第6講守恒定律綜合應(yīng)用

1、第6講：守恒定律綜合應(yīng)用內(nèi)容：§37，§38，§391 碰撞的概念2 完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞 (30分鐘) 3質(zhì)心的概念和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 (30分鐘) 4系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量流動(dòng)問題 (40分鐘)要求： 1了解碰撞的概念 2掌握完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞的規(guī)律 3了解質(zhì)心的概念 4了解質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律重點(diǎn)與難點(diǎn)： 1完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞 2質(zhì)心和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律 3系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量流動(dòng)問題作業(yè)：?jiǎn)栴}：P100：18，19，20，21習(xí)題：P105：27，28，31，32復(fù)習(xí)：第一、二、三章復(fù)習(xí)：l 功和功率l 動(dòng)能定理l 保守力與非保守力l 勢(shì)能l 功能原理l 機(jī)械能守恒定

2、律§37 完全彈性碰撞 完全非彈性碰撞一、碰撞（Collision）1基本概念：碰撞，一般是指兩個(gè)或兩個(gè)以上物體在運(yùn)動(dòng)中相互靠近，或發(fā)生接觸時(shí)，在相對(duì)較短的時(shí)間內(nèi)發(fā)生強(qiáng)烈相互作用的過程。碰撞會(huì)使兩個(gè)物體或其中的一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生明顯的變化。撞過程一般都非常復(fù)雜，難于對(duì)過程進(jìn)行仔細(xì)分析。但由于我們通常只需要了解物體在碰撞前后運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化，而對(duì)發(fā)生碰撞的物體系來說，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用動(dòng)量、角動(dòng)量以及能量守恒定律對(duì)有關(guān)問題求解。2特點(diǎn)：1）碰撞時(shí)間極短2）碰撞力很大，外力可以忽略不計(jì)，系統(tǒng)動(dòng)量守恒3）速度要發(fā)生有限的改變，位移在碰撞前后可以忽略不計(jì)3碰撞過程的分析

3、： 討論兩個(gè)球的碰撞過程。碰撞過程可分為兩個(gè)過程。開始碰撞時(shí)，兩球相互擠壓，發(fā)生形變，由形變產(chǎn)生的彈性恢復(fù)力使兩球的速度發(fā)生變化，直到兩球的速度變得相等為止。這時(shí)形變得到最大。這時(shí)碰撞得第一階段，稱為壓縮階段。此后，由于形變?nèi)匀淮嬖冢瑥椥曰謴?fù)力繼續(xù)作用，使兩球速度改變而有相互脫離接觸得趨勢(shì)，兩球壓縮逐漸減小，直到兩球脫離接觸時(shí)為止。這時(shí)碰撞得第二階段，稱為恢復(fù)階段。整個(gè)碰撞過程到此結(jié)束。4分類：根據(jù)碰撞過程能量是否守恒1）完全彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能守恒（能完全恢復(fù)原狀）；2）非彈性碰撞：碰撞前后系統(tǒng)動(dòng)能不守恒（部分恢復(fù)原狀）； 3）完全非彈性碰撞：碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運(yùn)動(dòng)（完全不能恢復(fù)原

4、狀）。二、完全彈性碰撞（Perfect Elastic Collision）在碰撞后，兩物體的動(dòng)能之和（即總動(dòng)能）完全沒有損失，這種碰撞叫做完全彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量、動(dòng)能守恒。問題：兩球m1，m2對(duì)心碰撞，碰撞前速度分別為，碰撞后速度變?yōu)閯?dòng)量守恒 （1）動(dòng)能守恒 （2）由（1） （3）由（2） （4）由(4)/(3) 或 （5）即碰撞前兩球相互趨近的相對(duì)速度v10-v20等于碰撞后兩球相互分開的相對(duì)速度v2-v1。由（3）、（5）式可以解出： 討論：l m1=m2，則v2=v10，v1=v20，兩球碰撞時(shí)交換速度l v20=0，m1<<m2則v1=-v10，v2=0，m1反彈，

