《基本不等式》教案

1、基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)教材：人教版高中數(shù)學(xué)必修 5 5 第三章一、教學(xué)目標(biāo)1 1 通過(guò)兩個(gè)探究實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生從幾何圖形中獲得兩個(gè)基本不等式，了解基本不等式的幾何背景，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；2 2 進(jìn)一步提煉、完善基本不等式，并從代數(shù)角度給出不等式的證明，組織學(xué)生分析證明方法，加深對(duì)基本不等式的認(rèn)識(shí)，提高邏輯推理論證能力；3 3 結(jié)合課本的探究圖形，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究基本不等式的幾何解釋，強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想；4 4借助例 1 1 嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，通過(guò)例2 2 及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式-的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略.

2、以上教學(xué)目標(biāo)結(jié)合了教學(xué)實(shí)際，將知識(shí)與能力、過(guò)程與方法、情感態(tài)度價(jià)值觀的三維目標(biāo)融入各個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié).二、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想理解基本不等式，并從不同角度探索不等式丿的證明過(guò)程;難點(diǎn)：在幾何背景下抽象出基本不等式，并理解基本不等式.三、教學(xué)過(guò)程：1.1.動(dòng)手操作，幾何引入如圖是 20XX20XX 年在北京召開的第 2424 屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”設(shè)計(jì)的，該圖給出了迄今為止對(duì)勾股定理最早、最簡(jiǎn)潔的證明，體現(xiàn)了以形證數(shù)、形數(shù)統(tǒng)一、代數(shù) 和幾何是緊密結(jié)合、互不可分的.探究一：在這張“弦圖”中能找出一些相等關(guān)系和不等關(guān)系嗎?在正方形-3.7S-3.7S

3、 中有 4 4 個(gè)全等的直角三角形.設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)為-，4 4 個(gè)直角三角形的面積之和丄二探究二：先將兩張正方形紙片沿它們的對(duì)角線折成兩個(gè)等腰直角三角形，再用這兩個(gè)三角形拼接構(gòu) 造出一個(gè)矩形(兩邊分別等于兩個(gè)直角三角形的直角邊，多余部分折疊)假設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別 為；和 9 9 ( ( = = 3:)3:)，考察兩個(gè)直角三角形的面積與矩形的面積，你能發(fā)現(xiàn)一個(gè)不等式嗎?通過(guò)學(xué)生動(dòng)手操作，探索發(fā)現(xiàn)：-2 2 代數(shù)證明，得出結(jié)論根據(jù)上述兩個(gè)幾何背景，初步形成不等式結(jié)論:若乩比用，則 a a3 3十滬2ab則學(xué)生探討等號(hào)取到情況，教師演示幾何畫板，通過(guò)展示圖形動(dòng)畫，使學(xué)生直觀感受不等關(guān)系

4、中的相 等條件，從而進(jìn)一步完善不等式結(jié)論:+a * 、価玄士(1)(1)若工廠，則工廠二山；(2 2 )若工廠，則二那么正方形的邊長(zhǎng)為曰是,若二正方形的面積亠T 1 1請(qǐng)同學(xué)們用代數(shù)方法給出這兩個(gè)不等式的證明.證法一（作差法）cP +0-L； L二衣，當(dāng)二=上時(shí)取等號(hào).（在該過(guò)程中，可發(fā)現(xiàn) 廠的取值可以是全體實(shí)數(shù)）證法二（分析法）：由于二二：，于是要證明,只要證明-： -,即證 I I - - - - - -,&十b 區(qū)即 1,該式顯然成立，所以-，當(dāng)左時(shí)取等號(hào).得出結(jié)論，展示課題內(nèi)容基本不等式：若= ,貝 U U（當(dāng)且僅當(dāng)-時(shí)，等號(hào)成立）若則丁丨-二-工（當(dāng)且僅當(dāng)左八時(shí)，等號(hào)成立）深

5、化認(rèn)識(shí)：稱、匚為的幾何平均數(shù)；稱 -為的算術(shù)平均數(shù)基本不等式-又可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)不大于它們的算術(shù)平均數(shù)3 3 幾何證明，相見益彰探究三：如圖，3 3 三是圓二的直徑，點(diǎn)是 3 3 三上一點(diǎn)，上二=二，耳= 過(guò)點(diǎn)匸作垂直于二三的 弦連接 J J - - 根據(jù)射影定理可得：-z;由于 Rt_Rt_匚二二中直角邊 K ：斜邊応，應(yīng) V 土于是有-當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn) 匸與圓心二重合時(shí)，即 =-時(shí)等號(hào)成立.故而再次證明：當(dāng)時(shí)，-（當(dāng)且僅當(dāng)二=?時(shí)，等號(hào)成立）（進(jìn)一步加強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，提升思維的靈活性）4 4 應(yīng)用舉例，鞏固提高例 1.1. （1 1）用籬笆圍一個(gè)面積為100100 平方米的矩形菜

