從不同的角度看矩陣的行秩與列秩

1、從不同的角度看矩陣的行秩與列秩兼論如何學(xué)好線性代數(shù)線性代數(shù)中，有那么幾個(gè)神秘又神奇的東西，總是讓初學(xué)它的人琢磨不透，無(wú)法理解，其中就有矩陣的行向量和列向量的關(guān)系，為什么一個(gè)矩陣的行向量里有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量，列向量里就一定也有多少個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量呢或者考慮稍微簡(jiǎn)單一點(diǎn)的問(wèn)題，一個(gè)方陣，為什么行向量線性無(wú)關(guān)或線性相關(guān)列向量就一定也線性無(wú)關(guān)或相關(guān)呢行秩為何等于列秩？這本來(lái)應(yīng)該是一個(gè)基本又簡(jiǎn)單的事實(shí)。但是，請(qǐng)回憶一下你當(dāng)初初學(xué)線性代數(shù)時(shí)的內(nèi)容編排順序，是怎么引入這個(gè)問(wèn)題的，當(dāng)時(shí)又是怎樣解決這個(gè)問(wèn)題的？傳統(tǒng)的教材編寫思路是從線性方程組開(kāi)始整個(gè)線性代數(shù)話題的引入，這個(gè)過(guò)程中定義行列式和矩陣，用n元數(shù)組

2、引入向量，線性相關(guān)和無(wú)關(guān)等概念，討論解存在的條件，解的結(jié)構(gòu)，等等?？傊?，一切以方程組為核心，給人的感覺(jué)就是線性代數(shù)就是方程組的理論，一切討論的目的都是為了解決小小的方程組問(wèn)題。在這個(gè)過(guò)程中，有一個(gè)矩陣行秩等于列秩的命題，此時(shí)學(xué)生只了解方程組理論和行列式，因此這時(shí)對(duì)這個(gè)問(wèn)題的解釋當(dāng)然也無(wú)法離開(kāi)方程組或行列式。下面簡(jiǎn)述兩個(gè)典型的教材中的證明方法：第一個(gè)證明來(lái)自陳志杰高等代數(shù)與解析幾何。證明：首先，矩陣的初等行變換不改變矩陣的行秩，初等列變換不改變矩陣的列秩。這是由向量組的初等變換不改變向量組的線性相關(guān)或無(wú)關(guān)性保證的，即將某個(gè)向量乘以非零的倍數(shù)、將某個(gè)向量加到另一個(gè)向量上，都不改變向量組的線性相關(guān)或

3、無(wú)關(guān)性。接著證明矩陣的初等行變換不改變矩陣的列秩。設(shè)A是m*n階矩陣，任意從A的n個(gè)列向量中選取k個(gè)列向量a1,a2,ak它們線性無(wú)關(guān)的充要條件是線性方程組aixi+a2x2+-+akxk=(R有零解。而對(duì)矩陣A進(jìn)行初等行變換不改變此方程組的解，因此不改變這k個(gè)列向量的線性相關(guān)或無(wú)關(guān)性。這說(shuō)明A的列向量的秩在矩陣的初等行變換中不變。同理矩陣的初等列變換不改變矩陣的行秩。接下來(lái)，可以把A經(jīng)過(guò)初等行變換和初等列變?yōu)橹挥袑?duì)角線上有1或0，其它位置都為0的矩陣，在這個(gè)過(guò)程中行秩和列秩都不改變，從這個(gè)矩陣中看出行秩等于列秩，因此原來(lái)的矩陣行秩也等于列秩。第二個(gè)證明來(lái)自北大數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組

4、編高等代數(shù)證明：考慮線性方程組AX=0,首先證明如果未知數(shù)的個(gè)數(shù)超過(guò)A的行秩，那么它有非零解。設(shè)m*n階矩陣A的行秩為r,考慮方程組AX=0,它由m個(gè)方程n個(gè)未知數(shù)組成。從A的行向量中選取r個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量，重新組合成矩陣B,那么方程組AX=0和BX=0同解。這時(shí)，如果B的列數(shù)大于行數(shù)，那么方程組BX=0必有非零解，從而AX=0也有非零解。接著證明行秩等于列秩。設(shè)m*n階矩陣A的行秩為r，列秩為s。考慮A的任意r+1個(gè)列向量組成的矩陣C，因?yàn)镃的行秩不大于r（因?yàn)镃的行向量都是A的行向量的一部分分量組成的），所以CX=0有非零解，這說(shuō)明這r+1個(gè)列向量線性相關(guān)。所以A的列秩最大為r,即s&l

5、t;=r。同理可證r<=s,因此s=r。有了行秩等于列秩的性質(zhì)，完全可以用行秩或列秩定義矩陣的秩了。編寫教材的人和老師們都認(rèn)為，只要能夠順利定義出矩陣的秩，這個(gè)證明就足以滿足初學(xué)時(shí)的需要了，既沒(méi)有必要又沒(méi)有條件再將它深入地挖掘下去。但是它仍然讓我困惑，即使把書上的這個(gè)證明看得明明白白，也不理解為什么行秩等于列秩。因?yàn)橄蛄渴莻€(gè)幾何的概念，現(xiàn)在這個(gè)證明中看不出一點(diǎn)幾何上向量的影子，這兩個(gè)例子都依賴于線性方程組理論，都離不開(kāi)高斯消元法，都是代數(shù)上的推導(dǎo)。雖然從代數(shù)上推導(dǎo)出了這個(gè)結(jié)果，但是在幾何上我依然無(wú)法接受這個(gè)結(jié)果。矩陣的行向量和列向量“從圖形上”到底是什么關(guān)系可不可以讓我一下子就能看出來(lái)它

6、們的秩是相等的盡管經(jīng)過(guò)了行列變換之后行列秩相等是顯然的，但這個(gè)過(guò)程中卻把原來(lái)的行列向量給變得面目全非了。更有甚者，有些教材上竟然用矩陣的子式和行列式理論推導(dǎo)行秩等于列秩，由于這種證明過(guò)于復(fù)雜，這里就不列出了。直到最近的一次偶然機(jī)會(huì)，又讓我想起了這個(gè)問(wèn)題。一開(kāi)始，發(fā)現(xiàn)它和對(duì)偶空間與對(duì)偶映射有關(guān)系。記得當(dāng)初學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)，直到最后才接觸了一些有關(guān)對(duì)偶空間和對(duì)偶映射的知識(shí)，教材還寫得十分抽象，以至于我們都囫圇吞棗地過(guò)來(lái)了，根本沒(méi)有什么印象。后來(lái)的泛函，因?yàn)楦叩却鷶?shù)理解不深人，對(duì)泛函也沒(méi)有留下什么印象。最近有同事讓我講線性代數(shù)，有很多次問(wèn)我關(guān)于矩陣轉(zhuǎn)置的意義的問(wèn)題。他曾經(jīng)學(xué)習(xí)線性代數(shù)時(shí)對(duì)很多問(wèn)題不理解

