模糊控制的基本思想與數(shù)學基礎

1、 了解模糊數(shù)學的相關理論了解模糊數(shù)學的相關理論 掌握模糊控制的基本思想掌握模糊控制的基本思想 掌握模糊控制器的結構與原理掌握模糊控制器的結構與原理 掌握模糊控制系統(tǒng)的設計方法掌握模糊控制系統(tǒng)的設計方法 由測量裝置、控制器、被控對象及執(zhí)行機構組成的由測量裝置、控制器、被控對象及執(zhí)行機構組成的自動控制系統(tǒng)，就是人們所悉知的常規(guī)負反饋控制自動控制系統(tǒng)，就是人們所悉知的常規(guī)負反饋控制系統(tǒng)。系統(tǒng)。圖圖3-1、3-2分別給出了手動控制和負反饋控制的方分別給出了手動控制和負反饋控制的方框圖?？驁D。 圖3-1 常規(guī)反饋控制系統(tǒng)方框圖 圖3-2 手動控制方框圖模糊數(shù)學的創(chuàng)始人，著名的控制論專家扎德（Zadeh）

2、教授舉過一個停車問題的例子，是非常富有啟發(fā)性的問題。所謂停車問題是要把汽車停在擁擠的停車場上兩輛車之間的一個空隙處。對于上述問題，從事控制理論研究者的解決方法是：令記車C上的一個固定參考點的位置，記車C的方位，于是建立車的狀態(tài)方程和運動方程分別為 (311) (312),(x ),(uxfx 停車問題就轉化為尋找一個控制量停車問題就轉化為尋找一個控制量u(t)，使其在滿足各，使其在滿足各種約束的條件下把初始狀態(tài)轉移到終端狀態(tài)中去。種約束的條件下把初始狀態(tài)轉移到終端狀態(tài)中去。 汽車司機是這樣操縱的，先讓車向前運動，前輪先向右而后向左，然后使車向后運動，前輪仍先向右而后向左，經過多次反復，車將橫向

3、移動一個所需要的距離，最后向前開停在空隙處。這樣，汽車司機通過一些不精確的通過一些不精確的觀察，執(zhí)行一些不精確的控制，卻達到了準確停車的目觀察，執(zhí)行一些不精確的控制，卻達到了準確停車的目的。的?？偨Y人的控制行為，正是遵循反饋及反饋控制的思想。人的手動控制決策可以用語言加以描述，總結成一系列條件語句，即控制規(guī)則?？刂埔?guī)則。 運用微機的程序來實現(xiàn)這些控制規(guī)則，微機就起到了控制器的作用。于是，利用微機取代人可以對被控對象進行自動控制。 在描述控制規(guī)則的條件語句中的一些詞，如“較大”、“稍小”、“偏高”等都具有一定的模糊性，因此用模糊集合來描述這些模糊條件語句，即組成了所謂的模糊控制器。模糊控制器。

4、集合集合 一般指具有某種屬性的、確定的、彼此間可以區(qū)別的事物的全體。元素或元元素或元 組成集合的事物。通常用大寫字母A,B,CX,Y,Z表示集合，而用小寫字母a,b,c,x,y,z表示集合內元素。論域論域 被考慮對象的所有元素的全體，一般用大寫字母U表示。Zadeh在1965年對模糊集合的定義為：給定論域U，U到0,1閉區(qū)間的任一映射 1 , 0:UA都確定U的一個模糊集合A, 稱為模糊集合且的隸屬函數(shù)。 若若A中的元素用中的元素用x表示，則表示，則 稱為稱為x屬于屬于A的隸屬度。的隸屬度。 )(xA 的取值范圍為閉區(qū)間的取值范圍為閉區(qū)間0,1， 接近接近1，表示，表示x屬于屬于A的程度高；的

5、程度高； 接近接近0，表示，表示x屬于屬于A的程度低。的程度低。 )(xA)(xA)(xA模糊集合有很多表示方法，當論域U為有限集x1,x2,xn時，通常有以下三種方式：(1)Zadeh表示法表示法用論域中的元素xi與其隸屬度 按下式表示A，則 )(iAx式中， 并不表示“分數(shù)”，而是表示論城中的元素xi與其隸屬度 之間的對應關系；“+”也不表示“求和”，而是表示模糊集合在論域U上的整體。 iiAxx)()(iAx(2)序偶表示法序偶表示法用論域中的元素xi與其隸屬度的構成序偶來表示且，則在序偶表示法中，隸屬度為零的項可省略。(3)向量表示法向量表示法用論域中元素的隸屬度的構成向量來表示，則在

