上海徐匯、松江、金山區(qū)2013高三下4月學(xué)習(xí)能力診斷卷--數(shù)學(xué)（理）

1、上海徐匯、松江、金山區(qū)2013高三下4月學(xué)習(xí)能力診斷卷數(shù)學(xué)（理） （考試時間：120分鐘，滿分150分）一填空題（本大題滿分56分）本大題共有14題，考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分，否則一律得零分.1若函數(shù)的反函數(shù)圖像過點(diǎn)，則= .2已知函數(shù)的值域?yàn)?，集合，則= .3已知，且，則=_.4已知圓錐的母線長為，側(cè)面積為，則此圓錐的體積為_（結(jié)果保留）.開 始i=1, S=0S=S+ 輸出S結(jié) 束否是第6題圖20135已知（為虛數(shù)單位）是一元二次方程(均為實(shí)數(shù))的一個根，則=_.6如圖給出的是計算的值的一個程序框圖，圖中空白執(zhí)行框內(nèi)應(yīng)填入 .7. 在極坐標(biāo)系中,過圓的

2、圓心,且垂直于極軸的直線的極坐標(biāo)方程是_.8. 將參數(shù)方程（為參數(shù)，）化為普通方程，所得方程是_ _.9. 在二項(xiàng)式的展開式中，常數(shù)項(xiàng)的值是，則= .10一質(zhì)地均勻的正方體三個面標(biāo)有數(shù)字，另外三個面標(biāo)有數(shù)字.將此正方體連續(xù)拋擲兩次，若用隨機(jī)變量表示兩次拋擲后向上面所標(biāo)有的數(shù)字之積，則數(shù)學(xué)期望=_.11已知橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，則的最大值為 .12.如圖，為直線外一點(diǎn)，若中任意相鄰兩點(diǎn)的距離相等，設(shè)，用表示，其結(jié)果為 . 13.設(shè)函數(shù)，將向左平移個單位得到函數(shù)，將向上平移個單位得到函數(shù),若的圖像恒在的圖像的上方，則正數(shù)的取值范圍為 .14.如圖，現(xiàn)將一張正方形紙片進(jìn)行如下操作：第一步，將紙片

3、以為頂點(diǎn)，任意向上翻折，折痕與交于點(diǎn)，然后復(fù)原，記；第二步，將紙片以為頂點(diǎn)向下翻折，使與重合，得到折痕,然后復(fù)原，記；第三步，將紙片以為頂點(diǎn)向上翻折，使與重合，得到折痕，然后復(fù)原，記；按此折法從第二步起重復(fù)以上步驟，得到，則 .二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題，每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得5分，否則一律得零分.15已知為實(shí)數(shù)，命題甲：，命題乙：，則甲是乙的（ ）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件16已知函數(shù)，設(shè)，則是（ ）A.奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減 B.奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增C.偶函數(shù)，在

4、上遞減，在上遞增D.偶函數(shù)，在上遞增，在上遞減17氣象意義上從春季進(jìn)入夏季的標(biāo)志為：“連續(xù)5天的日平均溫度均不低于22 (0C)”.現(xiàn)有甲、乙、丙三地連續(xù)5天的日平均溫度的記錄數(shù)據(jù)（記錄數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）： 甲地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，眾數(shù)為； 乙地：5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，總體均值為； 丙地：5個數(shù)據(jù)中有一個數(shù)據(jù)是，總體均值為，總體方差為； 則肯定進(jìn)入夏季的地區(qū)有( ) A. 0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個18. 如圖所示，向量的模是向量的模的倍，的夾角為,那么我們稱向量經(jīng)過一次變換得到向量.在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，設(shè)起始向量，向量經(jīng)過次變換得到的向量為，其中為逆時針排列，記坐標(biāo)為，則下列命題中

5、不正確的是（ ）第18題圖A. B. C. D. 三解答題（本大題滿分74分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.19(本題滿分12分) 在中，分別是角的對邊，且,若的面積，求的值.20(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.某輪船公司的一艘輪船每小時花費(fèi)的燃料費(fèi)與輪船航行速度的平方成正比，比例系數(shù)為.輪船的最大速度為海里/小時.當(dāng)船速為海里/小時，它的燃料費(fèi)是每小時元，其余航行運(yùn)作費(fèi)用（不論速度如何）總計是每小時元.假定運(yùn)行過程中輪船以速度勻速航行（1）求的值；（2）求該輪船航行海里的總費(fèi)用（燃料費(fèi)+航行運(yùn)作費(fèi)用）的最