7、，其中就有矩陣轉(zhuǎn)置到底對(duì)應(yīng)幾何上的什么東西，為什么要轉(zhuǎn)置其實(shí)我也沒(méi)考慮過(guò)這個(gè)問(wèn)題，只知道這是代數(shù)的特殊需要，當(dāng)需要把行向量變成列向量的時(shí)候就需要考慮轉(zhuǎn)置，它完全是代數(shù)上的處理方式。至于在幾何上代表什么意義，我也曾困惑過(guò)，但一直沒(méi)考慮清楚。然而現(xiàn)在比大一那個(gè)時(shí)候多了一個(gè)學(xué)習(xí)的更加有效的途徑，那就是網(wǎng)絡(luò)。在wiki百科中，我查到了一個(gè)觀點(diǎn)：在標(biāo)準(zhǔn)正交基底下，如果一個(gè)線性映射對(duì)應(yīng)于矩陣A，那么A的轉(zhuǎn)置恰好對(duì)應(yīng)這個(gè)線性映射的轉(zhuǎn)置映射，A的共軛轉(zhuǎn)置恰好對(duì)應(yīng)這個(gè)線性映射的對(duì)偶映射。在有限維空間中對(duì)偶映射還有一個(gè)更直觀的定義：設(shè)丁是從到的線性映射，則u的對(duì)偶映射是從p到仃的滿足（T國(guó)嗚=科T”眇的線性映射。

8、這是很好理解的，即使不知道什么是對(duì)偶空間及對(duì)偶映射，單單從矩陣乘法的性質(zhì)中也很容易看出A和A的共羯轉(zhuǎn)置之間的這種關(guān)系。這樣就把A的共羯轉(zhuǎn)置和A之間的關(guān)系賦予了幾何的意義，因?yàn)閮?nèi)積正好包含向量的角度信息，并且當(dāng)一組非零向量?jī)蓛蓛?nèi)積為0時(shí)，它們線性無(wú)關(guān)。A和A的共羯轉(zhuǎn)置的列向量的秩分別對(duì)應(yīng)于T和T*的值域的維度，能不能就此證明它們相等從而至少可以證明實(shí)數(shù)矩陣行秩等于列秩。這就是下面的：定理1:線性映射工的值域和其對(duì)偶映射1片的值域有相同的維數(shù)。證明：設(shè)T是從U至IV的線性映射，則T的對(duì)偶映射T*是從V到U的線性映射。設(shè)T與T*的值域的維數(shù)分別為r,s,假設(shè)s<r,則在T*值域中可以找一組基底

9、：>%考慮T7F,這個(gè)向量組的秩<s<r因此可以在T的值域中（維數(shù)為r）找到廿豐0使得佃葉丁廣現(xiàn)）=（叫",嚴(yán)改）=0=1,2-ffO又因?yàn)樗?411m+1）=（TiG+ijiTuu+i），。故鼠皿#0即/*外+1r0。這樣我們?cè)诘闹涤蛑姓业搅伺c向量，修叫:rT*復(fù)*都垂直的非零向量，與這個(gè)向量組是值域的基底矛盾。因此s>5同理可證s<J故s=r。證畢。這樣，A與A的共羯轉(zhuǎn)置的列秩相等，從而實(shí)數(shù)矩陣的行秩等于列秩。為了把它應(yīng)用于證明復(fù)數(shù)矩陣行秩與列秩相等，還需要下面的命題：命題1:若復(fù)數(shù)值向量a1,a2,啟錢性無(wú)關(guān)，那么他們的共羯向量也線性無(wú)關(guān)。證明：以

10、a1,a2,an為系數(shù)矩陣的方程組k1a1+k2a2+-+knan=0兩邊取共軻即得到一個(gè)以a1,a2,an的共羯為系數(shù)的線性方程組，這兩個(gè)方程組同時(shí)有或沒(méi)有非零解。證畢。這樣就徹底完全地證明出了矩陣的行秩與列秩相等。這個(gè)證明的思路中就明顯地帶有幾何的啟示，因此我覺(jué)得它更能讓我看到矩陣行向量和列向量的本質(zhì)。然而雖然這個(gè)證明帶有很強(qiáng)的幾何色彩，但終究還是覺(jué)得有些抽象，還是沒(méi)有道出行列向量之間的關(guān)系來(lái)。經(jīng)過(guò)對(duì)這個(gè)問(wèn)題持續(xù)的思考，和對(duì)方程組AX=0從不同的角度去解釋，發(fā)現(xiàn)如果我們豎著看AX,我們看到一個(gè)線性映射，它列向量的秩是它值域的維數(shù)；然而如果我們橫著看AX=0,又可得到A的每個(gè)行向量與X的內(nèi)積

11、是0（這里以實(shí)數(shù)矩陣為例，至于復(fù)數(shù)矩陣則可以利用上面的命題1”），也就是說(shuō)，A的每個(gè)行向量和AX=0的解都垂直，用映射的觀點(diǎn)說(shuō)，就是A的每個(gè)行向量都在線性映射的零空間的正交補(bǔ)空間中。又AX=0的所有解的集合（零空間）是垂直于A的每個(gè)行向量的向量構(gòu)成的集合，那么零空間和行空間應(yīng)該互為正交補(bǔ)空間，它們的維數(shù)之和是定義域的維數(shù)。那么事情就清楚了，根據(jù)秩-零度定理，dimrangeT+dimnullT是T定義域的維數(shù)，而行空間維數(shù)又與零空間維數(shù)互補(bǔ)，因此行空間維數(shù)等于值域維數(shù)，即行秩等于列秩。應(yīng)該說(shuō)，這才是行向量和列向量真正的本質(zhì)關(guān)系，可惜的是，直到畢業(yè)的三年多之后我才自己發(fā)現(xiàn)了這個(gè)關(guān)系。其實(shí)，如果考

