22常見曲線的參數(shù)方程

1、2.2 常見曲線的參數(shù)方程第一節(jié) 圓錐曲線的參數(shù)方程一橢圓的參數(shù)方程1、中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程是的橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)） 同樣，中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程是的橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)）2、橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)如圖，以原點為圓心，為半徑分別作兩個同心圓，設(shè)A為大圓上的任一點，連接，與小圓交于點B，過點分別作軸，軸的垂線，兩垂線交于點。設(shè)以為始邊，為終邊的角為，點的坐標(biāo)是。那么點的橫坐標(biāo)為，點的縱坐標(biāo)為。由于點都在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有3當(dāng)半徑繞點旋轉(zhuǎn)一周時，就得到了點的軌跡，它的參數(shù)方程是為參數(shù)）這是中心在原點，焦點在軸上的橢圓的參數(shù)方程。3、橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的

2、意義 圓的參數(shù)方程為參數(shù)）中的參數(shù)是動點的旋轉(zhuǎn)角，但在橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)）中的參數(shù)不是動點的旋轉(zhuǎn)角，它是動點所對應(yīng)的圓的半徑（或）的旋轉(zhuǎn)角，稱為點的離心角，不是的旋轉(zhuǎn)角，通常規(guī)定4、橢圓參數(shù)方程與普通方程的互化可以借助同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將普通方程和參數(shù)方程互化。由橢圓的參數(shù)方程為參數(shù)，易得，可以利用平方關(guān)系將參數(shù)方程中的參數(shù)化去得到普通方程在橢圓的普通方程中，令，從而將普通方程化為參數(shù)方程為參數(shù)，注：橢圓中參數(shù)的取值范圍：由普通方程可知橢圓的范圍是：，結(jié)合三角函數(shù)的有界性可知參數(shù)對于不同的參數(shù)，橢圓的參數(shù)方程也有不同的呈現(xiàn)形式。二、雙曲線的參數(shù)方程1、以坐標(biāo)原點為中心，焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方

3、程為的雙曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)） 同樣，中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，標(biāo)準(zhǔn)方程是的雙曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)）2、雙曲線參數(shù)方程的推導(dǎo)如圖，以原點為圓心，為半徑分別作同心圓，設(shè)為圓上任一點，作直線，過點作圓的切線與軸交于點，過圓與軸的交點作圓的切線與直線交于點。過點分別作軸，軸的平行線交于點。設(shè)為始邊，為始邊的角為，點，那么點因為點A在圓上，由圓的參數(shù)方程的點A的坐標(biāo)為。所以，因為，所以，從而，解得，記則。 因為點在角的終邊上，由三角函數(shù)的定義有，即所以點M的軌跡的參數(shù)方程為為參數(shù)）這是中心在原點O，焦點在軸上的雙曲線的參數(shù)方程。3、雙曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的意義參數(shù)是點M所對應(yīng)的圓的半徑OA的旋轉(zhuǎn)

4、角，成為點M的離心角，而不是OM的旋轉(zhuǎn)角，通常規(guī)定，且4、雙曲線的參數(shù)方程中參數(shù)的意義因為，即，可以利用此關(guān)系將普通方程和參數(shù)方程互化 由雙曲線的參數(shù)方程為參數(shù)），易得，可以利用平方關(guān)系將參數(shù)方程中的參數(shù)化去，得到普通方程 在雙曲線的普通方程中，令，從而將普通方程化為參數(shù)方程為參數(shù)）三、拋物線的參數(shù)方程1、以坐標(biāo)原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為為參數(shù)） 同樣，頂點在坐標(biāo)原點，開口向上的拋物線的參數(shù)方程是為參數(shù)）2、拋物線參數(shù)方程的推導(dǎo)：如圖設(shè)拋物線的普通方程為，其中表示焦點到準(zhǔn)線的距離。設(shè)為拋物線上除頂點外的任意一點，以射線為終邊的角為。當(dāng)在內(nèi)變化時，點在拋物線上運動，并且對于的每一個