5、即質(zhì)量很大且原來靜止的物體，在碰撞后仍保持不動(dòng)，質(zhì)量小的物體碰撞后速度等值反向。l 若m2<<m1，且v20=0，則v1v10，v22v10，即一個(gè)質(zhì)量很大的球體，當(dāng)它的與質(zhì)量很小的球體相碰時(shí)，它的速度不發(fā)生顯著的改變，但是質(zhì)量很小的球卻以近似于兩倍于大球體的速度運(yùn)動(dòng)。三、完全非彈性碰撞（Perfect Inelastic Collision）如兩物體在碰撞后以同一速度運(yùn)動(dòng)（即它們相碰后不再分開），這種碰撞叫做完全非彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒。碰撞后系統(tǒng)以相同的速度運(yùn)動(dòng)動(dòng)量守恒 所以 動(dòng)能損失為 四、非完全彈性碰撞兩物體碰撞時(shí)，由于非保守力作用，致使機(jī)械能轉(zhuǎn)換為熱能、聲能、化學(xué)能

6、等其他形式的能量，或者其他形式的能量轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，這種碰撞就叫做非彈性碰撞。解題要點(diǎn)：動(dòng)量守恒、能量守恒。由于壓縮后得物體不能完全恢復(fù)原狀而有部分形變被保留下來，因此系統(tǒng)的動(dòng)量守恒而動(dòng)能不守恒。 實(shí)驗(yàn)表明，壓縮后得恢復(fù)程度取決于碰撞物體得材料。牛頓總結(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提出碰撞定律：碰撞后兩球的分離速度v2-v1與碰撞前兩球的接近速度v10-v20之比為以定值，比值由兩球材料得性質(zhì)決定。該比值稱為恢復(fù)系數(shù)（Coefficient of Restitution），用e表示，即 由上式可見：e=0，v2=v1，為完全非彈性碰撞； e=1，v2=v1= v10-v20，為完全彈性碰撞； 0<e<

7、1，為非完全彈性碰撞； 例題：如圖所示，質(zhì)量為1kg的鋼球，系在長(zhǎng)為l=0.8m的繩子的一端，繩子的另一端固定。把繩子拉至水平位置后將球由靜止釋放，球在最低點(diǎn)與質(zhì)量為5kg的鋼塊作完全彈性碰撞。求碰撞后鋼球升高的高度。解：本題分三個(gè)過程：第一過程：鋼球下落到最低點(diǎn)。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。 (1)第二過程：鋼球與鋼塊作完全彈性碰撞，以鋼球和鋼塊為系統(tǒng)，動(dòng)能和動(dòng)量守恒。 (2) (3)第三過程：鋼球上升。以鋼球和地球?yàn)橄到y(tǒng)，機(jī)械能守恒。以鋼球在最低點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)。 (4)由(2)、(3)可得 (5) (6)(6)/(5)，得 代入(2) 因而 (7)(4)

8、/(1)，得 (8)(7)代入(8) 代入數(shù)據(jù)，得 §38 能量守恒定律一、內(nèi)容：如果系統(tǒng)內(nèi)除了萬有引力、彈性力等保守力作功以外，還有摩擦力或其他非保守內(nèi)力作功，那么這系統(tǒng)的機(jī)械能就要發(fā)生變化，但它總是轉(zhuǎn)換為其他形式的能量，這是由大量的實(shí)驗(yàn)所證明的。對(duì)于一個(gè)孤立系統(tǒng)來說，系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量是可以相互轉(zhuǎn)換的，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生，也不能消滅，能量的總和是不變的。這就是能量守恒定律。該定律是自然界的基本定律之一，是物理學(xué)中最具普遍性的定律之一，可適用于任何變化過程，不論是機(jī)械的、熱的、電磁的、原子和原子核內(nèi)的，以及化學(xué)的、生物的等等，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了機(jī)械能守恒定律的范圍，后