12、慮對(duì)偶映射，也可以輕而易舉地得出結(jié)論：T*的值域恰是T的零空間的正交補(bǔ)。根據(jù)秩-零度定理也立即可以得出T*和T值域維數(shù)相等。前面在證明定理1”時(shí)沒(méi)有用到它們值域和零空間的關(guān)系還有秩-零度定理，這里用了這兩個(gè)定理之后，分析過(guò)程其實(shí)和上段分析AX=0方程組的過(guò)程本質(zhì)上是一樣的。那時(shí)在網(wǎng)絡(luò)上還查找到了一個(gè)利用了矩陣乘積的現(xiàn)代觀點(diǎn)證明行秩等于列秩的文章，是在臺(tái)灣博客中看到的，抄錄如下（注意在臺(tái)灣，把豎著的叫行，把橫著的叫列，與我們恰好相反）：假mx*隋矩障V的行秩卷心,列秩卷口可知且包含門固m一雒性褐立的行向量，它偽足以&的行空燈符道些行向量收集起來(lái)成一彳固m熬廣卜皆矩障口，那麼月的任何一彳固

13、行叫U=LZ.,T句都可以唯一表示卷口的行向量bi，bn*.b之性合，如下：aj=dijhji+cfejb口+,+MB丁M固式子的性山合重合一彳固仁川歌隋矩障口=【小11,她利用以行卷言十算罩元的矩障乘法規(guī)即，就有接著再考矩障A的第，列，以表示，利用以列標(biāo)十算罩元的矩障乘法皿，於是有rofWi（-A）=rowi（BD）=&+垃已工時(shí)式。）矩障a的每一列都可以:d的列向量之性合，因此總的列空雒度不大於d的列向量即弋&亡,也就是.4的列空度不大於的行空度。用同檬的推ta方式於.47，可推知.4丁的列空度不大於了的行空度，但.4丁的列空即卷a的行空而工丁的行空就是.4的列空"

14、;得知c&丁。粽合以上結(jié)果，者登得=心，矩障的行秩等於列秩。造彳固者登明方法表面看似平凡瓢奇，但它只利用矩障乘法i!算便符黑彳固重要的性代數(shù)概念一一性合、基底和建結(jié)在一起，非常值得初阜者氐咻田品味。這個(gè)證明雖然也是代數(shù)上的分析，但其巧妙的讓人稱奇的地方，就是把一個(gè)矩陣分解成了兩個(gè)矩陣的乘積，其中左邊的因子是列慢秩的，然后利用對(duì)兩個(gè)矩陣乘積的不同的解釋，把左面的列秩（也就是A的列秩）和右面的行秩聯(lián)系起來(lái)了。本來(lái)，有關(guān)矩陣列秩與行秩關(guān)系的問(wèn)題討論到這里也可以算是比較圓滿了。但是，在寫這篇文章的時(shí)候，又無(wú)意間提出下面的一個(gè)問(wèn)題：為什么如果矩陣A只有兩行，哪怕它有100歹u,它的列向量的秩也最

15、多是2現(xiàn)在來(lái)看，這是個(gè)非常簡(jiǎn)單的問(wèn)題，因?yàn)樗膇o。個(gè)列向量都是二維的向量，這些二維向量再多，也至多可以找出兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量。這是由向量空間的維數(shù)定理保證的：有限維向量空間中任何極大線性無(wú)關(guān)組包含向量個(gè)數(shù)相同?！币虼?，一個(gè)矩陣，它的列秩不超過(guò)行數(shù)，行秩不超過(guò)列數(shù)。那么，為了完成列秩等于行秩”的證明，只需把列秩和行秩的大小范圍估計(jì)得更精確一些，從列秩小于等于行數(shù)”、行秩小于等于列數(shù)”精確到列秩小于等于行秩”、行秩小于等于列秩”。我們?cè)O(shè)想，如果一個(gè)m*n階矩陣，它的行秩為r,那么它的列向量雖然表面上看每個(gè)都是m維的，但實(shí)際上這些m維向量被限制在了一個(gè)r維的子空間中，實(shí)際屬于r維向量。為了看清楚這

16、一點(diǎn)，我們可以有兩條思路：第一條，既然A的行空間維數(shù)為r,那么可以找到r個(gè)線性無(wú)關(guān)的行向量為基底，矩陣的m個(gè)行向量都可以用這r個(gè)向量線性表示，用矩陣的語(yǔ)言就是其中D就是從A的行向量中選取的線性無(wú)關(guān)行向量，B的每一行是A的行向量按D中行向量線性表示的系數(shù)（坐標(biāo)）。那么，接下來(lái)還是兩條路：第一，按維數(shù)定理，D的列秩不超過(guò)其行數(shù)r,且A的值域維數(shù)不大于D的值域維數(shù)（因?yàn)锳的維數(shù)就是把D的值域再用B映射到m維空間，值域的維數(shù)是遞減的），因此A的列秩不大于r,這實(shí)質(zhì)上是北大線性代數(shù)中的證明；第二，B的列秩不超過(guò)B的列數(shù)r,這樣就變成了線代啟示錄”的證明，因此線代啟示錄”上的證明思路也就是如此。第二條，我

17、們可以實(shí)際地找出£列空間的基底。因?yàn)?？！行秩為，即可以選取廠個(gè)行向量.祀“一一ttT-,使得其它行向量都可以用這廠個(gè)行向量線性表示，不妨記為=為伊1口方一,，®r）,那么就代表月的列向量的坐標(biāo)都具有如下形式：:2顯然只有前r個(gè)坐標(biāo)是可以自由變化的，這樣的向量的全體構(gòu)成一個(gè)子空間，它的基底是清楚的。因此，這是個(gè)r維子空間。根據(jù)維數(shù)定理，這樣的向量不管多少個(gè)，秩不大于r?？梢?jiàn)，一個(gè)簡(jiǎn)單的事實(shí)，可以從多種角度進(jìn)行的解釋，但有些看似動(dòng)機(jī)不同的解釋往往實(shí)質(zhì)上又相同，它們之間也有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。因?yàn)榫€性代數(shù)的這個(gè)特點(diǎn)，使得不同的線性代數(shù)的教材的寫法有很大的不同。同樣一個(gè)事實(shí)，既可以從

18、線性映射的角度去解釋，又可以從矩陣分析的角度解釋，還可以從線性方程組，或行列式角度去證明。線性代數(shù)教材的編寫其實(shí)很隨意，既可以像北大版那樣把線性方程組作為基礎(chǔ)，其它諸如線性變換、維數(shù)定理等等內(nèi)容都通過(guò)方程組理論來(lái)證明，也可以像LinearAlgebraDoneRight那樣完全地從抽象的向量空間和線性映射的角度分析。它們動(dòng)機(jī)雖然不同但是要認(rèn)識(shí)的對(duì)象是同構(gòu)的。但是，如果當(dāng)初滿足于這個(gè)定理的書本上的證明，我是不可能對(duì)它挖掘得這么深，也不可能認(rèn)識(shí)到這些東西的。這里我還是要對(duì)以北大版高等代數(shù)為代表的教材提一些意見(jiàn)?？赡艽蟛糠秩硕颊J(rèn)為，線性方程組是線性代數(shù)中最易懂最易理解的部分，學(xué)生又有中學(xué)解多元一次方