5、值，在拋物線上都有唯一的點M與之對應(yīng)，故可取為參數(shù)來探求拋物線的參數(shù)方程。 由于點在的終邊上，根據(jù)三角函數(shù)的定義可得，即，代入拋物線普通方程可得為參數(shù)）這就是拋物線（不包括頂點）的參數(shù)方程。如果令，則有為參數(shù)）當(dāng)時，由參數(shù)方程表示的點正好是拋物線的頂點，因此當(dāng)時，參數(shù)方程就表示整條拋物線。3、拋物線參數(shù)方程中參數(shù)的意義是表示拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的斜率的倒數(shù)。四、例題：例1、已知橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），點在橢圓上，對應(yīng)的參數(shù)，點為原點，則直線的斜率為_.解：當(dāng)時，故點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為。例2、已知橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)，），則該橢圓的焦距為_.解：由參數(shù)方程得將兩式平方

6、相加得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 所以焦距為 例3、O是坐標(biāo)原點，P是橢圓為參數(shù)）上離心角為所對應(yīng)的點，那么直線OP的傾斜角的正切值是_解;把=代入橢圓參數(shù)方程為參數(shù)），可得P點坐標(biāo)為，所以直線OP的傾斜角的正切值是例4、已知曲線為參數(shù)），為參數(shù)） 化的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；解：，為圓心是，半徑是1的圓，為中心是坐標(biāo)原點，焦點在軸上，長半軸長是8，短半軸長是3的橢圓。例5、設(shè)為拋物線上的動點，定點，點為線段的中點，求點的軌跡方程。解：設(shè)點，令，則，得拋物線的參數(shù)方程為，則動點，定點，由中點坐標(biāo)公式知點的坐標(biāo)滿足方程組 即為參數(shù)） 這就是點的軌跡的參數(shù)方程。消去參數(shù)化為普通方程是，它

7、是以軸為對稱軸，頂點為的拋物線。例6、在橢圓上求一點，使點到直線的距離最小，并求出最小距離。 解：因為橢圓的參數(shù)方程為為參數(shù)），所以可設(shè)點的坐標(biāo)為由點到直線的距離公式，得到點到直線的距離為： 其中滿足于由三角函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)時，取最小值。此時，因此，當(dāng)點位于時，點與直線的距離取最小值。例7、已知拋物線，O為坐標(biāo)原點，是拋物線上兩點且，若直線的傾斜角分別為，求拋物線方程。解：設(shè)，由拋物線參數(shù)方程可知，即故，同理知，因為所以，得拋物線方程為例8、已知兩曲線的參數(shù)方程分別為和，它們的交點坐標(biāo)為_.解：，表示橢圓表示拋物線，聯(lián)立得解得又因為，所以它們的交點坐標(biāo)為例9、如圖所示，設(shè)為雙曲線上任意一點，過

8、點作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點，試求平行四邊形的面積。解：雙曲線的漸進(jìn)線方程為，不妨設(shè)為雙曲線右支上一點，其坐標(biāo)為，則直線的方程為將代入，解得點A的橫坐標(biāo)為同理可得，點的橫坐標(biāo)為，設(shè)則，所以平行四邊形的面積為 例10、如圖所示，是直角坐標(biāo)系，是拋物線上異于頂點的兩動點，且，并與相交于點，求點的軌跡方程。 解：根據(jù)條件，設(shè)點M，A，B的坐標(biāo)分別為 ，則 ， ，因為，所以 即：，因為，所以，即，所以，即因為，且三點共線，所以 化簡得 將代入，得到，即軌跡方程。隨堂練習(xí)1、一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是一個橢圓，長軸長為15565km，短軸長為15443km，取橢圓中心為坐標(biāo)

9、原點，求衛(wèi)星軌道的參數(shù)方程。 解：所以參數(shù)方程為2、已知橢圓上任意一點M（除短軸端點外）與短軸兩端點的連線分別與軸交于兩點，O為橢圓的中心，求證：為定值解：設(shè)，直線方程：，令，則 所以直線方程：，令，則 所以 所以即為定值。3、求證：等軸雙曲線上任意一點到兩漸近線的距離之積是常數(shù)。證明;設(shè)是等軸雙曲線，是雙曲線上任意一點，它到兩漸近線的距離分別是所以是常數(shù)。4、經(jīng)過拋物線的頂點O任作兩條互相垂直的線段，以直線的斜率為參數(shù)，求線段的中點M的軌跡的參數(shù)方程。解：設(shè)方程：，則方程： 由，求得，同理可得 所以中點M的參數(shù)方程為 為參數(shù)）5、設(shè)曲線為參數(shù)）與軸交點為。點在曲線上，則所在直線的斜率之積為（

