遞推求通項(xiàng) Microsoft Word 文檔 (2)

1、數(shù)列專題(二 遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法一般有如下類型：1 （能夠求和） 方法累加法方法 例 1. 已知數(shù)列an滿足,證明例2.已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案：例3.已知數(shù)列滿足，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.答案： 評(píng)注：已知,，其中f(n可以是關(guān)于n的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求通項(xiàng).若f(n是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和;若f(n是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和;若f(n是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和;若f(n是關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和。2. 方法累乘法例1.設(shè)是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（=1，2， 3，），則它的通項(xiàng)公式是=_

2、.評(píng)注：本題是關(guān)于和的二次齊次式，可以通過(guò)因式分解（一般情況時(shí)用求根公式）得到與的更為明顯的關(guān)系式，從而求出.例2.已知,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式.評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是把原來(lái)的遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若令,則問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為形式，進(jìn)而應(yīng)用累乘法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.法 3形如,其中型（1）若c=1時(shí)，數(shù)列為等差數(shù)列;（2）若d=0時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列;（3）若時(shí)，數(shù)列為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過(guò)待定系數(shù)法構(gòu)造輔助數(shù)列來(lái)求.方法如下：設(shè),得,與題設(shè)比較系數(shù)得,所以所以有：因此數(shù)列構(gòu)成以為首項(xiàng)，以c為公比的等比數(shù)列，所以 即：.規(guī)律：將遞推關(guān)系化為,構(gòu)造成公比為c的等比數(shù)列從而求得通項(xiàng)公式有時(shí)我們從遞推關(guān)系中把

3、n換成n-1有,兩式相減有從而化為公比為c的等比數(shù)列,進(jìn)而求得通項(xiàng)公式. ,再利用類型(1即可求得通項(xiàng)公式.我們看到此方法比較復(fù)雜.例1已知數(shù)列中，求通項(xiàng).分析：兩邊直接加上,構(gòu)造新的等比數(shù)列。4.形如型.(1若(其中k,b是常數(shù)，且方法：相減法例1. 在數(shù)列中，求通項(xiàng).例2. 在數(shù)列中，,求通項(xiàng).(2若(其中q是常數(shù)，且n0,1若p=1時(shí)，即：，累加即可.若時(shí)，即：，求通項(xiàng)方法有以下三種方向：i. 兩邊同除以.即： ,令，則,然后類型1，累加求通項(xiàng).ii.兩邊同除以 . 即： ,令,則可化為.然后轉(zhuǎn)化為類型5來(lái)解，iii.待定系數(shù)法：設(shè).通過(guò)比較系數(shù)，求出，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求通項(xiàng).例4. 在數(shù)列中, 求數(shù)列的通項(xiàng)公式？解:由已知,令5.分式遞推數(shù)列,一般取”倒”的方法: 形式 例5. 在數(shù)列中, , 求數(shù)列的通項(xiàng)公式？解: ,令則有.(第5類型變形類型,一般處理為:若,則轉(zhuǎn)化為從而為等差數(shù)列 .若,則可化為 ,即轉(zhuǎn)化為類型3.例6. 已知數(shù)列滿足, ,求數(shù)列的通項(xiàng)公式？解:由題薏知:, ,是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列. 即練習(xí): 已知數(shù)列滿足