空間直線及其方程(20210929194819)

1、空間直線及其方程§ 8.4空間直線及其方程u直線的一般方程U直線的參數(shù)方程和對(duì)稱方程U兩直線的夾角U直線與平面的夾角一、空間直線的一般方程定義空間直線可看成兩平面的交線.n 1:A1x+B1y+C1z+DH 2:A2x+B2y+C2z+D2A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0空間直線的一般方程y注：表示同一直線的一般方程不唯一。確定空間直線的條件?由兩個(gè)平面確定一條直線；?由空間的兩點(diǎn)確定一條直線；?由空間的一點(diǎn)和一個(gè)方向來確定一條直線。二、空間直線的參數(shù)方程與對(duì)稱式方程r 如果一非零向量sr 一條直線L,向量s線L的方向向量.設(shè)定點(diǎn)MO(xO,yO,zO

2、) L,方向向量的定義： yr ? M(x,y,z) L,O/srs=m,n,p,MO=x-x0,y -y0,z -z0那么x-xO,y -y0,z -zO=tm,n,px=x0+mty=y0+ntz=z+pt 0消去參數(shù)t，有直線的參數(shù)方程x -xy-yz-z=直線的對(duì)稱式方程 mnp直線的一組方向數(shù)方向向量的余弦稱為直線的方向余弦注：1. 表示同一直線的對(duì)稱方程不唯一；2. 對(duì)稱式方程可轉(zhuǎn)化為一般方程；x=xO,x-xOy-yOz-zO 3.=理解為：y-y=z-z.Onpp n4.任一條直線均可表示為對(duì)稱式方程設(shè)直線過兩點(diǎn) M(x1,y1,z1),N(x2,y2,z2)r貝V S=x2-

3、x1,y2 -y1,z2 -z1x -x1y-y1z-z1 直線的對(duì)稱方程為：=x2-x1y2-y1z2-z1例1用對(duì)稱式方程及參數(shù)方程表示直線x+y+z+1=0.2x-y+3z+4=0解在直線上任取一點(diǎn)(x0,y0,z0)y0+z0+2=0 取x0=1?,y0-3z0-6=0解得 y0=0,z0= -2點(diǎn)坐標(biāo)(1,0, -2),因所求直線與兩平面的法向量都垂直取rrrs=n1 x n2=4, -1,-3,x - 1y-0z+2 對(duì)稱式方程=,4-1-3x=1+4t.參數(shù)方程y=-tz=-2- 3t例2 一直線過點(diǎn)A(2, -3,4)，且和y軸垂直相交，求其方程.解因?yàn)橹本€和y軸垂直相交，所以

4、交點(diǎn)為B(0, -3,0),r 取 s=2,0,4,x -2y+3z-4=.所求直線方程204三、兩直線的夾角定義兩直線的方向向量的夾角稱之.(銳角)x -xly-ylz-zl 直線 L1:=,p1m1 nix-x2y-y2z-z2 直線 L2:=,m2n2p2Acos(L,L)=12|mm+nn+pp|m1+ n1+p1?m2+n2+p2兩直線的夾角公式222222兩直線的位置關(guān)系：(1)L1 丄L2? m1m2+nin2+p1p2=0,m1 nipl=,(2)L1/L2?m2n 2p2r例如，直線 L1:s1=1, -4,0,r 直線 L2:s2=0,0,1,rrrrQs1 ?s2=0,二

5、 s1 丄 s2,即 L1 丄 L2.x- 4z=3例3 一直線L過點(diǎn)(-3,2,5)，且和直線2x-y-5z=1平行，求其方程.vi解rrrQs=n1x n2=1vj0vk-4二4,3,12-1-5所求直線方程方法 2:設(shè) s=m,n,px+3y -2z-5 =.431m- 4p=0 mn pvvvvQs丄 n1,s 丄 n2.?=431 2m n -5p=0v取 s=4,3,1x+1y -1z= 例4 一直線過點(diǎn)M0(2,1,3)，且與直線L: 32 -1垂直相交，求其方程解設(shè)所求直線為I ,先求兩直線的交點(diǎn)。L過點(diǎn)M0做平面垂直于直線 L: 3x+2y-z=5x=- 1+3tQL的參數(shù)方

6、程：y=1+2t代入平面方程z=-t 所以交點(diǎn)為 M1(2/7, 13/7, -3/7)r取 s=kM01=2, -1,4x -2y- 1z-3所求直線方程=.2-14四、直線與平面的夾角定義直線和它在平面上的投影直線的夾角？ nx - x0y - y0z - z0L:=,mnn:Ax+By+Cz+D=O, rAr n (s,n)= - ?2s=m,n,p,rn=A,B,C,rAr n (s,n)=+ ?2nn sin ?=cos( - ?)=cos(+ ?).22sin ?=|Am+Bn+Cp|222222A+B+C ?m+n+p直線與平面的夾角公式 直線與平面的位置關(guān)系：(1)L 丄n ?

