高中數(shù)學新課排列、組合和二項式定理 教案 (1)

1、第十章排列組合和二項式定理教材分析作為高中數(shù)學必修內(nèi)容的一個部份，本章在整個高中數(shù)學中占有重要地位以計數(shù)問題為主要內(nèi)容的排列與組合，屬于現(xiàn)在發(fā)展很快且在計算機領(lǐng)域獲得廣泛應(yīng)用的組合數(shù)學的最初步知識，它不僅有著許多直接應(yīng)用，是學習概率理論的準備知識，而且由于其思維方法的新穎性與獨特性，它也是培養(yǎng)學生思維能力的不可多得的好素材；作為初中一種多項式乘法公式推廣二項式定理，不僅使前面組合等知識的學習得到強化，而且與后面概率中的二項分布有著密切聯(lián)系 本章教學約需17課時，具體分配如下： 101加法原理和乘法原理 約2課時 102排列 約4課時 103組合 約5課時 104二項式定理 約4課時 小結(jié)與復習

2、 約2課時 一、內(nèi)容分析 本章從學習加法原理和乘法原理開始，應(yīng)該說，這兩個基本原理在本章的學習中占有重要地位；其作用并不限于用來推導排列數(shù)、組合數(shù)公式，實際上其解決問題的思想方法貫穿在整個學習的始終：當將一個較復雜的問題通過分類進行分解時，用的是加法原理；當將它通過分步進行分解時，用的是乘法原理在此基礎(chǔ)上，研究排列與組合，運用歸納法導出排列數(shù)公式與組合數(shù)公式，并提出組合數(shù)的兩個性質(zhì)，以簡化組合數(shù)的計算和為推導二項式定理作好鋪墊隨后研究的二項式定理，在本章中起著承上啟下的作用：它不僅將前面的組合的學習深化一步，而且為學習后面的獨立重復試驗，二項分布作了準備 本章還為部分學有余力的學生安排了閱讀材

3、料從集合的角度看排列、組合和概率，通過這篇材料，可以看到排列、組合與概率這兩類看上去并無共同之處的概念間的內(nèi)在聯(lián)系例如，求組合數(shù)及其相應(yīng)的等可能性事件的概率，可分別看成是在一個全集下的某個子集到數(shù)的集合的不同的映射，可見從集合的角度去認識這些概念，可加深對其本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的認識，此外，由于集合及其關(guān)系可用圖形表示，便于將一些較復雜的問題分析清楚，因此運用集合的方法可以較為順利地求解一些較為復雜的應(yīng)用題 二、教學要求 1掌握加法原理與乘法原理，并能用它們分析和解決一些簡單的應(yīng)用問題 2.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)計算公式，并能用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題 3.掌握二項式定理和二項展

4、開式的性質(zhì)并能用它們計算和證明一些簡單的問題 三、考點詮釋（1）兩個原理（分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理）分類和分步的區(qū)別，關(guān)鍵是看事件能否完成，事件完成了就是分類；必須要連續(xù)若干步才能完成的則是分步.分類要用加法原理將種數(shù)相加；分步要用乘法原理，分步后再將種數(shù)相乘.（2）兩個概念（排列、組合）排列與組合是既有聯(lián)系又有區(qū)別的兩類問題，它們都是從n個不同元素中任取m個不同元素.但是前者要求將元素排成一個順序，后者對此不做要求.若不理解排列問題和組合問題的區(qū)別，在分析實際問題時就會犯錯誤.（3）兩類基本公式排列數(shù)公式 規(guī)定：0！=1組合數(shù)公式 特別地：（4）兩類基本性質(zhì)排列性質(zhì)：組合性質(zhì)：性質(zhì)1.,

5、性質(zhì)2.在解決排列組合的計算或證明以及解方程，解不等式等問題時，經(jīng)常用排列數(shù)公式、組合數(shù)公式以及組合數(shù)的兩個性質(zhì).解這類題的關(guān)鍵是準確、熟練地運用這些公式及性質(zhì)，但是在使用公式時要注意：計算題與證明題的類型不同，要求選擇公式的形式就不同.排列數(shù)公式與組合數(shù)公式都有兩種形式：乘積形式和階乘形式前者多用于數(shù)字計算，后者多用于證明恒等式，同時要注意公式的倒用，即由寫出.排列數(shù)與組合數(shù)里的m、n的關(guān)系是 牢記：0！=1；組合數(shù)派生性質(zhì)：（5）排列組合的綜合應(yīng)用排列與順序有關(guān)，或者說與所有順序有關(guān).組合與順序無關(guān)，或者說與一種順序有關(guān).例如：從1、2、3、4四個數(shù)字中任取3個不同的數(shù)字，可組成多少個不同

