第3章 靜定梁和靜定平面剛架

1、第一節(jié)單跨靜定梁計(jì)算工程中常見的由單個(gè)桿件構(gòu)成的靜定梁有簡支梁、伸臂梁和懸臂梁三種型式。因其受力分析是多跨梁和剛架等結(jié)構(gòu)受力分析的基礎(chǔ)，故有必要在本節(jié)中加以敘述，使讀者熟練掌握單個(gè)桿件的內(nèi)力分析方法。以便于進(jìn)步結(jié)合幾何組成分析去研究桿件結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。(a)(b)(c)圖3-1一、用截面法求指定截面的內(nèi)力在平面桿件的任一截面上，一般有三個(gè)內(nèi)力分量：軸力FN，剪力FQ，彎矩M。計(jì)算桿件內(nèi)力的基本方法是截面法，即將桿件沿?cái)M求內(nèi)力的截面切開，取截面以左(或以右)部分為研究對(duì)象(稱為隔離體)。此時(shí)，截面上的內(nèi)力就轉(zhuǎn)化為所取隔離體上的外力，它與該隔離體上的其它外力(包括荷載和約束力)構(gòu)成一個(gè)平面平衡力系

2、，當(dāng)該隔離體的約束力為已知時(shí)。則此指定截面上的內(nèi)力就可由隔離體的平衡條件確定。梁的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下：軸力以拉力為正，剪力以繞隔離體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)為正，對(duì)常用的水平梁彎矩以使梁的下邊纖維受拉為正。下面舉例說明用截面法求內(nèi)力的方法和應(yīng)注意的事項(xiàng)。圖示為在截面C處承受一斜向集中力的簡支架。試求截面C處左、右兩截面的內(nèi)力。（1）計(jì)算梁的支座反力(a)(c)LMByåF=0:åMB=0:åF=0:xyFAx=60kN(¬)FAy=40kN(­)FBy=40kN(­)（2）計(jì)算點(diǎn)C左右截面的內(nèi)力L NC(b)LFNC=60kNFLLMFQ=40kN

3、C=80kN×mC40kNRFNC=0FRQC=-40kNM=80kN×mRC退出圖3-2二、內(nèi)力圖形狀特征FNAFNB若x軸以向右為正，y軸以向下為正取梁段AB中的微段為隔離體，由靜力平衡條件可得：dFQdx=-qdFN=-pdx(a)FQNQ+dFQdM=FQ-mdxdM=-q2dx2(b)圖3-3上述微分關(guān)系的幾何意義：(1)軸力圖在某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的荷載集度q，但二者正負(fù)號(hào)相反。(2)剪力圖在某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的荷載集度p，但二者正負(fù)號(hào)相反。(3)彎矩圖在某點(diǎn)的切線斜率等于該點(diǎn)的剪力與均布力偶集度之差。(4)彎矩圖在某點(diǎn)的二階導(dǎo)數(shù)(斜率的變化率)等于該點(diǎn)的

4、荷載集度q，但二者正負(fù)號(hào)相反。退出由上可歸納得到一般荷載作用下直桿內(nèi)力圖的形狀特征如下：(1) 在p=0 的區(qū)段，F(xiàn)N圖為水平線，但在p為非零常數(shù)的區(qū)段，F(xiàn)N圖為斜直線。(2)在q=0的區(qū)段，F(xiàn)Q圖為水平線，M圖為斜直線。(3) 在q為非零常數(shù)的區(qū)段，F(xiàn)Q圖為斜直線，M圖為二次拋物線，當(dāng)荷載向下時(shí)，M曲線向下凸。當(dāng)荷載為集中荷載時(shí)，在集中荷載處的內(nèi)力增量關(guān)系為M+dMNFQ+dFQFQDFN=-FPxDFQ=-FPyDM=-M0圖3-4退出由上可歸納得到集中荷載作用下直桿內(nèi)力圖的形狀特征如下：(1)當(dāng)只有水平集中力FPx 時(shí)，集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面軸力有突變，其突變數(shù)值等于集中力大小。但剪力、彎