7、(2)L n ?ABC=.mnpAm+Bn+Cp=0.x -1yz+1例 5 設(shè)直線 L:= ，平面2 -12n :x -y+2z=3，求直線與平面的夾角rr 解 n=1, -1,2,s=2,-1,2,sin ?=|Am+Bn+Cp|222222A+B+C ?m+n+p7|1 x2+(-1) x(-1)+2 x2|=.=3 ?二？=arcsin73 為所求夾角.五、平面束定義：通過一條直線的全部平面組成的平面族稱為平面束。A1x+B1y+C1z+D1=0LA2x+B2y+C2z+D2=0那么過直線L的全部平面組成的平面束為入 1(A1x+B1y+C1z+D1)訊 2(A2x+B2y+C2z+D

8、2)=0入1,入2不同時(shí)為零。入仁1,那么過直線L的面束為(A1x+B1y+C1z+D1)+A (A2x+B2y+C2z+D2)=0x+5y+z=0且與平面x- 4y例6求過直線：x- z+4=0,n-8z+12=0組成角的平面方程.4解過直線的平面束方程為x+5y+z+ 入(x - z+4)=0,即(1+ 入)x+5y+(1 -入)z+4 入=0,r其法向量n=1+入,5,1 -入.r又平面的法向量 n=1, -4, -8.由題設(shè)知rr nn ?n1cos=4nn1(1+ 入)？1+5?(-4)+(1 -入)？(-8)=222222+(-4)+( -8)(1+ 入)+5+(1 -入)入-3即

9、=,222 入 +273由此解得入二-.4代回平面束方程為 x+20y+7z-12=0.y=2x例7求過點(diǎn)M0(1,1,1)且與兩直線L1:,z=x-1y=3x-4L2: 都相交的直線L.z=2x-1 解將兩直線方程化為參數(shù)方程為x=t x=tL1:y=2t,L2:y=3t - 4z=t -1 z=2t -1設(shè)所求直線L與L1,L2的交點(diǎn)分別為 A(t1,2t1,t1-1)和B(t2,3t2 -4,2t2 -1).QM0(1,1,1) 與A,B三點(diǎn)共線,故MOn MO(入 為實(shí)數(shù)).于是M0,M0對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，即有t -12t-1(t -1)-1=,t2- 1(3t2 -4) -1(2t2

10、-1)-1解之得 t1=0,t2=0,二 A(0,0, -1),B(2,2,3)Q 點(diǎn) M0(1,1,1)和 B(2,2,3)同在直線 L 上, 故L的方程為x-仁y-仁z-1.2六、點(diǎn)到直線的距離及異面直線間的距離r直線過P1,直線的方向向量s,直線外一點(diǎn)P0計(jì)算點(diǎn)p0到直線的距離drrs x P1P0=sd? d=sP1Prrrrv=21?(s1 x s2)=s1 x s2drrPP ?(s x s)? d=six s2另法：做一法向量異面直線間的距離P2L2vvvn=s1 x s2過直線L1做平面n ,那么法向量為vvvn=s1 x s2故平面n/直線L2,點(diǎn)P2到平面n的距離就是d .

11、x+y-z-1=0例8證明直線L1: ,L22x+y- z- 2=0異面，并求其間最短距離。x+2y-z- 2=0:x+2y+2z+4=0r 證：Qs1=11-仁0, -1,-1,P1(1,1,1)21 -1rrijkr0, -2) s2=12-仁6, -3,0,P(20,122rirjrkvv1,1,3?1,2, -2P?(s x s)d=1.3s1 x s2x -1yz-1=例9求直線在平面 n :11 -1上的投影直線L1的方程。x -y+2z-仁0vvvijk解L的方向向量為，n 經(jīng)過L且垂直于n的平面n1的法線向量為VVVn1=sx n=11-1=1, -3,-21 -12又因?yàn)閚l

12、經(jīng)過L,故經(jīng)過L上的點(diǎn)(1, 0, 1)，所以n 1 :(x -1)-3(y-0)-2(z-1)=0,即 x-3y-2z+仁0x -y+2z-仁0, L1 的方程：x- 3y- 2z+1=0.解：L 的方向向量 s=2,1,0 X1,0,1=1,-2,-1x -3z-1例10求直線L1:=y=與直線20x+1y -2L2=z的公垂線方程。10L 與L1確定一平面n 1, rn1=1,-2,-1 X2,1,0=1,-2,5L 與L2確定一平面n 2, rn2=1,-2,-1 X 1,0,1=-2,-2,2L1LL2口 1:(x -3)-2y+5(z-1)=0n2:(x+1)+(y-2)-z=0x

13、-2y+5z-8=0?公垂線：x+y-z-1=0思考題x -4yz-2在直線方程=中，m2mn 6+pn 、p各怎樣取值時(shí)，直線與坐標(biāo)面xoy、yoz 都平行.思考題解答rrrs=2m,n,6+p, 且有 s工 0.rrrrs ?i=O,Qs ?k=0,6+p=0. p=- 6,m=0, ?2m=0rrQs工 0,n工 0,故當(dāng)m=0,n工0,p= -6時(shí)結(jié)論成立.練習(xí)一、填空題x=1x+1y+2z-1=1.與兩直線y=- 1+t 及 121 z=2+t都平行，且過原點(diǎn)的平面注所求平面的法線向量n和兩直線的方向中向量都垂直，故n=1, 1,1x -y+z=0x=-t+22. 過點(diǎn)M (1 ,

14、2, 1)且與直線y=3t - 4 z=t -1垂直的平面方程是。x -3y-z+4=0注直線的方向向量 s=-1, 3, 1，所求平面的法線向量 n/s，故取n=s建立 點(diǎn)法式方程即可。3. 兩條直線的方程是x - 1y-2z-3x+2y-1zL1:=,L2:=10 -1211那么過L1且平行于L2的平面方程是 注所求平面的法線向量 n=1,0, 1 x 2,1,1=1, 3,1x -3y+z+2=0過L1的平面束為：y-2+入(x+z -4)=0-1 a 入，1,入?2 , 1, 1=0?入=34. 設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)(6, 3, 2),且與平面4x y+2z=8垂直，那么此平面方程為 注所求平面的法線向量 n丄4, -1,2,n 丄6, -3,2,取 n=2,2, 32x+2y-3z=0二、選擇題1. 設(shè)有直線 x-1y-5z+8L1:=1 -21 與 x-y=