19、程組的基礎(chǔ)知識(shí)，線性方程組又可以引申出線性代數(shù)的諸多內(nèi)容，因此是最適合用于大學(xué)一年級(jí)學(xué)生入線代之門的內(nèi)容。但是這樣做有兩個(gè)問(wèn)題：一個(gè)是如果只提方程組，學(xué)生無(wú)法想象它的幾何形象，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)頭腦中形成的往往只是變動(dòng)的符號(hào)，不利于深入理解線性代數(shù)，更不利于發(fā)揮想象力去主動(dòng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)。如果說(shuō)當(dāng)學(xué)生學(xué)到線性空間、線性變換的時(shí)候自然會(huì)學(xué)習(xí)到這些幾何觀念，那么在線性方程組之后，線性空間和線性變換之前，還要學(xué)習(xí)矩陣?yán)碚?，同樣是沒(méi)有幾何直觀，并且比方程組更難理解，到了線性空間的時(shí)候?qū)W生已經(jīng)云里霧里了，哪里還有信心去學(xué)習(xí)接下來(lái)的東西李炯生版線性代數(shù)的前言部分說(shuō)，研究線性空間以及線性空間關(guān)于線性變換的分解即構(gòu)成了線性

20、代數(shù)的幾何理論，而研究短陣在各種關(guān)系下的分類問(wèn)題則是線性代數(shù)的代數(shù)理論?！蹦敲吹降资窍却鷶?shù)后幾何，還是先幾何后代數(shù)，還是二者同時(shí)進(jìn)行如果先代數(shù)后幾何，就像在沒(méi)有學(xué)習(xí)平面幾何的時(shí)候?qū)W習(xí)解析幾何，并且要預(yù)先學(xué)習(xí)曲線方程的性質(zhì)，不見(jiàn)曲線只見(jiàn)方程，等把方程的性質(zhì)在代數(shù)上討論清楚了，再帶你認(rèn)識(shí)它們實(shí)質(zhì)上的幾何形象，再用這些方程的性質(zhì)簡(jiǎn)單推導(dǎo)出幾何的性質(zhì)。但這是一個(gè)非常糟糕的學(xué)習(xí)方式。更糟糕的是一些理工科專業(yè)線性代數(shù)學(xué)得更淺，甚至只學(xué)到矩陣部分，只記住了矩陣的運(yùn)算等莫名奇妙的符號(hào)在頭腦中搬來(lái)搬去，至于為什么那么計(jì)算，學(xué)過(guò)之后考高分的學(xué)生也不知道。這里有孟巖的三篇csdn博文為證，尤其是博文開(kāi)頭幾段話，道出

21、了一般理工科學(xué)生的疑問(wèn)。另一個(gè)問(wèn)題是，這樣的組織缺少發(fā)展理論框架的動(dòng)機(jī)，為什么要引入線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)，為什么要討論矩陣為什么有了消元法還要討論行列式和Cramer法則如果都是以解方程為目的，這些內(nèi)容統(tǒng)統(tǒng)沒(méi)有動(dòng)機(jī)，只要一個(gè)消元法，最后能夠?qū)懗鐾ń庑问剑蛪蛄?。似乎矩陣、向量空間等內(nèi)容都是方程組問(wèn)題生發(fā)出來(lái)的，研究它們又有什么用途這些問(wèn)題開(kāi)始不講清楚，學(xué)生厭學(xué)，到后續(xù)課程真正用到這些知識(shí)的時(shí)候后悔莫及。因此，我主張不論是編寫教材，還是老師講授，學(xué)生學(xué)習(xí)，都應(yīng)該起點(diǎn)底，觀點(diǎn)高，讓學(xué)生可以從各個(gè)不同方向去“圍攻”一個(gè)問(wèn)題，從各種不同的角度去看待一個(gè)知識(shí)，即使只是為了講代數(shù)，幾何方面的直觀思想和動(dòng)機(jī)也

22、要講清楚，甚至這些更為重要。不妨在講解線性方程組的時(shí)候就開(kāi)始講講方程組中蘊(yùn)含的向量空間、線性變換等高級(jí)內(nèi)容的道理，即不光講高斯消元法等方程的傳統(tǒng)內(nèi)容，還要用線性變換那樣的幾何觀點(diǎn)解釋方程組解的結(jié)構(gòu)等等問(wèn)題，并用三維的幾何圖形（不妨用電腦中的數(shù)學(xué)軟件或flash動(dòng)畫，至少是圖片）來(lái)展示線性代數(shù)中那些概念背后的幾何形象，使學(xué)生一開(kāi)始就有豐富的幾何代數(shù)經(jīng)驗(yàn)，一開(kāi)始就發(fā)現(xiàn)這部分?jǐn)?shù)學(xué)的魅力。理解矩陣與矩陣乘積（一）線性代數(shù)中，有那么幾個(gè)神秘又神奇的東西，總是讓初學(xué)它的人琢磨不透，無(wú)法理解。今天討論線性代數(shù)中第二個(gè)既基本又神奇的東西：矩陣的乘法。回想起我們中學(xué)的那個(gè)時(shí)代，從初中到高中，數(shù)學(xué)課的內(nèi)容完完全全

23、是初等數(shù)學(xué)，純粹的向量思想在數(shù)學(xué)課上不占有一席之地，中學(xué)階段只有學(xué)習(xí)物理或復(fù)數(shù)的時(shí)候才能接觸一點(diǎn)向量的身影。即使在最應(yīng)該體現(xiàn)向量思想威力的地方，也因?yàn)橹挥懻摱S的簡(jiǎn)單情形而省略掉了，只剩下純粹的從幾何角度推導(dǎo)代數(shù)性質(zhì)，比如，直線方程，不是用向量法推導(dǎo)直線方程的一般形式，而是用定比分點(diǎn)；兩直線垂直的條件，不是用向量?jī)?nèi)積為零，而是通過(guò)斜率的關(guān)系，等等。在中學(xué)唯一能夠從數(shù)學(xué)課本中接觸到的線性代數(shù)知識(shí)就只有一點(diǎn)點(diǎn)的行列式的簡(jiǎn)介，從解二元和三元一次方程組引入的行列式，而且屬于選學(xué)內(nèi)容，課堂上是不講的。我當(dāng)時(shí)看了看，覺(jué)得真是多此一舉，既然一次方程組的解都已經(jīng)用系數(shù)的符號(hào)表示出來(lái)了，為什么還要用行列式重新表

