果可以用來(lái)證明這類近似值。如果能發(fā)現(xiàn)序列的高級(jí)項(xiàng)造成一些未被注意的性質(zhì)上的影響，例如，光譜線的分裂，必須承認(rèn)僅僅是實(shí)驗(yàn)中有限數(shù)據(jù)的協(xié)調(diào)，并不意味著一個(gè)方程式是收斂的。 另一種類型的無(wú)限序列的巨大效用是方程式的正交函數(shù)，傅立葉序列是僅有的例子。它與乘方序列的差異在于收斂性和近似值的特性。例如，即使是間斷方程，也盡其所能的再呈遞。此外，與乘方序列相似，有限個(gè)數(shù)據(jù)得出的近似值通常在間距，而非形成一個(gè)點(diǎn)。通常，正交函

3、數(shù)有多個(gè)類型，如，三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，厄米函數(shù)，勒讓德多項(xiàng)式，及拉蓋爾多項(xiàng)式，因?yàn)槊恳粋€(gè)選擇都是最佳的，這些函數(shù)值得我們?nèi)フ莆掌湫再|(zhì)。一類非常重要的近似值由漸近線方程得出，它們類似于乘方序列，但卻是分散的。隨著條件的增多，起初近似值變好，但一段時(shí)間后，新增的條件使得近似值的情況逐漸惡化，有分散的變成無(wú)窮的。隨著方程多樣性的下降，有效條件的數(shù)量增加，自然的，使用適量數(shù)量的條件，對(duì)于多樣性而言，只有有限的精確度是可得的，但它通常高于擁有有限個(gè)條件的收斂性序列。階乘的斯特靈近似值是著名的漸進(jìn)線方程。這個(gè)公式是： (1)若n的值在范圍內(nèi)足夠大，這個(gè)級(jí)數(shù)將得到完美精確的百分率。雖然它的絕對(duì)差異可能是巨大

4、的，連續(xù)近似值的方法適用范圍十分的廣泛。比如等式變化形成的猜想： X=f(x) (2)如果f(x)的范圍是： (3)然而： (4) 是一個(gè)比第一次試解出的x。值更好的方程式的近似根（關(guān)于x。,f(x)必須是有擴(kuò)展性的）。然后通過(guò)利用f(x)的x1，就可以得到下一個(gè)近似值，以此類推，通過(guò)對(duì)原有方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)闹匦屡帕械倪^(guò)程，也常?？梢允狗匠炭焖僮冃纬赡阆胍氖阶樱热缦旅孢@個(gè)方程的例子： (5)轉(zhuǎn)化成： (6)就成了前面的方程（2）。如果開(kāi)始使用的值與x十分相近，這個(gè)公式就提供了一個(gè)快速得到平方根的方法，特別是用計(jì)算器計(jì)算的時(shí)候。這個(gè)連續(xù)近似值的方法可以被代數(shù)的或算術(shù)的使用，雖然，后者更常用。因?yàn)?/p>

5、代數(shù)方法似乎是會(huì)把簡(jiǎn)單變得更復(fù)雜（第12、13節(jié)會(huì)有更深入的討論）有時(shí)要通過(guò)一系列的項(xiàng)安全方向的代換，可能才能得到一個(gè)想得到的。與上下限接近的最適的數(shù)學(xué)表達(dá)式。這個(gè)過(guò)程可能比得到某個(gè)確切的值或表達(dá)式容易。而為了達(dá)到眼下的目的，也足夠了。如果一些可以忽略的值受到懷疑，這一點(diǎn)尤其正確。得到一個(gè)在限制條件之上的結(jié)果的實(shí)根可能十分簡(jiǎn)單。如果上限本身是可忽略的，那得到的值一定也是。這是一個(gè)從擴(kuò)展式中展示可忽略的其余數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)方法。11.8正規(guī)系統(tǒng) 當(dāng)一個(gè)給出的問(wèn)題不是孤立的，而是一個(gè)以解決的相似問(wèn)題的部分，這時(shí)我們就需要建立一個(gè)符號(hào)或運(yùn)算過(guò)程的正規(guī)系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)普遍的適用于問(wèn)題的所有階段并且一旦建立，任何

6、問(wèn)題的解決方法都會(huì)變得簡(jiǎn)單起來(lái)。有時(shí)，這個(gè)數(shù)量足以發(fā)展為一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，不過(guò)，它很少像正規(guī)系統(tǒng)那樣大。 例如，向量代數(shù)就不過(guò)是一個(gè)在三維空間上，通過(guò)注記設(shè)計(jì)使陷入僵局的問(wèn)題簡(jiǎn)單化的系統(tǒng)。如果僅僅只是這樣一個(gè)問(wèn)題需要解決，在發(fā)展或者學(xué)習(xí)這個(gè)符號(hào)的規(guī)則的時(shí)候，它將不會(huì)具有價(jià)值。因?yàn)槿绾慰梢杂孟蛄拷鉀Q的問(wèn)題也可以不使用向量解決。然而，當(dāng)很多應(yīng)用程序不得不解決的時(shí)候，時(shí)間和努力的投資也可以很快得到回報(bào)。 整個(gè)的階級(jí)代數(shù)學(xué)而不是普通代數(shù)學(xué)知識(shí)的拓展是經(jīng)常被獎(jiǎng)勵(lì)的。（“代數(shù)學(xué)”術(shù)語(yǔ)被數(shù)學(xué)家經(jīng)常在一個(gè)更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)理念中。）對(duì)稱的代數(shù)學(xué)運(yùn)算就是一個(gè)例證。這些證書呈現(xiàn)的不是作為普通代數(shù)學(xué)里的數(shù)字，而是對(duì)稱運(yùn)

