數(shù)形結(jié)合思想 不分版本

1、數(shù)形結(jié)合思想一. 本周教學(xué)內(nèi)容： 數(shù)形結(jié)合思想 在數(shù)學(xué)中“數(shù)”與“形”是兩個(gè)最基本的概念，圖形中蘊(yùn)含著一定的數(shù)量關(guān)系，而數(shù)量關(guān)系又常常可以通過幾何圖形作出直觀的反映和描述。數(shù)形結(jié)合的思想就是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來加以考察的思想。在具體問題中要認(rèn)真分析已知和未知，使數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化，化難為易，通過直觀的圖形，達(dá)到解題的目的。 1. 構(gòu)造數(shù)軸或直角坐標(biāo)系解決某些問題 數(shù)軸建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，平面直角坐標(biāo)系建立了有序?qū)崝?shù)對(duì)與平面上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。為數(shù)形結(jié)合創(chuàng)造了條件。 2. 認(rèn)真觀察圖形挖掘隱含條件 在解題過程中，觀察圖形是非常重要的。觀察圖形的要點(diǎn)是，首先找到

2、確定的量，比如：長(zhǎng)度、角度、面積等；然后觀察位置，比如：平行、相交、相切等。根據(jù)觀察到的內(nèi)容進(jìn)一步挖掘隱含的條件或關(guān)系式，經(jīng)過推理、論證，最后再綜合得出解答。 3. 正確畫圖靈活應(yīng)用圖形的性質(zhì) 正確畫圖對(duì)解題的幫助很大，根據(jù)條件畫出草圖是分析問題的開始，它有助于題意的理解、思路的探求、方法的選擇以及結(jié)論的判定。在此基礎(chǔ)上要深入理解數(shù)量關(guān)系，挖掘圖形的性質(zhì)，進(jìn)一步把握數(shù)形之間的關(guān)系。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)： 1. 重點(diǎn)：重點(diǎn)是把問題的數(shù)量關(guān)系和空間形式結(jié)合起來，由數(shù)思形，由形判數(shù)，使數(shù)和形互相轉(zhuǎn)化，從而解決問題。 2. 難點(diǎn)：難點(diǎn)是認(rèn)真觀察圖形挖掘題目的隱含條件，正確畫圖靈活應(yīng)用圖形的性質(zhì)。通過數(shù)形結(jié)

3、合，提高分析問題和解決問題的能力。【例題分析】 例1. 已知：均為負(fù)數(shù)，為正數(shù)，且，化簡(jiǎn) 解：由題意，畫出數(shù)軸，標(biāo)出的位置，得，且 例2. 若為實(shí)數(shù)，且，求證： 證明：由題意畫草圖，設(shè)（為實(shí)數(shù)），在中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊得 由勾股定理，得， 例3. 已知拋物線如圖所示，直線是對(duì)稱軸 （1）確定的符號(hào) （2）求證： 解：（1）由拋物線的開口向下，得 由拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方，得 又由，得 由拋物線與軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn) （2）由拋物線的頂點(diǎn)在軸上方，對(duì)稱軸為 例4. 已知：如圖，在梯形ABCD中，AB/CD，CE是的平分線，CE把梯形分成兩塊，其中的面積為12，求四邊形AECB的面積。 分析

4、：觀察圖形線段CE的位置十分重要，既是的平分線，又是AD的垂線，聯(lián)想等腰三角形的性質(zhì)，可延長(zhǎng)DA、CB交于F點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)以DF為底邊的等腰三角形CDF，那么只需求出的面積問題就可以解決了。 解：延長(zhǎng)DA、CB交于點(diǎn)F 例5. 已知：如圖O的半徑為5，過點(diǎn)B作O的切線MN，在圓周上任取一點(diǎn)P作于C，連結(jié)PA、PB。設(shè)，。 （1）求之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍。 （2）求的最大值和最小值。 分析：觀察圖形，點(diǎn)P是動(dòng)點(diǎn)，在圓周上運(yùn)動(dòng)，保持，可利用相似三角形找到的函數(shù)關(guān)系式。 解：（1）是切線 O半徑是5 自變量的取值范圍是 （2）二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（） 當(dāng)時(shí)，y有最大值，最大值是 小

5、結(jié)：在求自變量x的取值范圍和最小值時(shí)，要從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)出發(fā)觀察圖形，了解點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡及各種位置關(guān)系，再結(jié)合數(shù)量關(guān)系就可得解。【易錯(cuò)題分析】 例. 一次函數(shù)與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)，拋物線的開口向上，且與軸的交點(diǎn)為C和D，。 （1）求的解析式； （2）畫圖，并求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)； （3）設(shè)與軸相交于E點(diǎn)，分別求四邊形BCAD和的面積。 分析：一次函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，所以的解析式可求。二次函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，而且與軸交于C、D兩點(diǎn)，所以可以列出關(guān)于的三個(gè)方程，求出的值，也就求出了的解析式。欲求四邊形BCAD和的面積，可以通過畫圖，采用割補(bǔ)的方法求面積。 解：（1）設(shè)一次函數(shù)，經(jīng)過兩點(diǎn)。 設(shè)二次函數(shù)經(jīng)過兩點(diǎn)，與軸交