24、示一遍表達(dá)的內(nèi)容沒(méi)變，只是換了一套看上去工整漂亮的寫法，有什么意義呢在這樣的背景下，我進(jìn)入大學(xué)，接觸到一門蠻不講道理的學(xué)科謫等代數(shù)。本來(lái)高中時(shí)看到用行列式表示方程的解已經(jīng)夠無(wú)聊了，到大學(xué)還要把這種無(wú)聊繼續(xù)深入下去。為了一個(gè)小小的方程組，不惜動(dòng)用人類最高的智商來(lái)創(chuàng)造一個(gè)個(gè)精致的概念，又是逆序數(shù)又是行列式，又是克萊姆法則，倒是得到了一個(gè)很漂亮的結(jié)果，但它到底有多少實(shí)用和理論的價(jià)值后來(lái)矩陣被定義出來(lái)了，那更是個(gè)無(wú)聊的東西，方程組還是原來(lái)那個(gè)方程組，只是把系數(shù)和未知數(shù)一分離，馬上就出現(xiàn)了一個(gè)新的概念無(wú)陣。難道就非得把系數(shù)單獨(dú)抽取出來(lái)變成矩陣的形式才能用高斯消元法解方程它不就是方程之間加加減減的過(guò)程嗎，

25、即便帶著未知數(shù)又能有多大的妨礙呢帶著未知數(shù)就不能討論方程組的通解了還定義矩陣的乘積，又把方程組寫成一個(gè)矩陣和一個(gè)向量的乘積，我當(dāng)時(shí)覺(jué)得實(shí)在是吃飽撐的！方程組還是那個(gè)方程組，換一種寫法有什么不同我思考它的時(shí)候還是需要把它還原為方程組的樣子，倒是費(fèi)了二遍力。是誰(shuí)第一個(gè)引入了矩陣的概念他的原始動(dòng)機(jī)到底是什么他似乎只是為了形式上的化簡(jiǎn)，并沒(méi)有引入什么新的觀念。但是巧的是這個(gè)人的一個(gè)無(wú)聊發(fā)明，竟然發(fā)展出一門學(xué)科來(lái)！不光方程組可以歸結(jié)為矩陣的乘積，就連二次曲線、二次曲面，也表示成矩陣乘積了，矩陣和它們的乘積系統(tǒng)慢慢地脫離了方程組的范圍，開(kāi)始向其它方向滲透了，并且充斥了數(shù)學(xué)的大部分江山。這一切是為什么難道這

26、一切都在矩陣發(fā)明者的預(yù)料之中如果發(fā)明矩陣的人意識(shí)到矩陣將來(lái)必有這些重大作用，那么他是怎么想到矩陣的這些應(yīng)用的他真的如此天資聰明如果不是這樣，那他為什么要發(fā)明矩陣這個(gè)東西難道僅僅是偶然可是這偶然之舉為什么后來(lái)又如此巧合地展開(kāi)出這么多理論這些問(wèn)題至今還是想不通。但是今天的話題只是討論矩陣和矩陣乘積，所以剛才把話題扯遠(yuǎn)了。每當(dāng)想起大一時(shí)的代數(shù)課，我都要發(fā)一些牢騷，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)代數(shù)給我的影響有多深遠(yuǎn)！關(guān)于矩陣乘積，比較老舊思想的教材不介紹矩陣乘積有什么意義，為什么要引入矩陣的乘積，只是敘述無(wú)端的定義：兩個(gè)矩陣用nt/中召的乘積定義為一個(gè)mKT階矩陣C,C的第i行第j列的元素是A的第i行和B的第j列元素分別

27、相乘并相加的和，即n稍微好一點(diǎn)的教材會(huì)介紹一些線性映射復(fù)合的背景：有三組未知數(shù)重=（工1，孫丁他）丁、期=見(jiàn)+癡）丁和孑=（班，麴，用）丁，用甑表示題的系數(shù)矩陣為A,用與表示蓑的系數(shù)矩陣為口,即z=j4my=Bh那么怎樣用）；來(lái)表示上工經(jīng)過(guò)計(jì)算，亮的第i個(gè)分量曲可以寫成ETTLnTTm蜀=£可詼=E叫上£%叼=無(wú)帆加;k=Lfe=lj=l>=1fe=l即a表示成未知數(shù)組h的第j個(gè)分量叫i的系數(shù)是m田*瓦叮1=1因此定義兩個(gè)矩陣工和口的乘積如上所述。第一種講述就是從第二種講述的思想方法來(lái)的，卻連定義的背景和來(lái)歷什么的都沒(méi)有講，這顯然是十分唐突的。況且這兩種矩陣乘積定義的

28、講述都只是蠻力運(yùn)算，如果只是為了定義出矩陣乘法的表達(dá)式，這兩種講述方式尚可接受，尤其是第二種講法，提及了矩陣乘法就相當(dāng)于兩個(gè)線性變換的復(fù)合。但是接下來(lái)，要接觸到矩陣乘法的更深層次的規(guī)律時(shí)，這樣定義出的矩陣乘法就顯得有些奇怪了。比如，證明兩個(gè)矩陣乘積的秩定理rank(AB)<minrankA,iLkB,乘積月打的每一列都是&的每一列的線性組合，每一行都是，口的每一行的線性組合，從而證明這個(gè)不等式。但是，請(qǐng)問(wèn)您是怎么從一大堆數(shù)的計(jì)算式子中看出這些關(guān)系的我為什么就沒(méi)看到我不但沒(méi)有看到，就算人家給我指出這種關(guān)系，我要想看清這些關(guān)系還是要費(fèi)九牛二虎之力的。如果一個(gè)東西我理解起來(lái)感覺(jué)吃力，那

