《任意角的三角函數(shù)》課件

1、 在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPc22:,OMa MPb OPrab其中yx 1.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個(gè)比值會(huì)改變?nèi)齻€(gè)比值會(huì)改變嗎？嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)誘思探究誘思探究能否通過(guò)能否通過(guò)|op|取特殊值將表達(dá)式簡(jiǎn)化呢？取特殊值將

2、表達(dá)式簡(jiǎn)化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心, ,以單位以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫做長(zhǎng)度為半徑的圓叫做單位圓單位圓. .2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角為自變量角為自變量，以以單位圓單位圓上點(diǎn)的上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值

3、為函數(shù)值的函數(shù)，為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域.的終邊幾何畫(huà)板例例1：如圖已知角：如圖已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是的終邊與單位圓的交點(diǎn)是 ， 求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21( P解：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義：23sin 21cos3tanOxy)23,21(P點(diǎn)評(píng)：若已知角點(diǎn)評(píng)：若已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。實(shí)例剖析實(shí)例剖

4、析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐標(biāo)系中，作解：在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tanxyoAB35點(diǎn)評(píng)：若已知角點(diǎn)評(píng)：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角終邊與終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。例例3 已知角已知角 的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,求角求角 的正弦的正弦,余弦和正切值余弦和正切值 .) 4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角

5、設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過(guò)點(diǎn)分別過(guò)點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 設(shè)角設(shè)角 是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即

6、xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無(wú)關(guān)終邊上的位置無(wú)關(guān).P定義推廣：定義推廣：點(diǎn)評(píng)：已知角終邊上異于單位圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值，點(diǎn)評(píng)：已知角終邊上異于單位圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值，可根據(jù)三角形相似將問(wèn)題化歸到單位圓上，再由定義得解?？筛鶕?jù)三角形相似將問(wèn)題化歸到單位圓上，再由定義得解。鞏固提高鞏固提高練習(xí)練習(xí)1 1：已知角：已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn) ，求角求角的的 正弦、余弦和正切值。正弦、余弦和正切值。)22,22(P2.利用三角函數(shù)的定義求利用三角函數(shù)的定義求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值

7、67,2167sin,2367cos3367tan135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，練習(xí)練習(xí)3. 已知角已知角 的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn) ， 求求 的三個(gè)三角函數(shù)值的三個(gè)三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：（ ）（ ）（ ）xyosin（ ） （ ）（ ） （ ）xyotan（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos探究：探究：三角函數(shù)定義域定義域值域值域sincostanRRZkk,21.三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)的定義域和值域2.三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 1,1 1,1R幾何畫(huà)板 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)

8、下列不等式組成立時(shí)，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時(shí)， 角角 為第三象限角為第三象限角.反之也對(duì)。反之也對(duì)。0tan 0sin 證明：證明： 因?yàn)橐驗(yàn)槭绞?成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因?yàn)橛忠驗(yàn)槭绞?成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因?yàn)橐驗(yàn)槭蕉汲闪?，所以角式都成立，所以?的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明反過(guò)來(lái)請(qǐng)同學(xué)們自己證明.1

9、下列各式為正號(hào)的是（下列各式為正號(hào)的是（ ） A cos2 B cos2 sin2 C tan2 cos2 D sin2 tan2C2 若若lg(sintan )有意義，則有意義，則 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x軸的正半軸軸的正半軸C3 已知已知 的終邊過(guò)點(diǎn)的終邊過(guò)點(diǎn)(3a-9,a+2),且且cos 0,則則a的取值范圍是的取值范圍是 。-2a31. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 任意角三角函數(shù)的概念任意角三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域、值域及三角函數(shù)值在各象限三角函數(shù)的

10、定義域、值域及三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)的符號(hào).運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題.化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.2 .方法總結(jié)：方法總結(jié)：3 .體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：歸納總結(jié)歸納總結(jié)課本第20頁(yè) 習(xí)題1.2 A組 3 、 4題.課后作業(yè)課后作業(yè)思考題：求終邊落在直線思考題：求終邊落在直線y=x上的三角函數(shù)上的三角函數(shù)練一練：練一練：(1)若角若角是第二象限角，且是第二象限角，且則則 是第是第 象限角；象限角；(2)若若是第二象限角，則函數(shù)值是第二象限角，則函數(shù)值sin(cos) cos(sin)是是號(hào)號(hào).|cos|cos,

11、22 2如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的如果兩個(gè)角的終邊相同，那么這兩個(gè)角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第三象限角，所

12、以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因?yàn)椋┮驗(yàn)?= ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48練習(xí)練習(xí) 確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)516cos)34sin()817tan( （3）因?yàn)椋┮驗(yàn)?是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos練習(xí)練習(xí) 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角