四點共圓(一)復(fù)習課程

1、第二十四講四點共圓（一）【知識要點】四點共圓的判定方法：1、若四個點到一定點的距離相等，則這四個點在同一個圓上（即這四點共圓）。2、 若一個四邊形的一組對角的和等于180度，則這個四邊形的四個頂點共圓。3、若一個四邊形的一個外角等于它的內(nèi)對角，則這個四邊形的四個頂點共圓。4、若兩個點在一條線段的同旁，并且和這條線段的兩端連線所夾的角相等，那么這兩個點和這條線的兩個端點 共圓。5、若AB、CD兩線段相交于P點，且PA PB PC PD，則A、B、C、D四點共圓。6、若AB、CD兩線段延長后相交于 P點，且PA PB PC PD，貝U A、B、C、D四點共圓。7、若四邊形兩組對邊乘積的和等于對角線

2、的乘積，則四邊形的四個頂點共圓?！镜淅v】例1、銳角 ABC的三條高AD、BE、CF交于H，在A、B、C、D、E、F、H七個點中能組成四 點共圓的組數(shù)是（）A、4組B、5組C 、6組D、7組BC例2、如圖，A、B、C、D四點在同一圓上， AD的延長線與BC的延長線交于 E點，且EC ED 。（1）證明：CD / AB ；（2） 延長CD到F，延長DC到G，使得EF EG，證明：A、B、G、F四點共圓例3、如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，點E , F分別在邊AB , CD上，設(shè)ED與AF相交于點G，若B , C , F , E四點共圓，求證： AG GF DG GE .例4、已知點A(2,

3、0) , B(3,5)，直線|過點B與y軸交于點C(0 , c)，若0、A、B、C四點共圓，貝U c的值為()22285、17D、無法求出例5、在圓內(nèi)接等腰三角形ABC的底邊 BC上任取二點 D、E,延長 AD、AE分別交圓于 F、G ,求證：AD AF AE AG.例6、如圖，D , E分別是AB , AC邊上的點，且不與頂點重合，已知 AE m , AC n , AD , AB為方程x214x mn 0的兩根.（1）證明：C，B，D，E四點共圓；（2）若 A 90，m 4，n 6，求C，B，D，E四點所在圓的半徑.例7、如圖，AB為圓O的直徑，CD為垂直于AB的一條弦，垂足為 E，弦BM與

4、CD交于點F （1）證明：A、E、F、M 四點共圓；（2）證明：AC2 BF BM AB2 .例8、如圖，在平行四邊形 ABCD中,BAD為鈍角，且 AE BC , AFCD .（1）求證：A、E、C、F四點共圓;（2）設(shè)線段BD與（1）中的圓交于M、N 求證:BM ND.例10、A、B、C三點共線，O點在直線外，O, O2, 03分別為 0AB , OBC , OCA的外心求證: 0 , Oi, 02 , O3四點共圓.例11、如圖，在 ABC中，AD , BE分別是 A , B的角平分線，O是AD與BE的交點，若C , D , O , E四點共圓，DE 3,貝U ODE的內(nèi)切圓半徑為多少？

5、例12、如圖，點F是 ABC外接圓弧 BC的中點，點D、E在邊AC上，使得ADAB , BE EC。證明:B、 E、D、F四點共圓.例 13、如圖，AH AC，EB BC，AE AK，BH BM (1) 求證：E、H、M、K四點共圓；(2) 若KE EH , CE 3求線段KM的長.CE ,又點0是ADF的例14、在 ABC的邊AB , BC , CA上分別取D , E , F 使得DE BE , FE 外心.(1) 證明：D , E , F , O四點共圓；(2) 證明：0在 DEF的平分線上.0DF例15、如圖，CD為ABC外接圓的切線,AB的延長線交直線 CD于點D , E、F分別為弦A