29、么我會(huì)本能地考慮是否是我理解它的方式有問(wèn)題，它應(yīng)該還有另外一些更省力的理解途徑，或者說(shuō)，這個(gè)東西缺乏直觀，如果我能直觀地理解它，那么我就可以接受它。所以我想，還是應(yīng)該有更加便捷的途徑可以得到這些關(guān)系。其實(shí)這個(gè)不等式如果從映射復(fù)合的值域維數(shù)角度看應(yīng)該是比較簡(jiǎn)單的，可惜的是當(dāng)初除了矩陣，沒(méi)有其它方式可以導(dǎo)出這個(gè)結(jié)果，向量空間的內(nèi)容還沒(méi)有學(xué)習(xí)到。再比如，矩陣的分塊乘法，為什么分塊之后乘法的規(guī)則和把每一塊看成數(shù)的乘法規(guī)則是一樣的又比如，學(xué)過(guò)內(nèi)積的坐標(biāo)計(jì)算表達(dá)式后，學(xué)生會(huì)驚奇地發(fā)現(xiàn)，矩陣乘法的每個(gè)元素都是一個(gè)內(nèi)積，為什么會(huì)是這樣內(nèi)積和矩陣乘法之間為什么會(huì)有這么大聯(lián)系面對(duì)這些問(wèn)題，我知道很多人，包括很多老

30、師都會(huì)告訴我，這些都是計(jì)算的結(jié)果，計(jì)算的過(guò)程書上寫的明明白白，沒(méi)必要去深究它背后有什么機(jī)理，只要能夠確信這些結(jié)論，不用去管這些結(jié)論是如何得到的。但是，我總是覺(jué)得，這樣的推辭無(wú)異于填鴨式教育，蠻不講理，讓人生厭，甚至可能把一個(gè)曾經(jīng)喜愛(ài)數(shù)學(xué)的人搞得從此厭惡這樣的無(wú)理數(shù)學(xué)。因?yàn)榈谝?，這些東西顯得過(guò)于巧合了，計(jì)算無(wú)法解釋這些巧合背后是否有更深層次的原因；第二，即使是計(jì)算得來(lái)的，還是無(wú)法解釋這些計(jì)算的動(dòng)機(jī)是什么，這些計(jì)算的結(jié)果是如何發(fā)現(xiàn)的總應(yīng)該有個(gè)自然點(diǎn)的理由能夠說(shuō)明為什么某人會(huì)去考察這些計(jì)算過(guò)程并得出結(jié)論的吧總不能說(shuō)一個(gè)人某一天沒(méi)什么事情閑得無(wú)聊了就開(kāi)始算，然后就發(fā)現(xiàn)了某些東西吧他為什么就能看得那么遠(yuǎn)

31、就知道他計(jì)算的東西最終能帶給他不平凡的結(jié)果告訴我一個(gè)東西卻沒(méi)有告訴我這個(gè)東西是如何發(fā)現(xiàn)的，那我怎么能有信心沿著前人的足跡向前探索呢今天分析當(dāng)初的困難，多是因?yàn)闆](méi)有整體思維，無(wú)法把矩陣當(dāng)成一個(gè)整體來(lái)思考，見(jiàn)到向量可以想到那是空間中的一個(gè)箭頭，但見(jiàn)到矩陣和矩陣乘法，完全想象不到它的整體是個(gè)什么東西，我只能想到它的每個(gè)元素就是一堆數(shù)經(jīng)過(guò)一堆運(yùn)算得到的結(jié)果?？吹綍蠈懙木仃嚦朔?，我的頭腦里就出現(xiàn)了它的運(yùn)算過(guò)程的動(dòng)畫：左邊一橫，右邊一豎，左邊一橫，右邊一豎，除此之外想象不到其他的東西了。聽(tīng)說(shuō)某位數(shù)學(xué)家擺弄矩陣就像擺弄整數(shù)一樣熟練，我當(dāng)時(shí)也試圖找到把矩陣當(dāng)成一個(gè)整體的感覺(jué)，可是在沒(méi)有空間直覺(jué)支持的情況下這

32、種努力是見(jiàn)不到明顯效果的。而且從前思考的都是低維空間的問(wèn)題，對(duì)一維二維空間很熟悉，很少考慮高維空間的問(wèn)題，對(duì)高維空間即不熟悉也不習(xí)慣，又沒(méi)有外人指點(diǎn)矩陣代數(shù)究竟有什么幾何意義,即使是在低維空間中，也沒(méi)有用矩陣處理幾何問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，所以當(dāng)時(shí)一直冷落代數(shù)。現(xiàn)在覺(jué)得，為了培養(yǎng)高維空間對(duì)象的整體思維方式，一方面就是加強(qiáng)代數(shù)的幾何直觀，另一方面就是站在變換的角度統(tǒng)一抽象地處理矩陣，而不是僅僅把矩陣只當(dāng)成一堆數(shù)的陣列，用線性變換的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)矩陣乘法，而不是把矩陣乘法當(dāng)成一堆數(shù)又乘又加的運(yùn)算?；谶@種原因，我們將以映射的觀點(diǎn)重新認(rèn)識(shí)矩陣與矩陣的乘法。（二）本篇有些內(nèi)容是孟巖中觀點(diǎn)的嚴(yán)密化與深化。數(shù)域F上的兩個(gè)向

33、量空間U到爐的一個(gè)映射干，若保持加法和數(shù)量乘法，即滿足,（血+«2）=p（Ul）+孤蜘）雙曲）=比中（W則稱F為線性映射。矩陣及矩陣的乘法與線性映射有十分重大的聯(lián)系。為了看清這一點(diǎn)，我們采取以下步驟：、從一維空間談起顯然，數(shù)域f本身可以看作卜1上的向量空間，記做匕門，并且，f上的任何一個(gè)一維的向量空間爐都同構(gòu)于即取定I的一組基底后，1一中的任何向量都可以唯一地表示為樂(lè)巴的形式，因此I廣中的向量與F1中的向量是一一對(duì)應(yīng)的。我們把F】稱作F上一維向量空間的坐標(biāo)系統(tǒng)。E上的兩個(gè)一維向量空間。和之間的一個(gè)線性映射材,在分別取定u和v上的基底u(yù)l與燈之后，VuW土；E上捐上.1£=工

34、到，因此彈（M）=甲t工&L）=田單（血）。設(shè)平（血）=能仇，則甲（生）=函鋁屋這樣，在兩個(gè)一維向量空間的坐標(biāo)系統(tǒng)之間就衍生出一個(gè)線性映射帆H=附，我們要研究前述的兩個(gè)向量空間，只需要研究它們的坐標(biāo)系統(tǒng)上門，要研究前述兩個(gè)向量空間之間的線性映射¥、，只需要研究它們坐標(biāo)系統(tǒng)之間的線性映射竿（了）=矽，因?yàn)樗鼈兪且灰粚?duì)應(yīng)并且性質(zhì)相同的。上門空間是由基底i張成的向量空間，那么根據(jù)上面的論述，F(xiàn)1到上門的任何一個(gè)線性映射，都有F中的唯一一個(gè)數(shù)門使得fO）=aj,并且任何一個(gè)數(shù)律，都唯一地確定一個(gè)線性映射f=g。因此，我們可以說(shuō)，F(xiàn)中的數(shù)與一維空間之間的線性映射是一一對(duì)應(yīng)的。怎么看待門

