熱點(diǎn)訓(xùn)練-探究課6

1、(建議用時(shí)：80分鐘)1(2015·蘇北四市調(diào)研)已知ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A(1,0)，B(1,0)，C(3,2)，其外接圓為圓H.(1)若直線l過點(diǎn)C，且被圓H截得的弦長為2，求直線l的方程；(2)對(duì)于線段BH上的任意一點(diǎn)P，若在以C為圓心的圓上都存在不同的兩點(diǎn)M，N，使得點(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，求圓C的半徑r的取值范圍解(1)線段AB的垂直平分線方程為x0，線段BC的垂直平分線方程為xy30，所以ABC外接圓圓心為H(0,3)，半徑為，圓H的方程為x2(y3)210.設(shè)圓心H到直線l的距離為d，因?yàn)橹本€l被H截得的弦長為2，所以d3.當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，顯然符合題意，即x3為所求；當(dāng)

2、直線l不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線方程為y2k(x3)，則3，解得k，綜上，直線l的方程為x3或4x3y60.(2)直線BH的方程為3xy30，設(shè)P(m，n)(0m1)，N(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)M是線段PN的中點(diǎn)，所以M，又M，N都在半徑為r的圓C上，所以即因?yàn)樵撽P(guān)于x，y的方程組有解，即以(3,2)為圓心，r為半徑的圓與以(6m,4n)為圓心，2r為半徑的圓有公共點(diǎn)，所以(2rr)2(36m)2(24n)2(r2r)2，又3mn30，所以r210m212m109r2對(duì)m0,1成立而函數(shù)f(m)10m212m10在m0,1上的值域?yàn)?，故r2且109r2.又線段BH與圓C無公共點(diǎn)，所以(m3)2(33m2

3、)2r2對(duì)m0,1成立，即r2，即r，故圓C的半徑r的取值范圍是.2(2015·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓y21的左、右焦點(diǎn)分別為F與F，圓F：(x)2y25.(1)設(shè)M為圓F上一點(diǎn)，滿足·1，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(2)若P為橢圓上任意一點(diǎn)，以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的公共弦為QT，求證：點(diǎn)F到直線QT的距離FH為定值(1)解F(，0)，F(xiàn)(，0)，設(shè)M(m，n)，由·1得(m)(m)n21.即m2n24.又(m)2n25.由得m，n±.M或M.(2)證明設(shè)P(x0，y0)，則圓P的方程為(xx0)2(yy0)2xy.即

4、x2y22x0x2y0y0.又圓F的方程為(x)2y25.由得直線QT的方程為(x0)xy0y10.所以FH.因?yàn)镻(x0，y0)在橢圓上，所以y1，即y1，所以FH2為定值3(2014·北京卷)已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設(shè)O為原點(diǎn)若點(diǎn)A在直線y2上，點(diǎn)B在橢圓C上，且OAOB，求線段AB長度的最小值解(1)由題意，知橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.所以a24，b22，從而c2a2b22.因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)設(shè)點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因?yàn)镺AOB，所以·0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以

5、AB2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因?yàn)?(0x4)，且當(dāng)x4時(shí)等號(hào)成立，所以AB28.故線段AB長度的最小值為2.4. (2015·揚(yáng)州調(diào)研)已知橢圓E：1(ab0)的右焦點(diǎn)到其右準(zhǔn)線的距離為1，到右頂點(diǎn)的距離為1，圓O：x2y2a2，P為圓O上任意一點(diǎn)(1)求a，b；(2)過點(diǎn)P作PHx軸，垂足為H，線段PH與橢圓交點(diǎn)為M，求；(3)過點(diǎn)P作橢圓E的一條切線l，直線m是經(jīng)過點(diǎn)P且與切線l垂直的直線，試問：直線m是否經(jīng)過一定點(diǎn)？如果是，請(qǐng)求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由解(1)解得a，c1，b1.(2)設(shè)P(x0，y0)，M(x0，y1)，則y1，

6、xy2，得y11，.(3)當(dāng)x0±1且y00時(shí)，設(shè)切線l：yy0k(xx0)，代入橢圓方程，x22kx(kx0y0)22，整理得(12k2)x24k(kx0y0)x2(kx0y0)220，由0得(kx0y0)22k210，即(x2)k22x0y0ky10，又xy2，故有yk22x0y0kx1，所以k，當(dāng)k時(shí)，直線m：yy0(xx0)，得y(x1)過定點(diǎn)(1,0)；當(dāng)k時(shí)，直線m：yy0(xx0)，得y(x1)過定點(diǎn)(1,0)當(dāng)x0±1時(shí)，直線m為x1或x1，經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)或(1,0)當(dāng)y00時(shí)，直線m為x軸，經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)或(1,0)綜上所述，直線m經(jīng)過定點(diǎn)(1,0

7、)或(1,0)5(2015·南通、揚(yáng)州、泰州、連云港、淮安模擬) 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓1(ab0)的離心率為，過橢圓右焦點(diǎn)F作兩條相互垂直的弦AB與CD.當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，ABCD7.(1)求橢圓的方程；(2)求ABCD的取值范圍解(1)由題意知e，CD72a，所以a24c2，b23c2.因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，即1，所以c1.所以橢圓的方程為1.(2)當(dāng)兩條弦中一條斜率為0時(shí)，另一條弦的斜率不存在，由題意知ABCD7.當(dāng)兩弦斜率均存在且不為0時(shí)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，且設(shè)直線AB的方程為yk(x1)，則直線CD的方程為y(x1)將直線AB的方程代入橢圓

8、方程中，并整理得(34k2)x28k2x4k2120，所以x1，x2，所以AB|x1x2|.同理，CD.所以ABCD，令tk21，則t1,34k24t1,3k243t1，設(shè)f(t)122，因?yàn)閠1，所以(0,1)，所以f(t)，所以ABCD.綜合與可知，ABCD的取值范圍是.6(2015·鹽城模擬)已知橢圓1(ab0)的右準(zhǔn)線l：x，離心率e，A，B是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足(其中為常數(shù))(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)1且直線AB與OP的斜率均存在時(shí)，求|kAB|kOP|的最小值；(3)若G是線段AB的中點(diǎn)，且kOA·kOBkOG·kAB，問是否存在常數(shù)和平面

9、內(nèi)兩定點(diǎn)M，N，使得動(dòng)點(diǎn)P滿足PMPN18？若存在，求出的值和定點(diǎn)M，N；若不存在，請(qǐng)說明理由解(1)由題設(shè)可知a3，c.又b2a2c2，b24.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則由得P(x1x2，y1y2)kAB·kOP·.由|kAB|(0，)，|kOP|(0，)，得|kAB|kOP|2，當(dāng)且僅當(dāng)kAB±時(shí)取等號(hào)(3)kAB·kOG·.kOA·kOB.4x1x29y1y20.設(shè)P(x，y)，則由得(x，y)(x1，y1)(x2，y2)(x1x2，y1y2)，即xx1x2，yy1y2.因?yàn)辄c(diǎn)A，B在橢圓4x29y236上，所以4x9y36,4x9y36，故4x29y24(x2x2