6、的三位數(shù)？這是排列問題，有個，而組成的三位數(shù)中個位、十位、百位上的數(shù)字遞增的三位數(shù)有多少個？這是一種確定的順序，是組合問題有個不同的三位數(shù).按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的連續(xù)過程分步，是處理排列組合問題的基本數(shù)學思想方法，要注意題設(shè)中“至少”、“至多”等限制詞的意義.處理排列組合的綜合性問題，一般的思想方法是對于要取出的元素不是一次完成的排列問題，要注意先選取元素，直到把應(yīng)取的元素都取出來后，再進行排列在排列問題中，某幾個元素必須在某幾個固定位置，某幾個元素不能在某幾個位置，某幾個元素必須在一起，某幾個元素互不相鄰等，是排列中的幾種基本類型.在組合問題中，某些元素必須在內(nèi)，某些元素都不在內(nèi)，某

7、些元素恰有一個在內(nèi)，某些元素至少有一個在內(nèi)，某些元素至多有一個在內(nèi)等，是組合的幾種基本類型.（6）二項式定理的有關(guān)概念第一、對通項要注意以下幾點:它表示二項展開式中的任意項，只要n與r確定，該項也隨之確定. 公式表示的是第r+1項，而不是第r項. 公式中a、b的位置不能顛倒，它們的指數(shù)和一定為n.第二、要注意區(qū)分，展開式的第r+1項的二項式系數(shù)與第r+1項的系數(shù)是兩個不同的概念，千萬不能混在一起.（7）二項式系數(shù)的性質(zhì)展開式中與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等.若二項式的冪指數(shù)是偶數(shù)，則展開式的中間一項即第項的二項式系數(shù)最大；若二項式系數(shù)的冪指數(shù)是奇數(shù)，則展開式的中間兩項即第（）項和第

8、（）項的二項式系數(shù)相等且最大.展開式的所有二項式系數(shù)的和等于.即展開式中的奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和.即 =注意：用二項式定理進行冪的近似計算時，首先要將冪的底數(shù)拆成兩項，構(gòu)造二項式；其次要根據(jù)題設(shè)的精確度選取展開的項數(shù).利用二項式定理證明整除性問題，也應(yīng)靈活處理底數(shù)，使之符合需要.賦值法是解決二項展開式中有關(guān)系數(shù)問題的重要手段，許多復雜的與系數(shù)有關(guān)的問題均可以通過正確的、簡單的賦值得到解決.四、教學建議1.在深刻理解的基礎(chǔ)上，嚴格要求按照兩個原理去做分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理是兩個基本原理，它們既是推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，也是解決排列、組合問題的主要依據(jù)，并且

9、還常需要直接運用它們?nèi)ソ鉀Q問題，這兩個原理貫穿排列、組合學習過程的始終.搞好排列、組合問題的教學從這兩個原理入手帶有根本性.分類計數(shù)原理是對完成一件事的所有方法的一個劃分，依分類計數(shù)原理解題，首先明確要做的這件事是什么，其次分類時要根據(jù)問題的特點確定分類的標準，最后在確定的標準下進行分類.分類要注意不重復、不遺漏，保證每類辦法都能完成這件事.分步計數(shù)原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的標準分成幾個步驟，必須且只需連續(xù)完成這幾個步驟后才算完成這件事，每步中的任何一種方法都不能完成這件事.從以上的分析可以看出，分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理的地位是有區(qū)別的，分類計數(shù)原理更具有一般性，解決復雜問題時

10、往往需要先分類，每類中再分成幾步.在排列、組合教學的起始階段，不能嫌羅嗦，教師一定要先做出表率并要求學生嚴格按原理去分析問題.只有這樣才能使學生認識深刻、理解到位、思路清晰，才會做到分類有據(jù)、分步有方，為排列、組合的學習奠定堅實的基礎(chǔ).2.指導判定與順序有無關(guān)系，分清排列與組合 排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕?、組合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系.下

11、面幾種方法可供參考. (1)指導學生根據(jù)生活經(jīng)驗和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學的真諦在于悟，只有學生真正理解了，才能舉一反三、融會貫通. (2)能列舉出某種方法時，讓學生通過交換元素位置的辦法加以鑒別. (3)學生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時，可引導學生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對元素進行排隊，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題.3.引導聯(lián)系現(xiàn)實情景，正確領(lǐng)會問題的實質(zhì)排列、組合問題大都

12、來源于同學們生活和學習中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗、知識經(jīng)驗、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會問題的實質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)筆者觀察，有些同學之所以學習中感到抽象，不知如何思考，并不是因為數(shù)學知識跟不上，而是因為平時做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個問題，需要師生一道在分析問題時要根據(jù)實際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當?shù)墓ぞ撸M做事的過程，則更能說明問題.久而久之，學生的邏輯思維能力將會大大提高.4.倡導一題多解優(yōu)化解法，交流合作互相啟發(fā)排列、組合問題解題方法比較靈活，問題思考的角度不同，就會得到不同的解法.若選擇的切入角度得當，則問題求解簡便，否則會變得復雜難解.教學中既要注意比較不同解法的優(yōu)劣，更要注意提醒學生體會如何對一個問題進行認識思考，才能得到最優(yōu)方法.排列與組合方法數(shù)比較多，無法逐一進行驗證.為了防止重復、避免遺漏，除了一題