9、者只不過是前者的一個(gè)特例。二、說明：1 能量守恒定律是19世紀(jì)，經(jīng)過J.M.Meyer，D.Joule和H.Von Helmholtz等人的努力建立起來的。Engels把能量守恒定律同生物進(jìn)化論、細(xì)胞的發(fā)現(xiàn)相提并論，譽(yù)為19世紀(jì)的三個(gè)最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)。2 因?yàn)槟芰渴歉鞣N運(yùn)動(dòng)的一般量度，所以能量守恒定律所闡明的實(shí)質(zhì)就是各種物質(zhì)的運(yùn)動(dòng)可以相互轉(zhuǎn)換。三、能量守恒定律的重要性：l 自然界一切已經(jīng)實(shí)現(xiàn)的過程無一例外遵守能量守恒定律。l 凡是違反能量守恒定律的過程都是不可能實(shí)現(xiàn)的，例如“永動(dòng)機(jī)”只能以失敗而告終。l 利用能量守恒定律研究物體系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)各物體的相互作用如何復(fù)雜，也可以不問過程的細(xì)節(jié)

10、如何，而直截了當(dāng)?shù)貙?duì)系統(tǒng)的始末狀態(tài)的某些特征下結(jié)論，為解決問題另辟新路子。這也是守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)。四、 守恒定律的意義自然界中許多物理量，如動(dòng)量、角動(dòng)量、機(jī)械能、電荷、質(zhì)量、宇稱、粒子反應(yīng)中的重子數(shù)、輕子數(shù)等等，都具有相應(yīng)的守恒定律。物理學(xué)特別注意守恒量和守恒定律的研究，這是因?yàn)椋旱谝唬瑥姆椒ㄕ撋峡矗豪檬睾愣煽杀荛_過程細(xì)節(jié)而對(duì)系統(tǒng)始、末態(tài)下結(jié)論（特點(diǎn)、優(yōu)點(diǎn)）。第二，從適用性來看：守恒定律適用范圍廣，宏觀、微觀、高速、低速均適用(牛頓定律只適用于宏觀、低速，但由它導(dǎo)出的動(dòng)量守恒定律的適用范圍遠(yuǎn)它廣泛，迄今為止沒發(fā)現(xiàn)它不對(duì)過)。第三，從認(rèn)識(shí)世界來看：守恒定律是認(rèn)識(shí)世界的有力武器。在新現(xiàn)象研

11、究中，當(dāng)發(fā)現(xiàn)某個(gè)守恒定律不成立時(shí)，往往作以下考慮： (1)尋找被忽略的因素，從而恢復(fù)守恒定律的應(yīng)用。 (2)引入新概念，使守恒定律更普遍化。 (3)無法“ 補(bǔ)救”時(shí)，宣布該守恒定律失效。例：中微子的發(fā)現(xiàn)問題的提出:衰變：核A 核B + e如果核A靜止,則由動(dòng)量守恒應(yīng)有 PB +Pe = 0 ；但衰變?cè)剖艺掌砻? B、e的徑跡并不在一條直線上。問題何在? 是動(dòng)量守恒有問題?還是有其它未知粒子參與?物理學(xué)家堅(jiān)信動(dòng)量守恒。l 1930年泡利(W.Pauli)提出中微子假說，以解釋衰變各種現(xiàn)象。l 1956年(26年后)終于在實(shí)驗(yàn)上直接找到中微子。l 1962實(shí)驗(yàn)上正式確定有兩種中微子：電子中微子e

12、、子中微子第四，從本質(zhì)上看：守恒定律揭示了自然界普遍的屬性對(duì)稱性。每一個(gè)守恒定律都相應(yīng)于一種對(duì)稱性（變換不變性）：動(dòng)量守恒 相應(yīng)于 空間平移的對(duì)稱性能量守恒 相應(yīng)于 時(shí)間平移的對(duì)稱性角動(dòng)量守恒 相應(yīng)于 空間轉(zhuǎn)動(dòng)的對(duì)稱性*功與能量的聯(lián)系和區(qū)別能量守恒定律能使我們更深刻地理解功的意義。按能量守恒定律，一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量變化時(shí)，必然有另一個(gè)物體或系統(tǒng)的能量同時(shí)發(fā)生變化。所以當(dāng)我們用作功的方法（以及用傳遞熱量等其他方法）使一個(gè)系統(tǒng)的能量變化時(shí)，在本質(zhì)上是這個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)系統(tǒng)之間發(fā)生了能量的交換。而這個(gè)能量的交換在量值上就用功來描述。所以說，（1）功總是和能量的變化與轉(zhuǎn)換過程相聯(lián)系。（2）功是能量交換