6、向量表示法中，隸屬度為零的項不能省略。若A是以實數(shù)R為論域的模糊集合，其隸屬函數(shù)為 ，如果對任意實數(shù)，都有則稱A為凸模糊集。凸模糊集實質上就是其隸屬函數(shù)具有單峰值特性。 )(iAx例例3-1 在整數(shù)1，2，10組成的論域中，即論域Ul，2，10，用A表示模糊集合“幾個”。并設其元素的隸屬度依次為0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0。解：解：模糊集合A可表示為 或例例3-1 在整數(shù)1，2，10組成的論域中，即論域Ul，2，10，用A表示模糊集合“幾個”。并設其元素的隸屬度依次為0，0，0.3，0.7，1，1，0.7，0.3，0，0。解：解：當論域U為有限連續(xù)域時，Zadeh表示

7、法為UAxxA)(式中， 也不表示“分數(shù)”，而是表示論域中的元素x與其隸屬度 之間的對應關系； 也不表示“積分”，而是表示模糊集合在論域U上的元素x與其隸屬度 對應關系的一個整體。同樣，在有限連續(xù)域表示法中，隸屬度為0的部分可不寫入。 xxA)()(xA)(xA例例3-2 若以年齡為論域，并設U0,200，設y表示模糊集合“年輕”，O表示模糊集合“年老”。已知“年輕”和“年老”的隸屬函數(shù)分別為解：解：因為論域是連續(xù)的，因而“年輕”和“年老”的模糊集合Y和O分別為或 解：解：其隸屬度函數(shù)曲線如圖3-3所示。圖3-3 “年輕”和“年老”的隸屬度函數(shù)曲線隸屬函數(shù)是對模糊概念的定量描述，正確地確定隸屬

8、函數(shù)，是運用模糊集合理論解決實際問題的基礎。 以實數(shù)域R為論域時，稱隸屬函數(shù)為模糊分布。常見的模糊分布有以下四種 (1)正態(tài)型正態(tài)型 正態(tài)型是最主要也是最常見的一種分布，表示為 其分布曲線如圖3-4所示。圖3-4 正態(tài)型分布曲線 (2) 型型式中， , 。當 時，隸屬度函數(shù)為1。 00vvx其分布曲線如圖3-5所示 圖3-5 型分布曲線(3)戒上型戒上型式中，a0，b0。其分布曲線如圖3-6所示。當a=0.2，b2，c=25時，即為“年輕”的隸屬函數(shù)。(4)戒下型戒下型式中，a0，b0。其分布曲線如圖3-7所示。當a=0.2，b-2，c=50時，即為“年老”的隸屬函數(shù)。 圖3-7 戒下型分布曲

9、線 (1)臺集合臺集合定義 為A的臺集合。其意義為論域U中所有的 的x的全體。模糊集合只可在它的臺集合上加以表示。0)(xA (2) 截集截集 定義 ，分別稱為模糊集合A的強 截集和弱 截集。顯然， 截集也為普通集合，且 0 AAs(3)正則模糊集合正則模糊集合若 則稱A為正則模糊集合。 (4)凸模糊集合凸模糊集合若 則稱A為凸模糊集合。 (5)分界點分界點 使得 的點x稱為模糊集合A的分界點。(6)單點模糊集合單點模糊集合 在論域中，若模糊集合的臺集合僅為一個點，且該點的隸屬函數(shù) ，則稱A為單點模糊集合。 1)(xA( )0.5Ax (1)模糊集合的相等模糊集合的相等 若有兩個模糊集合A和B

