第六章多元函數微分學基礎ppt課件

1、第六章第六章 多多 元元 函函 數數 微微 分分 學學(一) 本 章 內 容 小 結(二) 常見問題分類及解法(三) 思 考 題(四) 課 堂 練 習( (一一) )本章內容小結本章內容小結一、主要內容一、主要內容 1、空間解析幾何簡介2、矢量的概念，線性運算及坐標表示，兩向量的數量積與 向量積。3、平面的點法式與一般式方程，直線的標準式與一般式方 程，曲面與空間曲線，常見的二次曲面。4、多元函數的概念，二元函數的極限與連續(xù)。5、偏導數與全微分。6、多元復合函數與隱函數的求導法。7、多元函數的極值、最大值和最小值。二、對學習的建議二、對學習的建議 本章的第二節(jié)和第三節(jié)是空間解析幾何較深入的內容

2、，學時較少的專業(yè)可以不學或選學，而對有些專業(yè)，如計算機專業(yè)，建筑工程專業(yè)，應該是必修的內容，為了配合本章內容的學習，特提出如下建議，供讀者參考。 1、直線、平面方程是用坐標法與向量相結合的方法建立起來的。學習空間解析幾何不僅要熟悉以上圖形，更應深入理解采用數、形結合及運用向量研究空間圖形的基本思想和方法。 2、學習空間解析幾何部分，應注意對空間圖形想像力的培養(yǎng)，這也是學習多元函數微分的需要。球面、柱面、錐面及旋轉曲面都比較重要，讀者能夠根據它們的方程辨認，并畫出它們的圖形。 3、多元函數微分學與一元函數微分學是相對應的，學習這一部分內容，應注意用對比的方法，先回顧一下一元函數的有關內容對理解和

3、掌握多元函數相應的內容是有幫助的。 4、偏導數與復合函數的求導法則是本章的重點，讀者務必理解偏導數的概念及幾何意義，并通過較多的練習，熟練、靈活的掌握連鎖法則，確保求導的正確性。 5、求解最值問題是多元函數微分學的重要應用，應給予足夠的重視。在實際問題求解中，關鍵是建立函數關系式和約束條件關系式。建立函數關系式的能力，可通過一些習題來加強。若求出駐點是惟一的，而最值又存在，則該駐點的函數值三、本章關鍵詞三、本章關鍵詞就是最值。因此求最值的應用問題，實際上就是求函數的駐點。空間解析幾何矢量曲面與曲線偏導數全微分多元復合函數求導多元函數極值( (二二) ) 常見問題分類及解法常見問題分類及解法一、

4、求二元函數定義域的方法一、求二元函數定義域的方法0, 122012 二元函數定義域的求法與一元函數定義域的求法相同，即考慮分式的分母不能為零；負數不能開偶次方，零與負數無對數，反正弦函數、反余弦函數的自變量部分只能在-1與1之間取值，正切函數的自變量部分不能等于 ， ， ，余切函數的自變量部分不能等于 ， ， ， ?？紤]到以上這些因素，建立不等式組，求出其解的交集，就是二元函數的定義域。定義域的代數表達式為 kkkk( , )| , 滿足的條件Dx yx y22ln()1 求函數 的定義域并做出定義域的圖形。yzyxxy例例1 1解解yOx122220000,1yxyxyyxyxy 要使函數有

5、意義，只需 ， 1，即 ， ，22( , )|01故定義域： ，Dx yyyxxy定義域圖形如圖6-1所示.圖6-1 例1函數定義域二、求二元函數偏導數的方法二、求二元函數偏導數的方法 1、利用一元函數求導法，只要記住對一個變量求導時，把另一個變量暫時看作常量就行。arctan 求 的偏導數。xzy例例2 2解解222111，zyxyxyxy22221.1zxxyyxyxy 2、二元復合函數求偏導數可引入中間變量，一般抽象的函數求偏導數也要引入中間變量。22 求 的偏導數。xyzye例例2 2解解22令 ，uyxy則 zuezxzuzuxx 02euex222xyxyezyzuzuyy 12e

6、uey222(1 2).xyey注：因函數解析式明顯給出，也可直接求偏導。2, 設 ，求偏導數。xzfxyy例例4 42設 ，xuvxyy解解( , )則 zf u vzxzuzvuxv x 1uvffyzyzuzvuyv y 22.uvxfyfy3、求隱函數的導數或偏導數。一般有如下三種方法：(1) 公式法22lnarctan( ) 求由方程 所確定隱函數 的導數。yxyyf xx例例5 5解解221( , )ln()arctan2設 ，yF x yxyx則xF222211xyxyxyx22xyxyyF222111yxxyyx22yxxy.所以 xyFdyxydxFxy (2) 全微分法22