6、園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？（2 2）段長(zhǎng)為 3636 米的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，問(wèn)這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬為多少時(shí)，菜園的面積最 大，最大面積是多少？（通過(guò)例 1 1 的講解，總結(jié)歸納利用基本不等式求最值問(wèn)題的特征，實(shí)現(xiàn)積與和的轉(zhuǎn)化）（1 1）若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)h時(shí)，有最小值- -；（2 2） 若（定值），則當(dāng)且僅當(dāng)- =-時(shí)，刁有最大值（鼓勵(lì)學(xué)生自己探索推導(dǎo)，不但可使他們加深基本不等式的理解，還鍛煉了他們的思維，培養(yǎng)了勇于探索的精神）7 7 = = 1+1+ 丄 g g 0 0）例 2.2.求.1的值域.I 1變式 1.1.若：，求的最小值.尸=X X +

7、 + 2 2（H H # # 0 0）在運(yùn)用基本不等式解題的基礎(chǔ)上，利用幾何畫板展示-的函數(shù)圖象，使學(xué)生再次感受 數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想.并通過(guò)例 2 2 及其變式引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基本不等式1 1 的三個(gè)限制條件(一正二定三相等)在解決最值問(wèn)題中的作用，提升解決問(wèn)題的能力，體會(huì)方法與策略.練一練(自主練習(xí))：1.1. 已知廠；L L，且，求門的最小值.2.2. 設(shè) T -:且八，求下的最小值.5.5.歸納小結(jié)，反思提高基本不等式：若-，則-八十/二亠上(當(dāng)且僅當(dāng)=上時(shí)，等號(hào)成立)* 個(gè) W 竺迪若二:=-:,則-(當(dāng)且僅當(dāng)二=-時(shí)，等號(hào)成立)(1)基本不等式的幾何解釋(數(shù)形結(jié)合思想)；(2)運(yùn)用基

8、本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的基本方法.媒體展示，滲透思想：_ _ E E 十 F F若將算術(shù)平均數(shù)記為：，幾何平均數(shù)記為 J J_ _利用電腦 3D3D 技術(shù)，在空間坐標(biāo)系中向?qū)W生展示基本不等式的幾何背景：平面-在曲面- 的上方6.6.布置作業(yè)，課后延拓(1) 基本作業(yè)：課本 P100P100 習(xí)題二組 1 1、2 2 題(2) 拓展作業(yè)：請(qǐng)同學(xué)們課外到閱覽室或網(wǎng)上查找基本不等式的其他幾何解釋，整理并相互交流.(3) 探究作業(yè)：現(xiàn)有一臺(tái)天平，兩臂長(zhǎng)不相等，其余均精確，有人說(shuō)要用它稱物體的重量，只需將物體放在左右托 盤各稱一次，則兩次所稱重量的和的一半就是物體的真實(shí)重量這種說(shuō)法對(duì)嗎？并說(shuō)明你的結(jié)論

9、.基本不等式教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明一、內(nèi)容和內(nèi)容解析本節(jié)課是人教版高中數(shù)學(xué)必修5 5 中第三章第 4 4 節(jié)的內(nèi)容。主要是二元均值不等式。它是在系統(tǒng)地學(xué)習(xí)了不等關(guān)系和不等式性質(zhì)，掌握了不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上展開的，作為重要的基本不等式之一，為后續(xù) 的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。要進(jìn)一步了解不等式的性質(zhì)及運(yùn)用，研究最值問(wèn)題，此時(shí)基本不等式是必不可缺的。 基本不等式在知識(shí)體系中起了承上啟下的作用，同時(shí)在生活及生產(chǎn)實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用，因此它也是 對(duì)學(xué)生進(jìn)行情感價(jià)值觀教育的優(yōu)良素材，所以基本不等式應(yīng)重點(diǎn)研究。教學(xué)中注意用新課程理念處理教材，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不僅要接受、記憶、模仿和練習(xí)，而且要 自主探究、動(dòng)手實(shí)踐、合作交流、閱

10、讀自學(xué)，師生互動(dòng)，教師發(fā)揮組織者、弓 I I 導(dǎo)者、合作者的作用，弓 I I 導(dǎo)學(xué)生主體參與、揭示本質(zhì)、經(jīng)歷過(guò)程。就知識(shí)的應(yīng)用價(jià)值上來(lái)看，基本不等式是從大量數(shù)學(xué)問(wèn)題和現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中抽象出來(lái)的一個(gè)模型，在公 式推導(dǎo)中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法如數(shù)形結(jié)合、抽象歸納、演繹推理、分析法證明等在各種不等式的研究 中均有著廣泛的應(yīng)用；另外，在解決函數(shù)最值問(wèn)題中，基本不等式也起著重要的作用。就內(nèi)容的人文價(jià)值上來(lái)看，基本不等式的探究與推導(dǎo)需要學(xué)生觀察、分析、歸納，有助于培養(yǎng)學(xué)生 創(chuàng)新思維和探索精神，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合意識(shí)和提高數(shù)學(xué)能力的良好載體。二、教學(xué)目標(biāo)和目標(biāo)解析教學(xué)目標(biāo)：了解基本不等式的幾何背景，能在教師的引導(dǎo)下