35、和這樣一對(duì)數(shù)的乘法呢針對(duì)以后推廣到高維空間的情形，我們總結(jié)以下幾點(diǎn)：1）我們可以說(shuō)，本身是E”中的一個(gè)向量，n是K中的一個(gè)數(shù)，代表一個(gè)線性映射，那么偏工這樣的乘法就是一個(gè)線性映射門作用在向量.匯上得到的像，并且，如果另一個(gè)線性映射式工）=如，那么f0自=gaf（F）=遍；2）但是，口本身也是所以也可以看成F1中的一個(gè)向量，它跟.r并沒(méi)有什么本質(zhì)的區(qū)別，在表達(dá)式f=川中，二者唯一的區(qū)別就是口是固定不變的，而,是變量，但只要脫離映射f的語(yǔ)境，二者是對(duì)稱的，因?yàn)楦鶕?jù)乘法的交換律風(fēng)工=:9；3）既然二者是對(duì)稱的，那么完全可以把r當(dāng)作變量而把當(dāng)作對(duì)口的映射，這樣的映射是從,到上門的映射：自變量是口，代表

36、一個(gè)線性函數(shù)，它的像是口工，是F中的一個(gè)數(shù)；4）如果/0,那么線性映射了是個(gè)可逆的映射，有逆映射尸=5Ljro在這個(gè)時(shí)候，作為fl中的向量法（=f（l）可以看作新的參考系（即坐標(biāo)系，或基底），如果在這個(gè)新的基底下某個(gè)向量的坐標(biāo)為,T,那么在原來(lái)基底1下，同一個(gè)向量的坐標(biāo)就是偏了。這樣，/和f-'可以看作某個(gè)向量的新坐標(biāo)與原坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換函數(shù)。二、多維到一維的映射設(shè)匚是數(shù)域F上的n維向量空間，L至|JF的線性映射稱為口上的線性函數(shù)。取定U的一組基底3.o.?無(wú)之后，口中的向量一一對(duì)應(yīng)于上班中的向量。同一維情形類似，我們也可以用U的坐標(biāo)系統(tǒng)代替u本身。u上的一個(gè)線性函數(shù)/同樣也衍生出一個(gè)E

37、”到E的線性映射。因此我們可以看上的線性函數(shù)。E也是由基底張成的，現(xiàn)要計(jì)算t1嘲上的線性函數(shù)，的表達(dá)式。上任何一個(gè)向量蠹=(皿盧九.-.,，屯)丁，有打匐=，番K1+歿+Xn6n)=Zlf(eL)+工2f(匈)+Xnf(en)這個(gè)算式每一項(xiàng)中，都有一部分是常量，即，是跟隨線性函數(shù)而變化的數(shù)，它們可代表了本身;另一部分是變量，對(duì)應(yīng)于的分量.口，可代表自變量。我們把這兩部分分開(kāi)書寫，定義一個(gè)行向量和一個(gè)列向量的乘積是它們每個(gè)分量分別相乘并把結(jié)果相加，如下：(為什么這里定義的是一個(gè)行向量和一個(gè)列向量相乘為什么不規(guī)定成兩個(gè)行向量或兩個(gè)列向量相乘這個(gè)要等到考察多維到多維的映射的時(shí)候才能看出一些端倪來(lái)，因

38、為這樣定義之后，橫著的行向量將總可以看成只有在特殊的情況下它們才互相轉(zhuǎn)化。)一個(gè)映射，而縱向的列向量通常就是定義域或值域空間中的向量,設(shè)=汽3那么(2)就可表示為這樣，與一維情形類似，£(qF)中的任何一個(gè)線性函數(shù)都與一個(gè)n維的行向量一一對(duì)應(yīng)。那么怎么看待多維行向量門與列向量甚的乘積呢i）與一維的情況類似，列向量是定義域中的一個(gè)向量，行向量代表一個(gè)多維空間F71到一維空間F的映射，這種映射稱為上的線性函數(shù)。F門上的所有線性函數(shù)構(gòu)成一個(gè)向量空間，記為或稱為E門的對(duì)偶空間。顯然，它也是n維的，與朝的維數(shù)相同。II，上有一組自然的基底：=（00100）即第i個(gè)基底的第i個(gè)坐標(biāo)分量是1,其它

39、分量是0。這組基底是什么意義呢顯然*代表一個(gè)線性函數(shù)，且滿足/由=L以手=豐Jo即第i個(gè)基底L把E”的第i個(gè)基底向量映射為i,其它基底向量映射為0。2）與一維對(duì)一維的映射不同，這時(shí)的R是個(gè)n維的行向量，這些行向量可以和定義域L"中的向量一一對(duì)應(yīng)，而值域只有一維，所以口作為n維向量無(wú)法看成值域中的元素。但是，0t的每個(gè)分量卻是值域中的元素，其第i個(gè)分量可以看成，。既然n維的行向量可以與口中的向量一一對(duì)應(yīng)，那么小所對(duì)應(yīng)的向量諄下就依然與海沒(méi)有本質(zhì)區(qū)別。對(duì)于甘壯中的兩個(gè)向量小孔定義記號(hào)任，y）=元7學(xué)，那么=阻/）=S醒與月依然是對(duì)稱的。3）從這個(gè)意義上講，第一，我們可以把映射口當(dāng)作自變量

40、而把汗看成是這個(gè)映射的線性函數(shù)，這樣En中的每一個(gè)向量就可以看作是它的對(duì)偶空間上的線性函數(shù)；第二，（場(chǎng)處定義了兩個(gè)向量的乘積，乘積的結(jié)果是一個(gè)數(shù)。當(dāng)F是實(shí)數(shù)域時(shí)，這個(gè)乘積就是內(nèi)積，當(dāng)F是復(fù)數(shù)域的時(shí)候，這樣的乘積只是個(gè)對(duì)稱雙線性函數(shù)。4）因?yàn)橛成涞闹涤蚺c定義域維數(shù)不等，所以映射不是可逆的，因此也就沒(méi)有坐標(biāo)變換之說(shuō)。但是，如果m,即。的分量不全為零，那么圖:r就是對(duì)上班中向量的一種投影測(cè)量，它很像我們?nèi)S空間中的高度，知道了一個(gè)物體的高度，雖然不知道這個(gè)物體確切位置如何，但是我可以知道這個(gè)物體下落到地面重力做了多少功。這部分內(nèi)容涉及到的內(nèi)積與雙線性函數(shù)的一些認(rèn)識(shí)可能要留待以后去闡述了。三、多維到多