10、）A、 B、 C、 D、解：曲線的普通方程為，與軸的交點坐標(biāo)為，又設(shè)曲線上任意一點，則的斜率的積為 選A6、過點且與曲線為參數(shù)）有相同焦點的橢圓的方程是（）A、 B、 C、 D、解：曲線為參數(shù)）的普通方程為，把點代入選項可知應(yīng)選A。再驗證一下焦點是否為7、中心在原點，準(zhǔn)線方程為，離心率為的橢圓方程是（）A、 B、 C、 D、 解：由 解得，選C8、橢圓為參數(shù)）的兩個焦點坐標(biāo)是（）A、 B、 C、 D、解：由橢圓為參數(shù)），可知，且焦點在軸上，焦點坐標(biāo)為，選B。9、點到曲線（其中，參數(shù)）上的點的最短距離是（）A、0 B、1 C、 D、2解：方程表示拋物線的參數(shù)方程，其中，設(shè)點是拋物線上任意一點，則

11、點到點的距離所以最短距離為1 ，選B。10、雙曲線為參數(shù)）的兩條準(zhǔn)線方程分別是_.解：雙曲線的普通方程為，所以雙曲線的焦點在軸上，且中心在原點，對稱軸為軸，軸，所以兩條準(zhǔn)線方程為，且，所以準(zhǔn)線方程為。11、橢圓中斜率為1的平行弦的中點軌跡方程是_解：設(shè)斜率為1的平行弦的方程為，代入橢圓方程可得。，所以方程的兩根滿足，則中點滿足消去得到（橢圓內(nèi)部分），即為斜率為1的平行弦的中點軌跡方程。第二節(jié) 直線的參數(shù)方程一、知識點;1、 經(jīng)過點，傾斜角為的直線的普通方程是如圖所示 在直線上任取一點，則設(shè)是直線的單位方向向量（單位長度與坐標(biāo)軸的單位長度相同），則因為，所以存在實數(shù)，使，即于是，即因此，經(jīng)過點，

12、傾斜角為的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）2、 因為，由，得到，因此，直線上的動點到定點的距離，等于為參數(shù))中參數(shù)的絕對值。3、 當(dāng)時，所以，直線的單位方向向量的方向總是向上。此時，若，則的方向向上；若，則的方向向下；若，則點與點重合。4、直線的一般參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程 已知直線的參數(shù)方程為為參數(shù)），由直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為參數(shù)）可知，參數(shù)的系數(shù)分別是其傾斜角的余弦值和正弦值，二者的平方和為1，故可將原式轉(zhuǎn)化為為參數(shù)）再令，由直線傾斜角的范圍讓在范圍內(nèi)取值，并且把看成標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)，即得標(biāo)準(zhǔn)形式的參數(shù)方程式為為參數(shù)）5、直線參數(shù)方程的應(yīng)用設(shè)過點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程是為參數(shù)）若是上的

13、兩點，它們所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則（1）兩點的坐標(biāo)分別是，（2）（3）線段的中點P所對應(yīng)的參數(shù)為，則，中點P到定點的距離（4）若為線段的中點，則（5）曲線上有兩點A，B關(guān)于直線對稱，可設(shè)AB中點為，則直線AB的參數(shù)方程為，其中，再利用解之。二、例題例1、直線為參數(shù)）上與點距離等于的點的坐標(biāo)是_解：根據(jù)距離公式可得，解得，代入可得或例2、直線過點，傾斜角為，且與直線交于M，則的長為-_解：直線的方程為代入，解得=例3、已知直線的斜率，經(jīng)過點，點在直線上，以的數(shù)量為參數(shù)，則直線的參數(shù)方程為_.解：由參數(shù)的幾何意義可知，直線的參數(shù)方程可以寫成標(biāo)準(zhǔn)形式為參數(shù)）其中為直線的傾斜角。 因為直線的斜率為，所以

14、直線的傾斜角，所以所以直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）例4、設(shè)曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），直線的方程為，則曲線C到直線的距離為的點的個數(shù)為（）A、1 B、2 C、3 D、4解：由曲線C的參數(shù)方程得對應(yīng)的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑，那么C到直線的距離，那么直線與曲線C相交，結(jié)合圖像可知C上到距離為的點有2個。例5、設(shè)極點與原點重合，極軸與軸正半軸重合。已知曲線的極坐標(biāo)方程是，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），則兩曲線公共點的個數(shù)為_解：將兩曲線方程化為直角坐標(biāo)方程，得，兩直線平行或重合，所以公共點的個數(shù)為0或無數(shù)。填：0或無數(shù)例6、已知直線與圓為參數(shù)），試判斷它們的公共點的個數(shù)解：圓的方程可化為，其圓心為，半徑為2，圓