11、探究基本不等式的證明過(guò)程，理解基本 不等式的幾何解釋，并能解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題；借助于信息技術(shù)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合的思想方法。在教師的逐步引導(dǎo)下，能從較為熟悉的幾何圖形中抽象出基本不等式，實(shí)現(xiàn)對(duì)基本不等式幾何背景 的初步了解。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式的基本性質(zhì)， 可以運(yùn)用作差法給出基本不等式的證明， 同時(shí)， 介紹并滲透分 析法證明的思想方法，從而完成基本不等式的代數(shù)證明。進(jìn)一步通過(guò)探究幾何圖形，給出基本不等式的幾何解釋，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。通過(guò)應(yīng)用問(wèn)題的解決，明確解決應(yīng)用題的一般過(guò)程。這是一個(gè)過(guò)程性目標(biāo)。借助例1 1，引導(dǎo)學(xué)生嘗試用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題，體會(huì)和與積的相互轉(zhuǎn)化，進(jìn)一步通過(guò)例2 2,

12、引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)運(yùn)用基爲(wèi)5玄空色本不等式J的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用， 并用幾何畫板展示函數(shù)圖形，進(jìn)一步深化數(shù)形結(jié)合的思想。結(jié)合變式訓(xùn)練完善對(duì)基本不等式結(jié)構(gòu)的理解，提升解決問(wèn)題的 能力，體會(huì)方法與策略。三、教學(xué)問(wèn)題診斷在認(rèn)知上，學(xué)生已經(jīng)掌握了不等式的基本性質(zhì)，并能夠根據(jù)不等式的性質(zhì)進(jìn)行數(shù)、式的大小比較，也具備了一定的平面幾何的基本知識(shí)。但是，倘若教師不加以引導(dǎo)， 學(xué)生并不能自覺地通過(guò)已有的知識(shí)、記憶去發(fā)展和構(gòu)建幾何圖形中的相等或不等關(guān)系，這就需要教師逐步地引導(dǎo)，并選用合理的手段去激活 學(xué)生的思維，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí)。另外，盡可能引領(lǐng)學(xué)生充分理解兩個(gè)基本不等式等號(hào)成立

13、的條件，為利用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最值問(wèn)題做好鋪墊。在用基本不等式解決最值時(shí)， 學(xué)生往往容易忽視基本不等式J使用的前提條件洽 I I，同時(shí)又要注意區(qū)別基本不等式匸二一 I I 的使用條件為 n。因此，在教學(xué)過(guò)程中，借助例題落實(shí)學(xué)生領(lǐng)會(huì)基本不等式成立的三個(gè)限制條件（一正二定三相等）在解決最值問(wèn)題中的作用。 而對(duì)于“一正二定三相等”的進(jìn)一步強(qiáng)化和應(yīng)用，將放于下一個(gè)課時(shí)的內(nèi)容。四、教學(xué)支持條件分析為了能很好地展示幾何圖形，體會(huì)基本不等式的幾何背景，教學(xué)中需要有具體的圖形來(lái)幫助學(xué)生理 解基本不等式的生成， 感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想， 所以，借助于幾何畫板軟件來(lái)加強(qiáng)幾何直觀十分必要， 同時(shí)演示動(dòng)畫幫助學(xué)生

14、驗(yàn)證基本不等式等號(hào)取到的情況，并用電腦3D3D 技術(shù)展示基本不等式的又一幾何背景，加深對(duì)基本不等式的理解，增強(qiáng)教學(xué)效果。五、教學(xué)設(shè)計(jì)流程圖教學(xué)過(guò)程的設(shè)計(jì)從實(shí)際的問(wèn)題情境出發(fā)，以基本不等式的幾何背景為著手點(diǎn)，以探究活動(dòng)為主線， 探求基本不等式的結(jié)構(gòu)形式，并進(jìn)一步給出幾何解釋，深化對(duì)基本不等式的理解。通過(guò)典型例題的講解, 明確利用基本不等式解決簡(jiǎn)單最值問(wèn)題的應(yīng)用價(jià)值。數(shù)形結(jié)合的思想貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程，并時(shí)刻體現(xiàn) 在教學(xué)活動(dòng)之中。六、教法和預(yù)期效果分析本節(jié)課通過(guò) 6 6 個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，強(qiáng)調(diào)過(guò)程教學(xué)，在教師的引導(dǎo)下，啟動(dòng)觀察、分析、感知、歸納、探究 等思維活動(dòng)，從各個(gè)層面認(rèn)識(shí)基本不等式，并理解其幾何背景。課堂教學(xué)以學(xué)生為主體，基本不等式為 主線，在學(xué)生原有的認(rèn)知基本上，充分展示基本不等式這一知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展及再創(chuàng)造的過(guò)程。同時(shí)，以多媒體課件、幾何畫板、電腦3D3D 技術(shù)作為教學(xué)輔助手段，賦予學(xué)生直觀感受，便于觀察，從而把一個(gè)生疏的、內(nèi)在的知識(shí)，變