10、， 對于所有的xU，均有 ，則稱模糊集合A等于B,記為A=B。)()(xxAB(2)模糊集合的包含模糊集合的包含若有兩個模糊集合A和B，對于所有的xU，均有 ，則稱模糊集合B包含A，記為 。( )( )BAxxBA(3)模糊空集模糊空集若對于所有的xU，均有 ，則稱模糊集合A為空集，記為0)(xAA(4)模糊集合的并集模糊集合的并集若有三個模糊集合A、B和C，對于所有的xU，均有則稱模糊集合C為A與B的并集，記為C=AB。(5)模糊集合的交集模糊集合的交集若有三個模糊集合A、B和C，對于所有的xU，均有則稱模糊集合C為A與B的交集，記為C=AB(6)模糊集合的補集模糊集合的補集若有兩個模糊集合

11、A和B，對于所有的xU，均有 ，則稱B為A的補集，記為B=Ac。)(1)(xxAB(7)模糊集合的直積模糊集合的直積 若有兩個模糊集合A和B，其論域分別為又X和Y，則定義在積空間XY上的模糊集合AB稱為模糊集合A和B的直積直積，即上述定義表明，在集合A中取一元素a，又在集合B中取一元素b，就構成了(a,b)“序偶”，所有的(a,b)又構成一個集合。該集合即為AB。其隸屬函數(shù)為或或 直積又稱為笛卡兒積笛卡兒積或叉積叉積。 注：互補率不成立。(1)分解定理分解定理設A為論域U上的一個模糊集合， 是A的 截集， ，則有如下分解定理成立，即A 1 , 0式中， 表示語言變量x的一個模糊集合，稱為 與

12、的“乘積”。 AA其隸屬函數(shù)定義為例例3-3 求模糊集合的 截集， 。 1 , 0解：解：取分別為1，0.7，0.6，0.5，0.3，于是有將 截集寫成模糊集合的形式則有由分解定理又可構成原來的模糊集合(2)擴張原則擴張原則設U和V是兩個論域，f是U到V的一個映射,對U上的模糊集合A，可以擴張成)(:AfAf這里， 叫做f的擴張。A通過 映射成 時，規(guī)定它的隸屬函數(shù)的值保持不變。在不會誤解的情況下， 可以稱為f。ff)(Aff分解定理和擴張原則是模糊數(shù)學的理論支柱。分解定理和擴張原則是模糊數(shù)學的理論支柱。分解定理是聯(lián)系模糊數(shù)學和普通數(shù)學的紐帶。分解定理是聯(lián)系模糊數(shù)學和普通數(shù)學的紐帶。擴張原則是

13、把普通的數(shù)學擴展到模糊數(shù)學的擴張原則是把普通的數(shù)學擴展到模糊數(shù)學的有力工具。有力工具。 1模糊關系模糊關系設X、Y是兩個非空集合，則在直積中一個模糊集合稱為從x到y(tǒng)的一個模糊關系，記為 。,),( YyXxyxYXyxR以上定義的模糊關系又稱二元模糊關系二元模糊關系，當X=Y時，稱為X上的模糊關系。 當論域為n個集合的直積, 2 , 1,),( 2121niXxxxxXXXiinn時，它所對應的為n元模糊關系。當論域 ， 是有限集合時，定義在XY上的模糊關系 可用如下的nm階矩陣來表示，即,21nxxxX,21myyyYyxR這樣的矩陣稱為模糊關系矩陣。 例例3-4 設x為家庭中的兒子和女兒，

14、y為家庭中的父親和母親，對于“子女與父母長得相似”的模糊關系R，可以用以下模糊關系矩陣R表示。 2模糊關系的合成模糊關系的合成設X、Y、Z是論域， 是X到Y的一個模糊關系， 是Y到Z的一個模糊關系， 則 到 的合成也是一個模糊關系，記為yxRzySyxRzyS它具有隸屬度二項積算子“x*y”可以定義為以下幾種運算，其中x、y0，1當二項積算子“*”采用前兩種運算時，它們分別稱為最大最小合成和最大積合成，即或 當論域X、Y、Z為有限時，模糊關系的合成可用模糊關系矩陣來表示。設 、 、 三個模糊關系對應的模糊關系矩陣分別為yxRzxTzyS則 例例3-5 己知子女與父母相似關系的模糊關系矩陣R和父