6、B與弦AC上的點，且BC AEDC AF，B、E、F、C 四點共圓.（1）證明:CA是 ABC外接圓的直徑;（2）若 DB BEEA，求過 B、E、F、C的圓的面積與ABC外接圓面積的比值.例16、如圖，銳角 點.（1）求證：A ,F，點E為內(nèi)切圓D與邊AC的切 的度數(shù).ABC的內(nèi)心為D，過點A作直線BD的垂線，垂足為D , F , E四點共圓；（2）若 C 50，求 DEF例17、如圖，在正11ABC 中，點 D , E 分別在邊 BC、AC 上，且 BD BC , CE CA, AD , BE 相 33交于點P，求證：（1） P , D , C , E四點共圓；（2） AP CP .EP【

7、強化訓練】1、如圖，AB是O O的直徑，弦BD , CA的延長線相交于點 E , EF垂直BA的延長線于點F 求證：（1）BE DE AC CE CE2 ；（ 2）E，F(xiàn)，C，B 四點共圓.2、如圖，已知 AP是O O的切線，P為切點，AC是O O的割線，與O O交于B , C兩點，圓心O在 PAC 的內(nèi)部，點M是BC的中點.（1）證明A , P , O , M四點共圓；（2）求 OAM APM的大小.3、如圖，已知AB為半圓O的直徑，BE、CD分別為半圓的切線， 切點分別為B、C , F , AC的延長線交BE于E . AD DC , D為垂足.（1）求證：A、D、F、B四點共圓;DC的延長

8、線交（2）求證：EFBE于FB .F4、如圖，已知 ABC中的兩條角平分線 AD和CE相交于H , B 60 , F在AC上,且 AE AF(1)證明：B，D，H，E四點共圓；(2)證明：CE平分 DEF 5、如圖，已知BA是O O的直徑，AD是O O的切線，割線 BD、BF分別交O O于C、E ,連接AE、CE 求證：BE BF BC BD D6、如圖，OO與O P相父于A、B兩點，圓心P在O O上，OO的弦BC切OP于點B , CP及其延長線交O P 于 D ,E兩點，過點E作EF CE，交CB的延長線于點F ( 1)求證：B、P、E、F四點共圓；(2)若CD 2, CB 2 2，求出由四

9、點B、P、E、F所確定圓的直徑.7、如圖所示，已知 PA切圓0于A，割線PBC交圓0于B、C , PD 于點E，連接CE并延長交圓0于點F，連接AF .AB于D，PD與A0的延長線相交-時，求圓0的半徑.3(1)求證：B , C , E , D 四點共圓；(2)當 AB 12 , tan EAF8、如圖， ABC是直角三角形，ABC 90 以AB為直徑的圓 0交AC于點E點D是BC邊的中點，連0D交圓0于點M (1)求證：0 , B , D , E四點共圓；(2)求證：2DE2 DM AC DM AB.9、如圖所示，在RtABC中， ACB 90，點0為三角形外的一點， 以0為圓心，0C為半徑

10、的圓與邊 AB相 切，切點為E,圓0與邊BC相交于D點，直徑EF與邊BC交于G點，連接AG 求證：AG/ED .10、如圖，在 AGF中， AGF是直角，B是線段AG上一點，以AB為直徑的半圓交 AF于D，連接DG交 半圓于點C ,延長AC交FG于E (1)求證D、C、E、F四點共圓；(2)若 GE 3 ，求 2GA的值.GB 2GF11、如圖所示，AB是O O的直徑，G為AB延長線上的一點， GCD是O O的割線，過點G作AB的垂線, 交AC的延長線于點 E，交AD的延長線于點F，過G作O O的切線，切點為 H 求證：(1) C , D , F , E 四點共圓；(2) GH 2 GE GF AAPOBFECDADCPOEBAFEBCDDE212、如圖，已知PA與O O相切于點A , PBC為O O的割線，弦CD/AP , AD與BC相交于點E , F為CE. 214、如圖， AD、BE