《任意角的三角函數(shù)》課件

1、 在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？在初中我們是如何定義銳角三角函數(shù)的？sincostancacbba 復(fù)習(xí)回顧復(fù)習(xí)回顧OabMPc22:,OMa MPb OPrab其中yx 1.在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？在直角坐標(biāo)系中如何用坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)？raOPOMcosrbOPMPsinabOMMPtanbaP,Mo如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這如果改變點(diǎn)在終邊上的位置，這三個比值會改變?nèi)齻€比值會改變嗎？嗎？PMOPMPsinOPOMcosOMMPtanOMPPMOPOPMPOOMMOPMMOyxP(a,b)誘思探究誘思探究能否通過能否通過|op|取特殊值將表達(dá)式簡化呢？取特殊值將

2、表達(dá)式簡化呢？OPMPsinOPOMcosOMMPtan，則若1 rOPbaab以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心, ,以單位以單位長度為半徑的圓叫做長度為半徑的圓叫做單位圓單位圓. .2.任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義 設(shè) 是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)),(yxP 那么:（1） 叫做 的正弦正弦，記作 ，即 ；ysinysin （2） 叫做 的余弦余弦，記作 ，即 ； cosxxcos（3） 叫做 的正切正切，記作 ，即 。 xytanxytan 所以，正弦，余弦，正切都是以所以，正弦，余弦，正切都是以角為自變量角為自變量，以以單位圓單位圓上點(diǎn)的上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值

3、為函數(shù)值的函數(shù)，為函數(shù)值的函數(shù)，我們將他們稱為我們將他們稱為三角函數(shù)三角函數(shù).0 , 1AOyxyxP ,)0(x使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域使比值有意義的角的集合即為三角函數(shù)的定義域.的終邊幾何畫板例例1：如圖已知角：如圖已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)是的終邊與單位圓的交點(diǎn)是 ， 求角求角的正弦、余弦和正切值。的正弦、余弦和正切值。)23,21( P解：根據(jù)任意角的三角函數(shù)定義：23sin 21cos3tanOxy)23,21(P點(diǎn)評：若已知角點(diǎn)評：若已知角的終邊與單位圓的交點(diǎn)的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。坐標(biāo)，則可直接利用定義求三角函數(shù)值。實例剖析實例剖

4、析例例2 求求 的正弦、余弦和正切值的正弦、余弦和正切值.3535AOB解：在直角坐標(biāo)系中，作解：在直角坐標(biāo)系中，作 AOB，易知，易知 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為 )23,21(所以所以 2335sin2135cos335tanxyoAB35點(diǎn)評：若已知角點(diǎn)評：若已知角的大小，可求出角的大小，可求出角終邊與終邊與單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。單位圓的交點(diǎn)，然后再利用定義求三角函數(shù)值。例例3 已知角已知角 的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ,求角求角 的正弦的正弦,余弦和正切值余弦和正切值 .) 4, 3(0P5)4()3(220OP解解:由已知可得由已知可得設(shè)角

5、設(shè)角 的終邊與單位圓交于的終邊與單位圓交于 ，),(yxP分別過點(diǎn)分別過點(diǎn) 、 作作 軸的垂線軸的垂線 、0PMPP00PMx400PM 于是，于是， ;54|1sin000OPPMOPMPyyyMP30OMxOMOMP00POM;531cos00OPOMOPOMxx34cossintanxy4, 30P0MOyxMyxP , 設(shè)角設(shè)角 是一個任意角，是一個任意角， 是終邊上的任意一點(diǎn)，是終邊上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn) 與原點(diǎn)的距離與原點(diǎn)的距離),( yxP022yxrP那么那么 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即ryrysin 叫做叫做 的余弦，即的余弦，即rxrxcos 叫做叫做 的正弦，即的正弦，即

6、xy0tanxxy 任意角任意角 的三角函數(shù)值僅與的三角函數(shù)值僅與 有關(guān)，而與點(diǎn)有關(guān)，而與點(diǎn) 在角的在角的終邊上的位置無關(guān)終邊上的位置無關(guān).P定義推廣：定義推廣：點(diǎn)評：已知角終邊上異于單位圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值，點(diǎn)評：已知角終邊上異于單位圓上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求三角函數(shù)值，可根據(jù)三角形相似將問題化歸到單位圓上，再由定義得解?？筛鶕?jù)三角形相似將問題化歸到單位圓上，再由定義得解。鞏固提高鞏固提高練習(xí)練習(xí)1 1：已知角：已知角的終邊經(jīng)過點(diǎn)的終邊經(jīng)過點(diǎn) ，求角求角的的 正弦、余弦和正切值。正弦、余弦和正切值。)22,22(P2.利用三角函數(shù)的定義求利用三角函數(shù)的定義求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值