7、算，例如一架飛機(jī)對(duì)稱性的反映或者關(guān)于四倍重對(duì)稱軸四分之一旋轉(zhuǎn)輪流。這些是代數(shù)學(xué)的原理。然后，必須有一個(gè)或者更多個(gè)為這些原理組合的模型。紫塞這種情況下，兩種原理的產(chǎn)物被定義為對(duì)于它們成功的應(yīng)用程序是等價(jià)的運(yùn)算，“產(chǎn)物”這一名字很少被使用，因?yàn)檫@種組合模型有特定的運(yùn)用普通代數(shù)學(xué)產(chǎn)物的類推法，并且為了解釋一個(gè)想法而使用大量的新單詞而使語(yǔ)言雜亂，那是不令人滿意的。然而，代數(shù)學(xué)是不完整的，它經(jīng)常造成對(duì)稱運(yùn)算優(yōu)先的差別，那就是AB可能不同于BA。為了更加深入地表述關(guān)于代數(shù)學(xué)的對(duì)稱運(yùn)算，它在交警學(xué)，分子構(gòu)造，和其他領(lǐng)域，回顧See11.5. 在航線代數(shù)學(xué)有了3個(gè)組合模型，稱為加法，標(biāo)量乘法和矢量乘法，這可能

8、會(huì)被記錄下來(lái)。其他常見(jiàn)的代數(shù)學(xué)包括混合代數(shù)學(xué)，階段代數(shù)學(xué)，（Sec10.4）和使用符號(hào)的邏輯學(xué)（Sec10.5）。另外一個(gè)是實(shí)驗(yàn)構(gòu)思設(shè)計(jì)的代數(shù)學(xué)（Sec4.8）正式的系統(tǒng)對(duì)代數(shù)學(xué)沒(méi)有限制，但是這些例證是最基本的觀點(diǎn)。（一樣看Sec12.11） 總的來(lái)說(shuō)，這并沒(méi)有回報(bào)去建立一個(gè)詳盡的記號(hào)法系統(tǒng)去解決一個(gè)可以用標(biāo)準(zhǔn)方法去解決單一問(wèn)題。使用某人自己的發(fā)明并且忘記投入可能比回報(bào)更大證明合法，它很容易使人昏頭昏腦，特別是為了他人。對(duì)于肉體的測(cè)心術(shù)者打開(kāi)一本書處理一門他非常感興趣的科目，而僅僅找到幾個(gè)必須在其他如何有用的可以在書的剩余部分引出的知識(shí)前掌握的數(shù)學(xué)運(yùn)算（可能沒(méi)有其他應(yīng)用領(lǐng)域）新分支更令人氣餒了

9、。 然而，在勞力被很好的節(jié)約，并且系統(tǒng)是相當(dāng)簡(jiǎn)單的地方，它經(jīng)常被高度利用去發(fā)展一個(gè)正常的系統(tǒng)。這一點(diǎn)對(duì)于記憶是，任何具有合理的能力的人可以構(gòu)造他自己的標(biāo)記法系統(tǒng)，或者數(shù)學(xué)運(yùn)算，當(dāng)需要的時(shí)候。早書中，這些分支里的數(shù)學(xué)運(yùn)算已經(jīng)不受限制了。11.9 一些證明的普通方法有時(shí)獲得一個(gè)數(shù)學(xué)定理通過(guò)試驗(yàn)和歸納而缺少嚴(yán)格證明也是可以的?？梢栽谂既坏那闆r下通過(guò)猜測(cè)得到公式，然后通過(guò)一些特殊的例子進(jìn)行驗(yàn)證。證明這些定理有2種常用方法，反正論法和數(shù)學(xué)歸納。反正論法假定該問(wèn)題的定理不是真的，然后逐步從它的反面推導(dǎo)出真正錯(cuò)誤的。如果推導(dǎo)的過(guò)程是正確的，那么錯(cuò)誤的結(jié)論就必須是出發(fā)點(diǎn)，換句話說(shuō)，開(kāi)始的定理的假設(shè)是不對(duì)的。數(shù)

