第2節(jié)二重積分的計(jì)算ppt課件

1、第二節(jié)一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分 二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 二重積分的計(jì)算法 第九章 一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分且在D上連續(xù)時(shí), 0),(yxf當(dāng)被積函數(shù)bxaxyxD)()(:21Dyxyxfdd),(yyxfxxd),()()(21baxd由曲頂柱體體積的計(jì)算可知, 若D為 X 型區(qū)域 那么)(1xy)(2xyxboyDax若D為Y 型區(qū)域dycyxyD)()(:21y)(1yx)(2yxxdocyxyxfyyd),()()(21dcydDyxyxfdd),(那么機(jī)動(dòng)

2、 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 當(dāng)被積函數(shù)),(yxf2),(),(),(yxfyxfyxf2),(),(yxfyxf),(1yxf),(2yxf均非負(fù)均非負(fù)DDyxyxfyxyxfdd),(dd),(1在D上變號(hào)時(shí),因此上面討論的累次積分法仍然有效 .由于Dyxyxfdd),(2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 oxy說明說明: (1) 若積分區(qū)域既是若積分區(qū)域既是X型區(qū)域又是型區(qū)域又是Y 型區(qū)域型區(qū)域 , Dyxyxfdd),(為計(jì)算方便,可選擇積分序, 必要時(shí)還可以交換積分序.)(2xyxoyDba)(1yx)(2yxdc則有x)(1xyyyyxfxxd),()()(21baxdxyx

3、fyyd),()()(21dcyd(2) 若積分域較復(fù)雜,可將它分成若干1D2D3DX-型域或Y-型域 , 321DDDD那么 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xy211xy o221d y例例1. 計(jì)算計(jì)算,dDyxI其中D 是直線 y1, x2, 及yx 所圍的閉區(qū)域. x解法解法1. 將將D看作看作X型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2. 將將D看作看作Y型區(qū)域型區(qū)域, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回

4、 完畢 例例2. 計(jì)算計(jì)算,dDyx其中D 是拋物線xy 2所圍成的閉區(qū)域. 解解: 為計(jì)算簡便為計(jì)算簡便, 先對(duì)先對(duì) x 后對(duì)后對(duì) y 積分積分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直線那么 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例3. 計(jì)算計(jì)算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.oxyDxxy 解解: 由被積函數(shù)可知由被積函數(shù)可知,因此取D 為X 型域 :xxyD00:Dyxxxddsinxy0d0dsinx

5、x0cosx20dsinxxxx先對(duì) x 積分不行, 說明說明: 有些二次積分為了積分方便有些二次積分為了積分方便, 還需交換積分順序還需交換積分順序.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例4. 交換下列積分順序交換下列積分順序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解: 積分域由兩部分組成積分域由兩部分組成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD將:D視為Y型區(qū)域 , 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例5.

6、 計(jì)算計(jì)算,dd)1ln(2yxyyxID其中D 由,42xy1,3xxy所圍成.oyx124xyxy32D1D1x解解: 令令)1ln(),(2yyxyxf21DDD(如下圖)顯然,1上在D),(),(yxfyxf,2上在D),(),(yxfyxfyxyyxIDdd)1ln(120yxyyxDdd)1ln(224機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 xyokkkrrkkkkkkrrsin,cos對(duì)應(yīng)有二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分二、利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分在極坐標(biāo)系下, 用同心圓 r =常數(shù)則除包含邊界點(diǎn)的小區(qū)域外,小區(qū)域的面積kkkkkkrrrr)(21),2, 1(nkk在k),(kkrkkk

7、krrkkkr221內(nèi)取點(diǎn)kkkrr221)(及射線 =常數(shù), 分劃區(qū)域D 為krkrkkkr機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 kkkkkkknkrrrrf)sin,cos(lim10kknkkf),(lim10Dyxfd),(ddrr即Drrf)sin,cos(drrddrd機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 Do)(1r)(2r)(1ro)(2r)()(21d)sin,cos(rrrrf設(shè),)()(:21rD那么Drrrrfdd)sin,cos(d特別特別, 對(duì)對(duì)20)(0:rDDrrrrfdd)sin,cos()(0d)sin,cos(rrrrf20d)(roD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

8、返回 完畢 假設(shè) f 1 則可求得D 的面積d)(21202Dd考慮考慮: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點(diǎn)軸相切于原點(diǎn),試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問 的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例6. 計(jì)算計(jì)算,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解: 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù) , 故本題無法用直角2reddrr20d由于故坐標(biāo)計(jì)算.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 注注:利用例6可得到一個(gè)在概

9、率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實(shí)上, 當(dāng)D 為 R2 時(shí),Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例6的結(jié)果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 例例7. 求球體求球體22224azyx被圓柱面xayx222)0( a所截得的(含在柱面內(nèi)的)立體的體積. 解解: 設(shè)設(shè)由對(duì)稱性可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)(1) 二重積分

10、化為累次積分的方法直角坐標(biāo)系情形直角坐標(biāo)系情形 : 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21xyyxybxayxD那么)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域?yàn)?()(,),(21yxxyxdycyxD那么xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 )()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(那么)()(21d)sin,cos(drrrrf極坐標(biāo)系情形極坐標(biāo)系情形: 若積分區(qū)域?yàn)槿舴e分區(qū)域?yàn)閐drrDo)(1r)(2r機(jī)

11、動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 (3) 計(jì)算步驟及注意事項(xiàng)計(jì)算步驟及注意事項(xiàng) 畫出積分域 選擇坐標(biāo)系 確定積分序 寫出積分限 計(jì)算要簡便域邊界應(yīng)盡量多為坐標(biāo)線被積函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)變量易分離積分域分塊要少累次積好算為妙圖示法不等式( 先積一條線, 后掃積分域 )充分利用對(duì)稱性應(yīng)用換元公式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 完畢 練練 習(xí)習(xí)1. 設(shè), 1 ,0)(Cxf且,d)(10Axxf求.d)()(d110yyfxfxIx解解:交換積分順序后, x , y互換oyx1xy 1yxIxyfxfyd)()(010d yyyfxfxd)()(010d xI2yyfxfxxd)()(d110yyfxfxd)()(010d x10d xyyfxfd)()(101010d)(d)(yyf