5、矩是連續(xù)的。(2)當(dāng)只有豎向集中力FPy時(shí)，集中力作用點(diǎn)兩側(cè)截面剪力有突變，其突變數(shù)值等于集中力大小。但軸力、彎矩是連續(xù)的。(3)當(dāng)只有豎向集中力偶M0時(shí)，集中力偶作用點(diǎn)兩側(cè)截面彎矩有突變，其突變數(shù)值等于集中力偶大小。但剪力、軸力是連續(xù)的。例題(a)q(bFPblFQ圖FPal圖3-5圖M圖Pl退出8M圖M圖(b)(a)圖3-6(a)FPlM圖FPlFP(b)FPlFPlM圖退出圖3-7三、用“擬簡支梁法”繪彎矩圖均布荷載作用區(qū)段應(yīng)用截面法計(jì)算各控制截面的彎矩，如計(jì)算得到MJK和MKJ，下面繪制JK段的彎矩圖。MFMKJMFKJMFKJqF+擬簡支梁退出圖3-8MFKJMKJJMJKKMKJM

6、KJJ+FKy2=FMJK8K退出8圖3-9集中荷載作用區(qū)段應(yīng)用截面法計(jì)算各控制截面的彎矩，如計(jì)算得到MJK和MKJ，下面繪制JK段的彎矩圖。MKJMJKJFQJK=FQKJ圖3-10退出擬簡支梁MMJKMKJK圖3-11退出例3-1: 試?yán)L制圖示簡支梁的內(nèi)力圖。（1）計(jì)算梁的支座反力(aFAy(b)A(c)By=50kNåF=0:åMB=0:åF=0:xyFAx=0FAy=70kN(­)FBy=50kN(­)（2）作剪力圖BFQ圖（單位kN）FQAC=FAy=70kNFQDB=-FBy=-50kNFQCA=FQCD=-10kNM圖（單位kN.

7、m）（3）作彎矩圖11122.5120MAC=MBD=0MCA=MCD=120kN×mMDC=MDB=100kN×m退出圖3-12例3-2: 試?yán)L制圖示簡支梁的彎矩圖。qql22(a) 結(jié)構(gòu)及荷載M1M1ql2/32M1ql2/16ql2/16ql2/32退出M2M2(b) M1和M2作用(c) q作用ql2/43ql2/4M2(d) ql2作用圖3-13四、斜梁的內(nèi)力計(jì)算計(jì)算斜梁或斜桿的方法仍然是截面法。與水平桿相比，不同點(diǎn)在于斜梁或斜桿的軸線是傾斜的。計(jì)算其軸力和剪力時(shí)，應(yīng)將各力分別向截面的法向、切向投影。工程中，斜梁和斜桿是常遇到的，如樓梯梁、剛架中的斜梁等。(a)圖

8、3-14退出斜梁受均布荷載時(shí)有兩種表示方法：（1）按水平方向分布的形式給出（人群、雪荷載等），用q表示。（2）按沿軸線方向分布方式給出（自重、恒載），用q表示。退出q與q間的轉(zhuǎn)換關(guān)系：Qqdx=q¢dsq=q¢cosa 圖3-15例3-3試?yán)L制圖示斜梁內(nèi)力圖。q(a)By(b)qql2Nn圖3-16qlq2M=x-x(0£x£l)22qlFQ=(-qx)cosa(0£x£l)2qlFN=-(-qx)sina(0£x£l)2退出M圖8ql2FQ圖=sina FN圖qlcosa22圖3-17退出第二節(jié)多跨靜定梁的計(jì)算多

