微積分(1)極限的概念

1、 事實(shí)上， 上述命題不成立。 即： 如果 lim 比如數(shù)列 an = (-1n ，顯然有 lim a1 + a2 + n ®¥ n a1 + a2 + n ®¥ n + an + an 未必有 lim an = a 。 = a， n ®¥ = 0 ，但 lim an 不存在。 n ®¥ 例 8.已知 lim an = a ，求證： lim an = a 。 n ®¥ n ®¥ 證明：由 lim an = a ，可得對(duì) "e > 0 ， $N1 Î n

2、 ®¥ * ，當(dāng) n > N1 時(shí)，有 an - a < e ， 又因?yàn)?an - a £ an - a ， 所以，當(dāng) n > N1 時(shí)，有 an - a < e ， 即 lim an = a 。 n ®¥ 思考： 例 8 的結(jié)論反過(guò)來(lái)是否成立？即： 如果 lim an = a ， 是否有 lim an = a ？ n ®¥ n ®¥ （1）當(dāng) a = 0 時(shí)，上述命題成立。即：如果 lim an = 0 ，則有 lim an = 0 。 n ®¥ n 

3、4;¥ 證明：由 lim an = 0 ，可得對(duì) "e > 0 ， $N1 Î n ®¥ * ，當(dāng) n > N1 時(shí)，有 （*） an - 0 < e ， 又因?yàn)椋?）式等價(jià)于 an - 0 < e ， 所以可得 lim an = 0 ； n ®¥ （2）當(dāng) a ¹ 0 時(shí)，上述命題不成立。即：如果 lim an = a ，未必有 lim an = a 。 n ®¥ n ®¥ 11 比如數(shù)列 an = (-1n ，顯然有 lim an = 1 ，但 l

4、im an 不存在。 n ®¥ n ®¥ 類似地，利用數(shù)列極限定義的否定形式： lim an ¹ a Û $e 0 > 0 ， "N Î n ®¥ * ， $n0 > N 時(shí)，使得 an0 - a ³ e 0 。 我們可以證明某些數(shù)列是發(fā)散的。 例 9.證明數(shù)列 (-1n 是發(fā)散數(shù)列。 分析：我們只需證明，任意的實(shí)數(shù) a 都不是數(shù)列 (-1n 的極限，即對(duì)任意的 實(shí)數(shù) a ， lim(-1n ¹ a 。 n ®¥ 證明：記 an = (-1n

5、。 （1）若 a = 1 ，取 e 0 = 1 ，當(dāng) n0 為任意奇數(shù)時(shí)，有 an0 - 1 = 2 > e 0 ； （2）若 a = -1 ，取 e 0 = 1 ，當(dāng) n0 為任意偶數(shù)時(shí)，有 an0 - (-1 = 2 > e 0 ； （3）若 a ¹ ±1 ，取 e 0 = min a + 1 , a - 1 ，對(duì) "n Î * ，有 an - a ³ e 0 。 綜合（1） 、 （2） 、 （3） ，可得數(shù)列 (-1n 是發(fā)散數(shù)列。 例 10.證明數(shù)列 sin n 是發(fā)散數(shù)列。 分析：我們只需證明，任意的實(shí)數(shù) a 都不是數(shù)列 sin n 的極限，即對(duì)任意的 實(shí)數(shù) a ， lim sin n ¹ a 。 n ®¥ 證明：記 an = sin n 。不妨假設(shè) a < 0 。 取 e0 = 1 ，對(duì) "N Î 2 * p 5p æ ， $n0 Î ç 2 Np + , 2 Np + 6 6 è ö ÷ ，且滿足 n0 > N ，使得 ø an0 - a = sin n0