6、小值.21(本題滿分14分) 本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.如圖，已知是正三棱柱，它的底面邊長和側(cè)棱長都是，為側(cè)棱的中點(diǎn)（1）求異面直線與所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）；第21題圖（2）求直線到平面的距離.22(本題滿分16分) 本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列. （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，對任意的正整數(shù)，將集合中的三個元素排成一個遞增的等差數(shù)列，其公差為，求證：數(shù)列為等比數(shù)列； （3）對（2）題中的，求集合的元素個數(shù).23(本題滿分18分) 本題共有3個小題，第1

7、小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題有三個問題情形，每位考生只能選擇一個作答，若多答，只對所答情形中最前面的一個記分，情形一、二、三滿分依次為5分、6分、8分.已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，是它的一個頂點(diǎn)，是它的一條漸近線的一個方向向量.(1) 求雙曲線的方程；(2) 若過點(diǎn)()任意作一條直線與雙曲線交于兩點(diǎn) (都不同于點(diǎn))，求證：為定值；(3) 對于雙曲線G:，為它的右頂點(diǎn)，為雙曲線G上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn))，且，那么直線是否過定點(diǎn)？若是，請求出此定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，說明理由.然后在以下三個情形中選擇一個，寫出類似結(jié)論（不要求書寫求解或證明過程）.情形一：雙曲線及它的左頂點(diǎn)； 情形二：拋物線及它

8、的頂點(diǎn)；情形三：橢圓及它的頂點(diǎn).參考答案一、填空題1 2. 3. 4. 5. 19 6 7. 8. () 9. 10. 11. 12. 13. 14.二、選擇題15. B 16. B 17. C 18.D三、解答題19解：由條件可得，2分即，4分8分由余弦定理,得10分于是，. 12分20.解：（1）由題意得燃料費(fèi)，2分把=10，代入得6分（2），9分=，11分其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立，解得，13分所以，該輪船航行海里的總費(fèi)用的最小值為2400（元）14分21解：（1）方法一：以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系1分由題意得則. .3分設(shè)為向量的夾角， 則5分異面直線與所成角的大小為arcc

9、os6分方法二：取中點(diǎn)，連結(jié). 2分（或其補(bǔ)角）為異面直線所成的角3分由題意得:在中，;在中，;4分在等腰三角形中 5分 所以異面直線與所成角的大小為 6分（2）方法一：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設(shè)為8分設(shè)平面的法向量為，,由得,11分,即. 12分所以故直線到平面的距離為.14分方法二：由題意可得,所以，到平面的距離即為到平面的距離，設(shè)為.8分由題意得，等腰底邊上的高為，則，且到平面的距離為12分由得13分，則，所以，直線到平面的距離為.14分22解：(1)由條件得，即,2分所以，. 4分 (2) 由（1）可知所以，,，7分由及得依次成遞增的等差數(shù)列,8分所以，9分滿足

10、為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列10分（3）當(dāng)為奇數(shù)時，12分同樣，可得,所以，集合的元素個數(shù)為；.13分當(dāng)為偶數(shù)時，同理可得集合的元素個數(shù)為16分23解：(1)設(shè)雙曲線C的方程為，則2分又 ，得，所以，雙曲線C的方程為.4分(2) 當(dāng)直線垂直于軸時，其方程為，的坐標(biāo)為(,)、(,)，得=0. 6分當(dāng)直線不與軸垂直時，設(shè)此直線方程為，由得.設(shè)，則, ，.8分故.9分=0 . 綜上，=0為定值10分(3)當(dāng)滿足時，取關(guān)于軸的對稱點(diǎn)、，由對稱性知，此時與所在直線關(guān)于軸對稱，若直線過定點(diǎn)，則定點(diǎn)必在軸上. 11分設(shè)直線的方程為：，由，得設(shè)，則, ，由，得，即，化簡得， 或 (舍) 13分所以，直線過定點(diǎn)(,0).14分 情形一：在雙曲線G ：中，若為它的左頂點(diǎn)，為雙曲線G上的兩點(diǎn)(都不同于點(diǎn))，且，則直線過定點(diǎn)(,0)15分 情形二：在拋物線中，若為拋物線上的兩點(diǎn)(都不同于原點(diǎn))，且，則直線過定點(diǎn). 16分 情形三：（1）在橢圓中，若為它的右頂點(diǎn)，為橢圓上的兩點(diǎn)(都不