13、或變化的一種量度。 （3）能量是代表物體系統(tǒng)在一定狀態(tài)下所具有的作功本領(lǐng)，它和物體系統(tǒng)的狀態(tài)有關(guān)，是系統(tǒng)狀態(tài)的函數(shù)。*§39 質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律內(nèi)容：1質(zhì)心的概念；2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律。一、質(zhì)心（Center of Mass）的概念1例子：水平上拋三角板；運(yùn)動(dòng)員跳水2質(zhì)心代表質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量分布的平均位置，質(zhì)心可以代表質(zhì)點(diǎn)系的平動(dòng)。3推導(dǎo)：N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，位置矢量為，所受的合力為，其中為系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)它作用的內(nèi)力，為系統(tǒng)外質(zhì)點(diǎn)對(duì)它作用的外力。根據(jù)牛頓第二定律得 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系中的所有質(zhì)點(diǎn)求和 由于質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)之間的相互作用滿足牛頓第三定律，這些相互作用力的和為零()

14、，所以等于質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力，即，而因而可引入質(zhì)心 在直角坐標(biāo)系中，質(zhì)心位置矢量各分量的表達(dá)式為： ，對(duì)于連續(xù)分布的物體，質(zhì)心的計(jì)算公式為： 分量形式為，例題：試計(jì)算如圖所示的面密度為恒量的直角三角形的質(zhì)心的位置。解：取如圖所示的坐標(biāo)系。由于質(zhì)量面密度為恒量，取微元的質(zhì)量為 所以質(zhì)心的x坐標(biāo)為 從圖中可以看出，三角形斜邊的方程為積分得 同樣可以求得質(zhì)心的y坐標(biāo)積分 因而質(zhì)心的坐標(biāo)為 說明：1）坐標(biāo)系的選擇不同，質(zhì)心的坐標(biāo)也不同；2）對(duì)于密度均勻，形狀對(duì)稱的物體，其質(zhì)心在物體的幾何中心處；3）質(zhì)心不一定在物體上，例如圓環(huán)的質(zhì)心在圓環(huán)的軸心上；4）質(zhì)心和重心（Center of Gravity）是

15、兩個(gè)不同的概念 質(zhì)心是有由質(zhì)量分布決定的特殊的點(diǎn)；重心是地球?qū)ξ矬w各部分引力的合力的作用點(diǎn)。當(dāng)物體遠(yuǎn)離地球時(shí)，重力不存在，重心的概念失去意義，但是質(zhì)心還是存在的。二、質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定律（Theorem of Motion of Center-of-Mass）1系統(tǒng)的動(dòng)量把質(zhì)心公式對(duì)時(shí)間求導(dǎo) 為質(zhì)心的速度，為第個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度為，因而上式為 即，系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量的矢量和等于系統(tǒng)質(zhì)心的速度與系統(tǒng)質(zhì)量的乘積。2質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理引入系統(tǒng)動(dòng)量以后，系統(tǒng)所受的合外力可以寫成 即，作用在系統(tǒng)上的合外力等于系統(tǒng)的總質(zhì)量與系統(tǒng)質(zhì)心加速度的乘積。它與牛頓第二定律在形式上完全相同，相對(duì)于系統(tǒng)的質(zhì)量全部集中于系統(tǒng)的質(zhì)心，在合外力的作用下，質(zhì)心以加速度運(yùn)動(dòng)。說明：無論系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)任何復(fù)雜，但是質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)可能相當(dāng)簡(jiǎn)單，只由作用在系統(tǒng)上的外力決定；內(nèi)力不能改變質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。大力士不能自舉其身就是一例。質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系平動(dòng)的代表點(diǎn)，各質(zhì)點(diǎn)追隨質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)，表現(xiàn)出系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)。3克尼希（Konig Theorem）定理質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能，等于相對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，加上隨質(zhì)點(diǎn)系整體平動(dòng)的動(dòng)能，即 例題：設(shè)有一個(gè)質(zhì)量為2m的彈丸，從地面斜拋出去，它飛行到最高點(diǎn)處爆炸成質(zhì)量相等的兩個(gè)碎片。其中一個(gè)碎片豎直自由下落，另一個(gè)碎片水平拋出，它們同時(shí)落地