哈工大數(shù)字信號(hào)處理2011試題A

1、 3 （10 分）已知已知 X (k ， Y (k 是兩個(gè) N 點(diǎn)實(shí)序列 x(n ， y (n 的 DFT 值，今需要從 X (k ， Y (k 求 x(n ， y (n 的值，為了提高運(yùn)算效率，試用一個(gè) N 點(diǎn) IFFT 運(yùn)算一 次完成。 解：依據(jù)題意： x(n X (k ; y (n Y (k ， 取序列： Z (k = X (k + jY (k ， 對(duì) Z (k 作 N 點(diǎn) IFFT 可得序列 z (n ，又根據(jù) DFT 性質(zhì)： IDFT X （k） + jY （k） = IDFT（ X （k） + jIDFT Y （k） =（ x n） + jy （n） y n） ，由原題可知： （

2、，（ 都是實(shí)序列， x n） z n） =（ x n） + jy （n） 再根據(jù) （ x n） = Re（ z n） ， （ y n） = Im（ z n） ， 可得： （ 綜上所述，構(gòu)造序列： Z （k） =X （k） + jY （k） ， y n） 可用一次 N 點(diǎn) IFFT 完成計(jì)算 （ ，（ 值的過(guò)程。 x n） 第 6 頁(yè) （共 9 頁(yè)） 4 （15 分）用矩形窗設(shè)計(jì)線性相位低通濾波器，逼近濾波器的傳輸函數(shù) H (e j 為： e j , 0 c ， H (e = c 0, j 1） 求出相應(yīng)的理想低通的單位抽樣響應(yīng) hd (n ； 2） 求出矩形窗設(shè)計(jì)法的 h(n 的表達(dá)式，確定

3、與 N 之間的關(guān)系； 3） N 取奇數(shù)或偶數(shù)對(duì)濾波特性有什么影響？ 解：1） hd (n = 1 2 H d (e j e jn d = 1 2 e c c j e jn d = sinc (n (n 2）為了滿足線性相位條件，要求 = N 1 ， N 為矩形窗函數(shù)的長(zhǎng)度。加矩形窗函 2 sinc (n RN (n (n 數(shù)得到 h(n ： h(n = hd (n RN (n = N 1 sinc (n , 0 n N 1, = 2 = (n 其它n 0, 3）N 取奇數(shù)時(shí)，幅度特性函數(shù) H g ( 關(guān)于 = 0, , 2 三點(diǎn)偶對(duì)稱，可實(shí)現(xiàn)各類幅 頻特性；N 取偶數(shù)時(shí)，幅度特性函數(shù) H g

4、( 關(guān)于 = 奇對(duì)稱，所以不能實(shí)現(xiàn)高通、 帶阻和點(diǎn)阻濾波特性。 第 7 頁(yè) （共 9 頁(yè)） 5 (15 分 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字巴特沃思低通濾波器，給定指標(biāo)為： 1）衰減 1 3dB ，當(dāng) 0 f 2.5Hz 2）衰減 2 40dB ，當(dāng) f 50 Hz 3）抽樣頻率 f s = 200 Hz 。試用雙線性變換法進(jìn)行設(shè)計(jì)，最后寫出 H ( z 的表達(dá)式，并畫出其結(jié)構(gòu)。 附表：巴特沃思?xì)w一化模擬低通濾波器部分參數(shù) 階數(shù)(N 1 2 3 4 分母多項(xiàng)式sN+bN-1sN-1+bN-2sN-2+b1s+ b0的系數(shù) b0 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.4142 2.0000 2

5、.6131 2.0000 3.4142 2.6131 b1 b2 b3 解： T = 1 = 5 10 3 fs ， c = 2 f cT = 2 2.5 采用雙線性變換法: 由指標(biāo)要求得： 1 1 = , st = 2 f stT = 2 50 = 200 40 200 2 2 = tg( T 2 20 log 10 | H a ( j 400 tg ( 80 | 3 20 log 10 | H a ( j 400 tg ( | 40 4 1 2 又 H a ( j = 2N 1+( c 故 20 log10 | H a ( j |= 10 log10 1 + ( 2N ，因而： c 2N

6、j 400 tg ( 4 40 10 log10 1 + c 2N j 400 tg ( 80 3, 10 log10 1 + c 第 8 頁(yè) （共 9 頁(yè)） 取等號(hào)計(jì)算，則有： (1 :1 + 400tg ( / 80 / c 2 N = 100.3 , (2 :1 + (400tg ( / 4 / c 2 N = 104 1 log(10 4 1 /(10 0.3 1 = 1.42 得： N = 2 log1 / tg ( / 80 取 N=2 , 代入(1式使通帶邊沿滿足要求， 可得 c = 15.7 又二階歸一化巴特沃思濾波器為： Ha( s = 1 s + 1.4142136 s + 1 2 代入 s = s / c ： Ha( s = 246.5 s + 22.2 s + 246.5 2 由雙線性變換： H ( z = H a ( s | 1 z 1 s = 400 1+ z 1 246.5 (1 + z 1 2 = 400(1 z 1 2 + 22.2 400(1 z 2 + 246.5(1 + z 1 2 246.5 (1 + 2 z 1 + z 2 1.69126