7、2()( , ) 求由方程 確定的隱函數 z 的偏導數。其中 可微。xyzf xyzz x yf例例6 6解解因為等號右端為抽象函數，222.故設中間變量 uxyz( )則原方程為 ，xyzf u()( )所以 ，d xyzdf u因此有dxdydz222( ) ()f u d xyz( )(222)f uxdxydyzdzxydxdyz dxz dy( ) ( )f u d u( )222 ()xyf uxdxydyz z dxz dy12( )2( )12( )2( )xxyyzxf uzz f u dxzyf uzz f u dy0所以1 2( )1 2( )xxf uzzf u 1 2

8、( ).1 2( )yyf uzzf u (3) 對隱函數求，可對方程兩端 求導。注意 是 的函數，暫時看作常數，若求，方程兩端對 求導，注意 是 的函數， 暫時看作常數。如例6。zxzxxzyyzyyx1( )(22)，xxzf uxzz1 2( )1 2( )；xxf uzzf u 1( )(22)，yyzf uyzz1 2( ).1 2( )yyf uzzf u 求出函數的二階偏導數. 就每一個駐點考察 B2-AC 的正負，判定極值點. 若有極值，再根據 A (或 C ) 的正負判斷其為極大還是極小值，進而討論極值與最值. 若是應用問題，需根據題目條件首先寫出取極值的目標函數，求出駐點，

9、若駐點惟一，最值又存在，則此點即為所求，不需驗證，依題意，指出駐點處為最大或最小值即可.三、求二元函數的極值與最值的方法三、求二元函數的極值與最值的方法1、基本步驟 求出函數的一階偏導數，解出駐點.33( )3 求 的極值。f xxyxy例例7 7解解223333，xyfxyfyx解得駐點 (0,0)，(1,1)，636又 ，xxxyyyfxffy 290對于點 (0,0)，BAC( )在點 (0， 0)不取極值；f x227060對于點(1,1)，BACA ( )1.在點 (1,1)取得極小值 (1,1)f xf 1122121222112212610.42 設有需求函數 ，其中 ，分別是對

10、兩種商品的需求量， ， 是相應的價格，生產兩種商品的總成本函數是 ，問兩種商品生產多少時，可獲得最大利潤？QPQPQQPPKQQQQ例例8 8解解112226404由需求函數知 ， PQPQ故總利潤函數為L1122PQPQK222211221122264042QQQQQQQQ221122122624052QQQQQQ1212212642040 1020解方程組 ，QQLQQLQQ得駐點 (5,3)1112224210而，QQQQQ QLLL 236040.所以 ，且BACA 于是，生產第一種商品5單位，第二種商品3單位時利潤最大。(此題在求出駐點后，也可根據步驟，直接得出結果!)2、若是條件極

11、值問題，利用拉格朗日乘數法 其關鍵在于根據問題寫出要求極值的目標函數與條件函數。構造出拉格朗日函數，求出駐點。之后，根據問題的實際性，定出極大值或極小值。221 拋物面 被平面 截得一個橢圓。求原點到這橢圓的最長和最短距離。zxyxyz例例9 9解解( , , )設橢圓上任一點 x y z222原點到它的距離為 ，dxyz2222. 取目標函數為dxyz222221 問題即為 在條件 ， 的條件下的極值.xyzzxyxyz22222212121222( , , )()(1)220220201拉格朗日函數為 xyzF x y zxyzxyzxyzFxxFyyFzxyzxyz 1212121313

12、221313222323，解方程組得，xxyyzz 顯然222max22295 3，dxyz222min11195 3.dxyz(三) 思考題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案001 , , ?、可微二元函數在點處取得極值的必要條件是什么Zf x yxy2、對于條件極值問題，我們解決它的關鍵是什么? 3、“多元函數定義域的求法與一元函數定義域的求法相同”該命題正確嗎?4、二元函數在某點處偏導數存在與可微之間有何關系?(四) 課堂練習題答答 案案答答 案案答答 案案答答 案案 221 ln .、求由方程所確定的隱函數的導數xxyxyyyf222 .，求、yy xzZxd23sin .、，求dzZf uvutvtdt2201ln4 lim.1、求xxyeyxy返返 回回00001 ,0.、是xyfxyfxy返返 回回2、是根據問題寫出要求極值的目標函數和條件函數,然后 構造函數求駐點,根據問題的實際性,求出極值.返返 回回3、正確.返返 回回4、偏導數存在且連續(xù)是函數可微的充分條件，而偏導數存在 是函數可微的必要條件.返返 回回1、：解22 ,ln,