9、跨靜定梁是由若干根梁用鉸聯(lián)接而成的靜定結(jié)構(gòu)，它常用來跨越幾個(gè)相連的跨度，除了在橋梁上較常采用這種結(jié)構(gòu)型式外，房屋建筑中的檁條有時(shí)也采用這種形式。引道板木檁條屋架上弦退出圖3-18一、多跨靜定梁的特征(1)多跨靜定梁的幾何組成特點(diǎn)從多跨靜定梁的幾何組成來看，它的各個(gè)部分可以區(qū)分為基本部分和附屬部分。其中不依賴于其它部分的存在，獨(dú)立地與基礎(chǔ)組成幾何不變并能獨(dú)立承擔(dān)荷載的部分稱為基本部分；而需依靠基本部分才能保持其幾何不變性的部分，故稱為附屬部分。(a) 僅一個(gè)基本部分(b) 豎向荷載下二個(gè)基本部分(c) 中間一個(gè)基本部分(d) 豎向荷載下二個(gè)基本部分圖3-19退出(2)多跨靜定梁的靜力學(xué)特點(diǎn)當(dāng)荷載

10、作用在基本部分時(shí)，附屬部分的內(nèi)力與反力為零，但仍存在牽連變形及位移。FFy=0當(dāng)荷載作用在附屬部分時(shí)，基本部分的同樣仍承受內(nèi)力與反力。退出圖3-21二、多跨靜定梁的解題思路與過程從多跨靜定梁的組成可知，其部件都是單跨梁，因此，只要注意部件間的相互作用和反作用關(guān)系，根據(jù)各單跨梁所受荷載和單跨梁作內(nèi)力圖的知識(shí)，按組成相反順序：“先附屬部分，后基本部分”。先求支座反力和支座截面控制彎矩，然后用內(nèi)力圖形狀特征及等效簡支梁方法即可作出多跨靜定梁的內(nèi)力圖。退出三、多跨靜定梁的計(jì)算示例例3-4 試作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。(a)原結(jié)構(gòu)基本部分(b)ABCFDEG層疊圖附屬部分附屬部分(f)(c)附屬部分MA

11、FAxFAy20(g)A2020G5 M圖（單位kN.m)FBCDE(h)10+10+ F圖QABCD_10EF_G10（單位kN)圖3-24退出例3-5 圖示三跨靜定粱，全長承受集度為q的均布荷載，各跨跨度均為l，試調(diào)整鉸C、D的位置，使AB跨及EF跨的跨中截面正彎矩與支座B、E處的負(fù)彎矩的絕對(duì)值相等。(a)AB跨跨中截面G的正彎矩qql2MBMG=-82按題意(b)MG=MB故有ql(c)G2qlM=12B2ME=ql2MB2ql2=12于是有qx(l-x)ql2=2123-3x=l=0.2113l退出圖3-25例3-6試作圖示多跨靜定梁的內(nèi)力圖。(a) 結(jié)構(gòu)及所受荷載(b) “先附屬、后

12、基本”求反力6(c) 由控制彎矩和微分關(guān)系作彎矩圖(d) 由控制剪力作剪力圖退出圖3-26第三節(jié)靜定平面剛架計(jì)算剛架常由梁和柱互相剛接而組成，它的優(yōu)點(diǎn)是把梁柱形成一個(gè)剛性整體，增大了結(jié)構(gòu)的剛度并使內(nèi)力分布比較均勻。此外，它還具有較大的凈空便于使用。剛架也稱框架，是工程中最常見的結(jié)構(gòu)形式之一，一般都是超靜定的。但也有如下圖所示的雨棚中所用的懸臂剛架和小型廠房所用的三鉸剛架等。(a)(b)(a)(b)圖3-27退出雨棚圖3-28小型廠房靜定平面剛架按組成方式有“簡單剛架”、“三鉸剛架”和具有“基本-附屬關(guān)系”的主從剛架，分別如下圖所示簡支剛架懸臂剛架其他剛架圖3-29簡單剛架退出圖3-30三鉸剛架