7、67,2167sin,2367cos3367tan135122222yxr135sinry1312cosrx125tanxy于是于是，練習(xí)練習(xí)3. 已知角已知角 的終邊過點(diǎn)的終邊過點(diǎn) ， 求求 的三個三角函數(shù)值的三個三角函數(shù)值.5 ,12P解：由已知可得：解：由已知可得：（ ）（ ）（ ）xyosin（ ） （ ）（ ） （ ）xyotan（ ）（ ）（ ）（ ）xyocos探究：探究：三角函數(shù)定義域定義域值域值域sincostanRRZkk,21.三角函數(shù)的定義域和值域三角函數(shù)的定義域和值域2.三角函數(shù)值在各象限的符號三角函數(shù)值在各象限的符號 1,1 1,1R幾何畫板 例例3 求證：當(dāng)且僅當(dāng)

8、下列不等式組成立時，求證：當(dāng)且僅當(dāng)下列不等式組成立時， 角角 為第三象限角為第三象限角.反之也對。反之也對。0tan 0sin 證明：證明： 因為因為式式 成立成立,所以所以 角的終邊可能位于第三角的終邊可能位于第三 或第四象限，也可能位于或第四象限，也可能位于y 軸的非正半軸上；軸的非正半軸上；0sin 又因為又因為式式 成立，所以角成立，所以角 的終邊可能位于的終邊可能位于第一或第三象限第一或第三象限. 0tan 因為因為式都成立，所以角式都成立，所以角 的終邊只能位于第三象限的終邊只能位于第三象限.于是角于是角 為第三象限角為第三象限角.反過來請同學(xué)們自己證明反過來請同學(xué)們自己證明.1

9、下列各式為正號的是（下列各式為正號的是（ ） A cos2 B cos2 sin2 C tan2 cos2 D sin2 tan2C2 若若lg(sintan )有意義，則有意義，則 是（是（ ） A 第一象限角第一象限角 B 第四象限角第四象限角 C 第一象限角或第四象限角第一象限角或第四象限角 D 第一或第四象限角或第一或第四象限角或x軸的正半軸軸的正半軸C3 已知已知 的終邊過點(diǎn)的終邊過點(diǎn)(3a-9,a+2),且且cos 0,則則a的取值范圍是的取值范圍是 。-2a31. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 任意角三角函數(shù)的概念任意角三角函數(shù)的概念.三角函數(shù)的定義域、值域及三角函數(shù)值在各象限三角函數(shù)的

10、定義域、值域及三角函數(shù)值在各象限的符號的符號.運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題運(yùn)用了定義法、公式法、數(shù)形結(jié)合法解題.化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想化歸的思想，數(shù)形結(jié)合的思想.2 .方法總結(jié)：方法總結(jié)：3 .體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想：歸納總結(jié)歸納總結(jié)課本第20頁 習(xí)題1.2 A組 3 、 4題.課后作業(yè)課后作業(yè)思考題：求終邊落在直線思考題：求終邊落在直線y=x上的三角函數(shù)上的三角函數(shù)練一練：練一練：(1)若角若角是第二象限角，且是第二象限角，且則則 是第是第 象限角；象限角；(2)若若是第二象限角，則函數(shù)值是第二象限角，則函數(shù)值sin(cos) cos(sin)是是號號.|cos|cos,

11、22 2如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的如果兩個角的終邊相同，那么這兩個角的同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？同一三角函數(shù)值有何關(guān)系？ 終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等（公式一）tan)2tan(cos)2cos(sin)2sin(kkk其中其中zk 利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為利用公式一，可以把求任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求求 角的三角函數(shù)值角的三角函數(shù)值 .360020到或到 例例4 確定下列三角函數(shù)值的符號：確定下列三角函數(shù)值的符號： （1） （2） （3）解：解：250cos)672tan(4sin（1）因為）因為 是第三象限角，所

12、以是第三象限角，所以 ；2500250cos（2）因為）因為 = ， 而而 是第一象限角，所以是第一象限角，所以 ；)672tan(48tan)360248tan(0)672tan(48練習(xí)練習(xí) 確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號516cos)34sin()817tan( （3）因為）因為 是第四象限角，所以是第四象限角，所以 .404sin例例5 求下列三角函數(shù)值：求下列三角函數(shù)值： （1） （2）49cos)611tan( 解：（解：（1） 224cos)24cos(49cos練習(xí)練習(xí) 求下列三角函數(shù)值求下列三角函數(shù)值319tan)431tan( 31336tan6tan)26tan()611tan(（2）1. 內(nèi)容總結(jié)：內(nèi)容總結(jié)： 三角函數(shù)的概念三角函數(shù)的概念.三角