123角的平分線的性質(zhì)

1、人教課標八年級人教課標八年級 上冊上冊角的平分線的性質(zhì)角的平分線的性質(zhì) 如圖，是一個角平分儀，其如圖，是一個角平分儀，其中中AB=AD,BC=DC.將點將點A放在放在角的頂點角的頂點,AB和和AD沿著角的兩沿著角的兩邊 放 下邊 放 下 , 沿沿 A C 畫 一 條 射 線畫 一 條 射 線AE,AE就是角平分線，你能說就是角平分線，你能說明它的道理嗎明它的道理嗎?ADBCE探究探究證明： 在ACD和和ACB中中 AD=AB（已知）（已知） DC=BC（已知）（已知） CA=CA（公共邊）（公共邊） ACD ACB（SSS） CAD=CAB（全等三角形的（全等三角形的 對應(yīng)邊相等）對應(yīng)邊相等）

2、 AC平分平分DAB（角平分線的定義）（角平分線的定義）ADBCE證明證明 根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個根據(jù)角平分儀的制作原理怎樣作一個角的平分線？（不用角平分儀或量角器）角的平分線？（不用角平分儀或量角器）OABCENOMCENM方法方法1 1平分平角平分平角AOBAOB2 2通過上面的步驟，得到射線通過上面的步驟，得到射線OCOC以后，以后，把它反向延長得到直線把它反向延長得到直線CDCD，直線，直線CDCD與直線與直線ABAB是什么關(guān)系？是什么關(guān)系？ 3 3結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，結(jié)論：作平角的平分線即可平分平角，由此也得到過直線上一點作這條直線的垂由此也得到過直線上一點作

3、這條直線的垂線的方法線的方法. .ABOCD練習(xí)練習(xí)探究角平分線的性質(zhì) 將將AOB對折，再折出一個直角三角形（使對折，再折出一個直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？猜想猜想: :角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等. .探究探究證明：證明：OC平分平分 AOB （已知）（已知） 1= 2（角平分線的定義）（角平分線的定義） PD OA，PE OB（已知）（已知） PDO= PEO（垂直的定義）（垂直的定義） 在在PDO和和PEO中

4、中 PDO= PEO（已證）（已證） 1= 2 （已證）（已證） OP=OP （公共邊）（公共邊） PDO PEO（AAS） PD=PE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）（全等三角形的對應(yīng)邊相等） P PA AOOB BC CE EDD12 已知：如圖，已知：如圖，OC平分平分AOB，點，點P在在OC上，上，PDOA于點于點D，PEOB于點于點E. 求證求證: PD=PE證明證明 利 用 此 性 質(zhì)利 用 此 性 質(zhì)怎樣書寫推理過怎樣書寫推理過程程? 1= 2, PD OA， PE OB（已知）（已知）PD=PE（全等三（全等三角形的對應(yīng)邊相等）角形的對應(yīng)邊相等）P PA AOOB BC CE EDD

5、12 如圖如圖:在在ABC中中,C=90 A D 是是 B A C 的 平 分 線 ，的 平 分 線 ，DEAB于于E，F(xiàn)在在AC上，上，BD=DF求證：求證：CF=EBACDEBF 分析分析:要證要證CF=EB,首先我們想到的是要證它首先我們想到的是要證它們所在的兩個三角形全等們所在的兩個三角形全等,即即RtCDF RtEDB. 現(xiàn)已有一個條件現(xiàn)已有一個條件BD=DF(斜邊相等斜邊相等), 還需要我們還需要我們找什么條件找什么條件DC=DE (因為角的平分線的性質(zhì)因為角的平分線的性質(zhì)) 再用再用HL證明證明.例題例題 要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，要在區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到公路，鐵路距

6、離相等且離公路，鐵路的交叉處鐵路距離相等且離公路，鐵路的交叉處500米，米，應(yīng)建在何處？（比例尺應(yīng)建在何處？（比例尺 1：20 000）公路鐵路思考思考 我們知道我們知道, 角的平分線上的點到角的兩邊角的平分線上的點到角的兩邊距離相等距離相等, 那么那么, 到角的兩邊距離相等的點是到角的兩邊距離相等的點是否在角的平分線上呢？否在角的平分線上呢？利用三角形全等，可以得到：利用三角形全等，可以得到： 角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上平分線上.自己證一證自己證一證.根據(jù)此根據(jù)此結(jié)論結(jié)論, 你知道集貿(mào)市你知道集貿(mào)市場建在何處嗎？場建在何處嗎？ANBCPM

7、 如圖，如圖，ABC的角的平分線的角的平分線BM，CN相交于點相交于點P. .求證：點求證：點P到三邊到三邊AB，BC，CA的距離相等的距離相等. .想一想，點想一想，點P在在A的平分線上嗎？這的平分線上嗎？這說明三角形的三條說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)角平分線有什么關(guān)系？系？如圖, ABC的角平分線BM,CN相交于點P,求證：點P到三邊AB、BC、CA的距離相等BM是是ABC的角平分線的角平分線,點點P在在BM上上,ABCPMNDEFPD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等).同理同理,PE=PF.PDPE=PF.即點即點P到三邊到三邊AB、B

8、C、CA的距離相等的距離相等證明：過點證明：過點P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F例題解析例題解析 如圖，已知如圖，已知ABC的外角的外角CBD和和BCE的的平分線相交于點平分線相交于點F，求證：點求證：點F在在DAE的平分線上的平分線上 證明：過點F作FGAE于G，F(xiàn)HAD于H，F(xiàn)MBC于MGHM點F在BCE的平分線上， FGAE， FMBCFGFM又點F在CBD的平分線上， FHAD， FMBCFMFHFGFH 點F在DAE的平分線上練習(xí)練習(xí)定理定理 角平分線上的點到這個角角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等的兩邊距離相等.OC是是AOB的平分線的平分線,P是是OC上任意一點上任意一點PDOA,PEOB,垂足分別垂足分別是是D,E(已知已知)PD=PE(角平分線上的點到這角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等個角的兩邊距離相等).用尺規(guī)作角的平分線用尺規(guī)作角的平分線.OCB1A2PDE小結(jié)小結(jié)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點角的