13、圖3-31退出主從剛架一、簡單剛架的計(jì)算關(guān)于剛架的受力分析，一般先求得剛架的支座反力和約束力，再計(jì)算剛架內(nèi)力，其基本方法仍是截面法，而繪制剛架內(nèi)力圖的方法則以繪制單根直桿內(nèi)力圖的方法為基礎(chǔ)。剛架的內(nèi)力符號(hào)規(guī)定如下：軸力以拉力為正，剪力以繞隔離體順時(shí)針方向轉(zhuǎn)為正，彎矩以使桿件的內(nèi)側(cè)邊纖維受拉為正。下面結(jié)合具體示例加以說明。（1）計(jì)算剛架的支座反力åF=0:åMo=0:åF=0:xyFAx=80kN(¬)FAy=-20kN(¯)FBy=60kN(­)（2）計(jì)算桿端內(nèi)力將剛架分為二個(gè)桿件，退出圖3-32(a)FQBAF(b)60kN圖3-3

14、3BD桿AB桿MAB=0MBA=160kN×mMBD=160kN×mMDB=0FQAB=80kNFNAB=20kN退出FQBA=0FNBA=20kNFQBD=-20kNFNBD=0FQDB=-60kNFNBD=0（3）作內(nèi)力圖以繪制單根直桿內(nèi)力圖的方法為基礎(chǔ)繪制剛架內(nèi)力圖。(b)(c)退出例3-7 試作圖示剛架的內(nèi)力圖。By（1）計(jì)算剛架的支座反力åF=0:åMA=0:åF=0:xyFAx=-40kN(¬)FBy=10kN(­)FBy=-10kN(¯)退出（2）計(jì)算桿端內(nèi)力：將剛架分為三個(gè)桿件，按下圖所畫隔離體計(jì)算

15、其桿端內(nèi)力如下：圖3-35FQCAMNCDQDCFMQDB(a)(c)(d)(b)圖3-36AC桿CD桿BD桿FQAC=40kNFQCD=-10kNFNCD=40kNMBD=0FQBD=0FNBD=-10kNFQDB=-10´103´4=-40´103N=-40kNFNAC=10kNMAC=-40kN×mMCD=120kN×mFQCA=40kNFNCA=10kN退出FQDC=-10kNMDC=80kN×mFNDC=40kNFNDB=-10kNMDB=80kN×mMCA=120kN×m（3）作內(nèi)力圖(a)(b)(d4

16、0(c)退出圖3-37例3-8 試作圖示剛架的內(nèi)力圖。q=4kN/m（1）計(jì)算剛架的支座反力2kNåF=0:åMA=0:åF=0:xyFBx=2kN( )FBy=8.75kN( )FAy=7.25kN( )FAy=（2）先作M圖先求桿端彎矩MAD=0MDA=-3kN×mMDB=MDA=-3kN×mMBD=0圖3-38退出然后分別作各桿M圖。（3）作FQ圖桿件AD的桿端剪力極易得到為FQAC=0FQDC=-2kN桿件DB的桿端剪力可通過下圖隔離體由力矩平衡條件得到為FNDBq=4kN/måMB=0315FQDB-3´10-&#

17、180;4´103´42=02FQDB=7´103N=7KNåMD=03FNDB15FQBD-3´10+´4´103´42=02FQBD=-58´10N=-5.8KN3退出72D+_CA_FQ圖（單位 kN）5.8B圖3-40（4）作FN圖桿件AD的軸力為FNAD=-7.25kN為了計(jì)算桿BD兩端的軸力，可分別取結(jié)點(diǎn)D和結(jié)點(diǎn)E為隔離體，應(yīng)用投影平衡方程求解。設(shè)取桿BD的軸線為投影軸則由下圖可得退出(a)(b)FNDB圖3-41FNDB+2´103cosa-7.25´103sina=03