15、母與祖父母相似關系的模糊關系矩陣S分別如下所示，求子女與祖父母相似關系的模糊關系矩陣。解：解：這是一個典型的模糊關系合成的問題。按最大最小合成規(guī)則有1模糊向量模糊向量 如果對任意的 都有 ，則稱向量 為模糊向量。), 2 , 1(nii 1 , 0ix),(21nxxxx2模糊向量的笛卡兒乘積模糊向量的笛卡兒乘積 設有1n維模糊向量x和1m維模糊向量y，則定義 為模糊向量x和y的笛卡兒乘積。 yxyxT例3-6 己知兩個模糊向量分別如下所示，求它們的笛卡兒乘積x=0.8 0.6 0.2，y=0.2 0.4 0.7 1解：解：笛卡兒乘積為3模糊向量的內積與外積模糊向量的內積與外積 設有1n維模糊

16、向量x和1n維模糊向量y，則定義為模糊向量x和y的內積。與內積的對偶運算稱為外積。1模糊語言變量模糊語言變量模糊語言變量是自然語言中的詞或句，它的取值不是通常的數(shù)，而是用模糊語言表示的模糊集合。 一個語言變量可由以下的五元體來表征 (x, T(x), U, G, M)式中，x是語言變量的名稱；T(x)是語言變量值的集合；U是x的論域；G是語法規(guī)則，用于產生語言變量x的名稱； M是語義規(guī)則，用于產生模糊集合的隸屬函數(shù)。圖3-8 誤差語言變量的五元體示意圖2.模糊蘊含關系模糊蘊含關系 在模糊邏輯中，模糊邏輯規(guī)則實質上是模糊蘊含關系。在模糊邏輯推理中有很多定義模糊蘊含的方法，最常用的一類模糊蘊含關系

17、是廣義的肯定式推理方式即此處，A、 、B、 均為模糊語言。 AB對于模糊前提“如果x是A，則y是B”，它表示了模糊語言A與B之間的模糊蘊含關系，記為AB在模糊邏輯控制中，常用的模糊蘊含關系的運算方法有以下幾種，其中前兩種常用。(1)模糊蘊含的最小運算模糊蘊含的最小運算(2)模糊蘊含的積運算模糊蘊含的積運算(3)模糊蘊含的算術運算模糊蘊含的算術運算在模糊邏輯控制中，常用的模糊蘊含關系的運算方法有以下幾種，其中前兩種常用。(4)模糊蘊含的最大最小運算模糊蘊含的最大最小運算(5)模糊蘊含的布爾運算模糊蘊含的布爾運算在模糊邏輯控制中，常用的模糊蘊含關系的運算方法有以下幾種，其中前兩種常用。(6)模糊蘊

18、含的標準法運算模糊蘊含的標準法運算(1)(7)模糊蘊含的標準法運算模糊蘊含的標準法運算(2)1簡單模糊條件語句簡單模糊條件語句對于上面介紹的廣義肯定式推理，結論 是根據(jù)模糊集合 和模糊蘊含關系AB的合成推出來的，因此可得如下的模糊推理關系RABAAB)(式中，R為模糊蘊含關系，“ ”是合成運算符。 BA例例3-7 若人工調節(jié)爐溫，有如下的經驗規(guī)則：“如果爐溫低，則應施加高電壓”，當爐溫為“非常低”時，應施加怎樣的電壓。 解：解：設x和y分別表示模糊語言變量“爐溫”和“電壓”，并設x和y的論域為 X=Y=1,2,3,4,5A表示爐溫低的模糊集合B表示高電壓的模糊集合表示高電壓的模糊集合從而模糊規(guī)

19、則可表述為：“如果x是A，則y是B”。設為非常A，則上述問題變?yōu)椤叭绻鹸是 ，則 應是什么”。為了便于計算，將模糊集合A和B與成向量形式AABA=1 0.8 0.6 0.4 0.2，B=0.2 0.4 0.6 0.8 1由于該例中x和y的論域均是離散的，因而模糊蘊含關系Kc可用如下模糊矩陣來表示當 =“爐溫非常低”= A2 = 1 0.64 0.36 0.16 0.04時其中 中的每項元素是根據(jù)模糊關系矩陣的合成規(guī)則求出的，如第1行第1列的元素為B這時，推論 結果仍為“高電壓”。B2多重模糊條件語句多重模糊條件語句1)使用“and”連接的模糊條件語句在模糊邏輯控制中，常常使用如下的廣義肯定式推理方式2多重