15、心到直線的距離為，所以直線和圓相交，交點個數(shù)為2.例7、設(shè)直線過點，傾斜角為（1）求的參數(shù)方程；（2）設(shè)直線，與的交點為，求解：（1）由題意得為參數(shù)），即為參數(shù)）（2）點在上，只要求出點對應(yīng)的參數(shù)，則就是點到點的距離，把的參數(shù)方程代入中，得 ，所以，即，為正值，根據(jù)參數(shù)的幾何意義，知例8、直線為參數(shù)）與圓為參數(shù)）交于A，B兩點，求的長解：若求的長度，顯然要根據(jù)直線的參數(shù)方程的參數(shù)的幾何意義，把圓的方程由參數(shù)方程化為普通方程。由圓的參數(shù)方程知圓的普通方程為 所以將直線方程代入圓的方程，得 即，所以由 知例9、已知點是圓上任意一點，欲使不等式恒成立，求的取值范圍解：圓的參數(shù)方程為，則有，的最大值為

16、，由于恒成立，即例10、在圓上求兩點，使它們到直線的距離分別最短和最長。解：將圓的方程化為參數(shù)方程為參數(shù)），則圓上點的坐標(biāo)為，它到所給直線的距離為，其中。故當(dāng)，即時，最長，這時，點A的坐標(biāo)為；當(dāng)，即時，最短，這時，點B的坐標(biāo)為例11、已知直線與拋物線交于A，B兩點，求線段AB的長和點到A，B兩點的距離之積解：因為直線過定點，且的傾斜角為，所以它們的參數(shù)方程是 為參數(shù)）即為參數(shù)）把它代入拋物線的方程，得，解得由參數(shù)的幾何意義得 ，例12、經(jīng)過點作直線，交橢圓于A，B兩點。如果點M恰好為線段AB的中點，求直線的方程解：設(shè)過點的直線的參數(shù)方程為為參數(shù)） 代入橢圓方程，整理得 由的幾何意義知，因為點M

17、在橢圓內(nèi)，這個方程必有兩個實根，所以，因為點M為線段AB的中點，所以 即 ，于是直線的斜率為，因此，直線的方程是 ，即 三、練習(xí)題1、直線與圓為參數(shù)）的位置關(guān)系是（）A、相切 B、相離 C、直線過圓心 D、相交但直線不過圓心解：因為，所以直線與圓相交，選D2、經(jīng)過點且傾斜角為的直線，以定點到動點P的位移為參數(shù)的參數(shù)方程是（）A、 B、 C、 D、解：根據(jù)直線參數(shù)方程的定義，易得，即選D3、參數(shù)方程為參數(shù)）所表示的曲線是（）A、一條射線 B、兩條射線 C、一條直線 D、兩條直線解：因為，即或，故是兩條射線。B4、曲線為參數(shù)）上的點到兩坐標(biāo)軸的距離之和的最大值是（）A、 B、 C、1 D、解：由題

18、意得，下面只解的情況，其他情況類似，當(dāng)時，故距離的最大值是，選D5、曲線方程為參數(shù)）上的點與定點距離的最小值是_解：最小距離6、對任意實數(shù)，若直線與圓恒有公共點，則的取值范圍是_解：由題意得點恒在圓內(nèi)，由，則7、設(shè)直線經(jīng)過點、傾斜角為（1）求直線的參數(shù)方程；（2）求直線和直線的交點到點的距離；（3）求直線和圓的兩個交點到點的距離的和與積解：（1）直線的參數(shù)方程為為參數(shù)）（2）將直線的參數(shù)方程中的代入，得，所以，直線和直線的交點到點的距離為（3）將直線的參數(shù)方程中的代入，得設(shè)該方程的兩根為，則，可知均為負(fù)值，所以，所以兩個交點到點的距離的和為，積為10.8、已知經(jīng)過點，斜率為的直線和拋物線相交于A，B兩點，設(shè)線段AB的中點