6、于C、D兩點(diǎn)，且，即 解這個(gè)方程組： ，得： 代入<3>式 得： 即<4> <1>+<2>，得： ，又 代入<4> 得： 解之，得 拋物線開口向上 拋物線的解析式為 （2）求C點(diǎn)和D點(diǎn)坐標(biāo)，令 <1> 得C點(diǎn)坐標(biāo)和D點(diǎn)坐標(biāo) 解方程<1>，得 因?yàn)榭紤]到第（3）問求四邊形BCAD的面積，所以C點(diǎn)應(yīng)在D點(diǎn)的左邊，或者C點(diǎn)在D點(diǎn)右邊，四邊形面積不變，不妨設(shè)C點(diǎn)在D點(diǎn)左邊。 （3）軸相交于E點(diǎn)，令代入當(dāng)中，得 過B點(diǎn)作軸，過A作軸 綜上：（1）， （2）C點(diǎn) （3）， 點(diǎn)評(píng)：本題是代數(shù)與幾何的綜合題，考查的知識(shí)有一次函

7、數(shù)、二次函數(shù)、解方程組、解一元二次方程、求四邊形和三角形面積等。本題容易錯(cuò)的地方是解方程組求二次函數(shù)的解析式。由于已知拋物線與軸交點(diǎn)的距離是，本題還考查了拋物線與二次方程的關(guān)系，兩根和與兩根積，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系等知識(shí)。畫二次函數(shù)圖象時(shí)，需要求出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)B、C、E、D等點(diǎn)的位置畫圖。本題綜合性較強(qiáng)，同學(xué)們計(jì)算時(shí)一定要細(xì)心。一. 選擇題： 1. 若方程的兩根滿足：，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 2. 拋物線的對(duì)稱軸為，函數(shù)的最小值是，則實(shí)數(shù)的值為（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函數(shù)的圖象與的圖象的形狀相同，開口方向相反，與直線的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為和，

8、則這個(gè)二次函數(shù)的解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 將二次函數(shù)的圖象開口反向，并且向下平移得一新拋物線，新拋物線與直線有一個(gè)交點(diǎn)為（），那么這條新拋物線的函數(shù)解析式是（ ） A. B C. D. 5. 如果把第一個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移個(gè)單位（），再向左平移個(gè)單位，就得到第二個(gè)二次函數(shù)的圖象，寫出第一個(gè)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)（可用表示）是（ ） A. B. C. D. （） 6. 已知二次函數(shù)的圖象開口向上，并且與軸交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，B點(diǎn)在軸正半軸上，與軸交于點(diǎn)C（），如果，那么二次函數(shù)的解析式是（ ） A. B. C. D. 二. 填空題： 1. 已知四邊形ABCD是正

9、方形，點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，點(diǎn)F在BC的延長(zhǎng)線上，且EF交DC于G，EF=FB，則=_ 2. 平行四邊形ABCD中，于E，于F，AB：BC=5；6，周長(zhǎng)為110，_ 3. 已知AB是半圓O的直徑，AB=4，弦BC=3，的平分線交半圓O于D，AD、BC的延長(zhǎng)線交于E，則的面積與四邊形ABCD的面積的比值是_ 4. 有一矩形紙片ABCD，將紙片折疊使A、C兩點(diǎn)重合，那么折痕的長(zhǎng)度為_cm。 5. 已知一菱形的邊長(zhǎng)為，兩條對(duì)角線的長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，菱形的面積是_。三. 解答題： 1. 已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)A、B，頂點(diǎn)為C，問為何值時(shí)，的面積最小？這個(gè)最小值是多少？ 2. 已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過

10、點(diǎn)A（1，4），與x軸交于點(diǎn)B，且與兩條坐標(biāo)軸圍成的面積是9，如果，求中最大角的正弦值。 3. 已知矩形ABCD的長(zhǎng)，寬，對(duì)角線BD上有一點(diǎn)P，過點(diǎn)P作于E，連結(jié)PA。設(shè)，三角形PAD的面積與四邊形PECD的面積和為，請(qǐng)寫出的函數(shù)關(guān)系式，并指出自變量的取值范圍。 4. 已知拋物線的圖象與軸交于點(diǎn)A、B，與軸交于點(diǎn)C，如果的面積等于2，求的值。 5. 已知：如圖，AB為O的直徑，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC切O于C，且BD的長(zhǎng)為整數(shù)，是方程的一個(gè)根，求的周長(zhǎng)。【疑難解答】 A. 教師自己設(shè)計(jì)問題 1. 解答題的第3小題怎樣利用數(shù)形結(jié)合的思想來解題？ 2. 解答題的第5小題的解題關(guān)鍵是什么？ B.

11、對(duì)問題的解答： 1. 答：解答題的第3小題根據(jù)已知畫圖，因?yàn)?，所以三角形PAD的面積要用表示，需求出PD上的高，作于F。由于長(zhǎng)與寬已知，所以AF可求。四邊形PECD可以按梯形的面積計(jì)算，過點(diǎn)P作于G，根據(jù)相似關(guān)系PE和PG均可用表示，把兩個(gè)面積相加就可以了。 略解：， 的取值范圍是 2. 答：觀察圖形，因?yàn)?，連結(jié)BC后可證明BC=BD，AB=2BC，AC=CD=，所以只需求出BD的長(zhǎng)，問題就可以解決，在方程中，有一個(gè)正整數(shù)根，可知是一個(gè)完全平方數(shù)，由此可求出的值，從而求出BD。 略解：是一個(gè)完全平方數(shù)，是完全平方數(shù) 設(shè)，k是大于m的正整數(shù) 解得與已知矛盾 ，即 方程為 連結(jié)BC 【試題答案】一. 選擇題： 1. C2. D3. B