10、學(xué)歸納是對(duì)于依賴于構(gòu)成整體所必須的因素的n的結(jié)果的初級(jí)使用的方式。它表明，如果定理對(duì)n=m正確，它必須對(duì)n=m+1正確。試驗(yàn)證明它對(duì)n=1正確，由此又對(duì)所有n正確。例如，思考第一個(gè)n平方的總和的公式： (1)如果對(duì)n正確，則 (2)這表明如果公式對(duì)n正確，它對(duì)n+1也正確，但公式必須標(biāo)明對(duì)n=1時(shí)時(shí)正確的，它因此也對(duì)于n= 2正確，從n=3,4,5.開(kāi)始也正確。它因此是普遍正確的。11.10度量大多數(shù)的數(shù)值，但不是所有，物理量被給予一個(gè)單位。例如，一個(gè)竿的長(zhǎng)度從竿一端到另一端用一個(gè)數(shù)字的英寸來(lái)表示。這個(gè)精準(zhǔn)的一定的量被稱為主要性質(zhì)，選擇性質(zhì)為主要的有些主觀上方便的因素，它是一個(gè)慣例包括質(zhì)量、長(zhǎng)

11、度、時(shí)間。但要強(qiáng)調(diào)不論如何，選擇無(wú)關(guān)于宗教，只是為了用的時(shí)候方便罷了。同一種單位的數(shù)值的比，規(guī)定兩個(gè)長(zhǎng)量用同一種單位測(cè)量，單位的選擇并不重要。不是因?yàn)樯畹恼軐W(xué)的因素，只是因?yàn)槿诉x擇測(cè)量長(zhǎng)度的步驟，所以它是正確的。礦物學(xué)范圍的硬度是一個(gè)物理量的代表，數(shù)值測(cè)量不具有這樣的特性，因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)是不均等的。第二性質(zhì)，體積不常被用作主要性質(zhì)。盡管如此它在日常生活被測(cè)量，通過(guò)直接被對(duì)照的體積單位，加侖或升。通過(guò)實(shí)驗(yàn)性發(fā)現(xiàn)Euclidean幾何假定物質(zhì)世界的水力應(yīng)用是充足的近似等級(jí)，因此可以計(jì)量體積用一個(gè)小的度量值。因此一個(gè)長(zhǎng)方體體積是 （1）在上述表達(dá)式中，l為長(zhǎng)度，w是寬度，h是高度，同時(shí)k是一個(gè)常量，他們的

12、值不依賴于計(jì)算的容器，而決定于表達(dá)它們的單位。常量k 被叫作量綱常數(shù)，在現(xiàn)代理論中是非常重要。如果v用加侖表示，l、w、h用英寸表示，那k的值為4.33 ×雖然既不必要甚至也不特別普遍，但這是有可能的。定義體積的一個(gè)特殊單位等級(jí)為的是制定量綱常量K。例如，如果長(zhǎng)度是用英尺來(lái)測(cè)量，則表達(dá)單位叫立方英尺，如果長(zhǎng)度是從厘米測(cè)量，制定了K單位的體積單位叫立方厘米。當(dāng)一個(gè)量被特選的單位表示，為了抑制一個(gè)量綱常量，則這個(gè)量叫中級(jí)量。再次說(shuō)明，這種術(shù)語(yǔ)并不意味著任何意義，同時(shí)相同是物質(zhì)的量有時(shí)候可能被認(rèn)為是初級(jí)的或中級(jí)的。對(duì)于那些初級(jí)的或中級(jí)的量的關(guān)注是有約束的，是要符合“比率條件”，viz,相同

13、量的兩個(gè)測(cè)量的比，這已經(jīng)被規(guī)定，只有中級(jí)量符合這一規(guī)定，才能被科學(xué)測(cè)量所采用，但這是不標(biāo)準(zhǔn)的。這個(gè)規(guī)定有時(shí)是有價(jià)值的。當(dāng)放棄比率條件的限制時(shí)。例如，氫離子集結(jié)的PH比例的情況，但量綱原則的益處就得不到了。量綱：如果比率條件被滿足是被要求的，可以用來(lái)生成職工年紀(jì)了的數(shù)學(xué)關(guān)系的種類是嚴(yán)格受限的。假設(shè)一個(gè)被給予的中級(jí)量是被確切的獨(dú)立的初級(jí)量所確定，然后用某些特殊方法測(cè)量，它的測(cè)量值將是一個(gè)有關(guān)于的測(cè)量或F所表示的有影響的形式的地方的影響=F（） （2）假設(shè)的單位因一個(gè)因素t而減少，然后能被插入F代替的數(shù)是tx，同時(shí)的值將會(huì)改變。但比率條件確保的任何改變都必須均衡與（或F）的條件，以致比/n的瘋子們將均衡。離開(kāi)比例不變式 （3） 由此，是一個(gè)均衡常量，然后t與表達(dá)式一致 （4）（5）“常數(shù)將不由決定，但是和的一個(gè)影響，一個(gè)精確相似的論證顯示其他初級(jí)量和的決定影響也必須認(rèn)為是簡(jiǎn)單能力的形成。所以最后獲得K的地方是一個(gè)常量（6）其結(jié)果是如果一個(gè)量滿足比例規(guī)律，同時(shí)與同樣滿足比例規(guī)律的初級(jí)量相XXX，嗎這關(guān)系必須是Eq(6)的形式。指數(shù)1，2，3可以是正或負(fù)，整數(shù)或分?jǐn)?shù)。如果·····&