41、維映射基于前面所述的一些原因，我們只需看F13到的線性映射/,和前面一樣的推導(dǎo)過(guò)程，可知4-xa/(2)4卜工/%)其中4LC2r：是ym中的一組基底，.門、事是才在這組基底下的坐標(biāo)。如果在Rm中也取一組基底，那么每一個(gè)向量產(chǎn)(4)也有一組坐標(biāo)，我們把這些坐標(biāo)也寫成列向量的形式，那么是這些列向量的線性組合，它也是列向量的形式。定義"Z黑用階矩陣與一個(gè)n維列向量的乘積是這個(gè)矩陣列向量的線性組合：口2=£匚西axn/其中"是矩陣的第i列向量。設(shè)=g),那么，的表達(dá)式可寫成央了出)=(/y'la3'啟).1部T1/這個(gè)表面上看跟前述多維到一維的映射的矩陣

42、表達(dá)式?jīng)]什么不同，但是唯一的區(qū)別就是這里的每一個(gè)靴擴(kuò)展成了一個(gè)m維的列向量，因此組成的實(shí)際上是一個(gè)rn階矩陣，我們用月指代這個(gè)矩陣。怎么看待.If這個(gè)表達(dá)式呢1)與前述觀點(diǎn)完全雷同，矩陣代表一個(gè)線性映射，工代表自變量，是一個(gè)向量。2)A的每一個(gè)列向量是值域中的一個(gè)向量，這些列向量張成了值域空間。那么，A的每個(gè)行向量呢它們每一個(gè)都是定義域到一個(gè)一維向量空間的映射。我們把且的第i個(gè)行向量記為fi,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的計(jì)算推導(dǎo)容易看出，f的表達(dá)式也可以寫成如下形式：ffl/人、h為/(-F)=X=.K因此,A相當(dāng)于只取了3）的第i個(gè)分量，所以它是到F"；中第i個(gè)基向量張成的一維子空間的映射?？梢院苋?/p>

43、易地理解，Ar即可以看成是且各個(gè)列向量的線性組合，其每個(gè)分量又可以看成是.4的每個(gè)行向量與潑的乘積。3）如果考慮到力與涓的對(duì)稱性，把寸看成是I,F"）”上的線性函數(shù)，那么，Ar可以看作八跖廳、我們也把它看成才的同類，得到一個(gè)E劭對(duì)偶空間上的線性函數(shù)。后面我們會(huì)看到，這將導(dǎo)出（心=工丁4丁，只是現(xiàn)在還沒(méi)有定義矩陣與矩陣的乘法。4）如果，是E小到自身的映射，并且dm/a,那么，（為）/（）可以構(gòu)成E"的基底，那么f可逆，且如果一個(gè)向量在基底,ffG由）下的坐標(biāo)為.r,那么在i1.1=。下的坐標(biāo)就是，。（三）四、線性映射的復(fù)合我們已經(jīng)定義了行向量與列向量的乘法和矩陣與列向量的乘法

44、，現(xiàn)在還差矩陣與矩陣的乘法沒(méi)有定義。而矩陣與矩陣的乘法要與線性映射的復(fù)合聯(lián)系起來(lái)。設(shè)匚、F和可分別為r維、n維、m維向量空間。1ff和，分別是U到T和至UH7的線性映射,那么易證兩個(gè)線性映射的復(fù)合f口U也是線性映射。取三個(gè)向量空間的基底，那么三個(gè)向量空間就有了坐標(biāo)系統(tǒng)，如果知道了,和9在坐標(biāo)系統(tǒng)下的表達(dá)式，即按前面所述，知道了它們對(duì)應(yīng)的矩陣：=,0（乜）=B性，其中且為打?.hn階矩陣，B為兩K丁階矩陣，那么于口g對(duì)應(yīng)的矩陣是什么呢依據(jù)直觀的推導(dǎo)，/°。閨=式口式）=力（口程）=AG也,好像/口9對(duì)應(yīng)的矩陣就是幾口兩個(gè)矩陣的乘積，但是，我們目前并沒(méi)有定義它們的乘積是什么，所以最后一個(gè)

45、等號(hào)目前來(lái)講還是沒(méi)有意義那么，我們就以求兩個(gè)線性映射的復(fù)合映射所對(duì)應(yīng)的矩陣為目的，定義兩個(gè)線性映射的復(fù)合所對(duì)應(yīng)的矩陣就是這兩個(gè)映射對(duì)應(yīng)矩陣的乘積，那么這個(gè)乘積如何來(lái)求呢我們前面已經(jīng)知曉，一個(gè)線性映射/對(duì)應(yīng)的矩陣，其列向量就恰好等于,+在值域坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，那么我們只需求出這些坐標(biāo)，就相當(dāng)于求出一個(gè)線性映射的矩陣了。中的基底門.才明，在線性映射g的作用下映射到中，根據(jù)守對(duì)應(yīng)矩陣口的意義，相應(yīng)的。（心1）M（口），一）在F中的坐標(biāo)值就應(yīng)該是乃的各個(gè)列向量加,加/一然后，這些向量再經(jīng)映射到耳，它們的像在砰一坐標(biāo)系中的坐標(biāo)就應(yīng)該是AM.思外.，他產(chǎn)，也就是說(shuō)，u中的基底£l仁史G-在fog作用下的像在H中的坐標(biāo)就是月加4b冊(cè)一Abt-,把它們作為列向量組成一個(gè)矩陣，這就是線性映射，。可對(duì)應(yīng)的矩陣?；谝陨险撌?，定義兩個(gè)矩陣月日弘發(fā)空的乘積40如下：A.B=（4瓦+4%）其中加加，7b為的列向量。這樣的定義使得A（Bx）=依耳）常成立，因此，矩陣乘法滿足結(jié)合律：還有，我們看且B的每個(gè)列向量的組成情況，它的的每一列都是44，根據(jù)矩陣與列向量的乘法定義，它是應(yīng)的列向量的線性組合，組合系數(shù)是E的分量。這是從列向量的角度分析矩陣乘法得到的結(jié)果，我們還可以從行向量角度分析矩陣乘法。前面對(duì)矩陣行向量的意義已經(jīng)說(shuō)明，每個(gè)行向量都是定義