18、-28FNBD+2´103cosa+8.75´103sina=0FNBD=-2´103cosa-8.75´103sina=-2´103´0.8-8.75´103´0.63=-6.85´10N=-8.85kNFNDB=-2´103cosa+7.25´103sina=-2´103´0.8+7.25´103´0.6=2.75´103N=2.75kN2.75圖3-42退出例3-9 試作圖示剛架的彎矩圖。(a)FPl(b)FPlFlFPl M圖P

19、l退出F圖3-43二、三鉸剛架的計(jì)算三鉸剛架是由兩個(gè)簡單剛架用三個(gè)鉸組成的靜定結(jié)構(gòu)。因?yàn)闂U軸都是直線，因此分析過程比較簡單。關(guān)鍵在求反力：首先以整體為平衡對(duì)象，對(duì)底鉸取矩；以部分為平衡對(duì)象時(shí)，對(duì)頂鉸取矩，即可解決反力計(jì)算。三鉸剛架的反力計(jì)算完成后，三鉸剛架的計(jì)算即轉(zhuǎn)化為兩簡單剛架的計(jì)算問題。下面給出了三鉸剛架分析過程示例。退出例3-10 試作圖示三鉸剛架的內(nèi)力圖。8kN/m圖3-44FBy（1）計(jì)算剛架的支座反力及約束反力åMåMB=0FAy=36kN(­)FBy=12kN(­)再取剛架右半部分BEC為隔離體，由下式åMC=0可得A=0

20、9;F退出x=0FAx=FBxFBx=11.077´103N=11.077kN(¬)åFx=0FCx=11.077kNåFy=0FCy=12kN（2）作M圖圖示三鉸剛架可分為簡單剛架ADC和簡單剛架CEB分別進(jìn)行計(jì)算，其桿端彎矩分別為MAD=0MDA=MDC=11.077´103´4.5=49.847´103N×m=49.847kN×mMCD=0MBE=0MCE=0MEB=MEC=11.077´103´4.5=49.847´103N×m=49.847kN×

21、m退出圖3-45（3）作FQ圖桿AD及桿BE的剪力為常數(shù)，分別為：FQAD=FQDA=-FAx=-11.077kNFQBE=FQEB=11.077kN斜桿DC的剪力為斜直線，可取如下隔離體，計(jì)算得到åM8kN/mFNDCNCD6.325FQDCC=03132-49.847´10-´8´10´6=02FQDC=30.648´103N=30.648kNåM6.325FQDCD=01+´8´103´62-49.847´103=02FQCD=-14.886´103N=-14.886k

22、N同理可得圖3-46退出FQEC=FQCE=-7.881kN（4）作FN圖桿AD及桿BE的剪力為常數(shù)，分別為：FNAD=FNDA=-36kNFNBE=FNEB=-12kN桿CD的桿端軸力及桿CE的軸力可通過取結(jié)點(diǎn)D、桿件CD和鉸C為隔離體由靜力平衡條件來計(jì)算。退出(a)sina=cosa=(b8kN/mNCDFNDCFNDCa1333åFx=0FNCD-FNDC-8´103´6sina=0FNDCcosa+30.648´10sina+11.077´10=0FNDC=-21.892kNFNCD=-6.731kN(c)FNEC=-14.303kNF

23、NCE=-14.303kN圖3-48退出36圖3-49退出12例3-11 試作圖示三鉸剛架的彎矩圖。(a)(b)F4cosa=5sina=35圖3-50（1）計(jì)算剛架的支座反力及約束反力åMåM退出A¢B¢=0=0FB¢y=1kN(­)FA¢y=3kN(­)åFx=0FA¢x=FB¢x16m3F再取剛架右半部分CHB為隔離體，由下式=0可得5FB¢x-4FB¢y=03故有FB¢x=2.4kN(¬)于是有FA¢x=2.4kN(®)根據(jù)靜力等效原則，可建立結(jié)點(diǎn)A及結(jié)點(diǎn)B的靜力等效方程分別為FNEDsina=FA¢xFNED=4kNFAy-FNEDcosa=FA¢yFNFDsi