第四節(jié)--對(duì)面積的曲面積分

1、第四節(jié)對(duì)面積的曲面積分4.1 學(xué)習(xí)目標(biāo)了解對(duì)面積的曲面積分的概念、性質(zhì)，掌握對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算方法，會(huì)用曲面積分求一些幾何量與物理量 .4.2 容提要1.定義 設(shè)函數(shù)f x, y, z在光滑曲面 上有界，將曲面 任意分成n小塊 S S 也表示第i小塊曲面的面積，在 Sj上任取一點(diǎn) Mj( j,J，作乘積f ( i, i, i) Sj ni 1,2，n，并作和 f j, j, j s，記各小曲面直徑的最大值為，如果對(duì)曲i 1面的任一分法和點(diǎn)(j, j, j)的任意取法，當(dāng)0時(shí)，上述和式的極限都存在且相等，那么稱此極限值為函數(shù)f x, y,z在曲面上對(duì)面積的曲面積分或第一類曲面積分，記nf (

2、x,y,z)dS li叫 j 1 f( j, j, j) S -【注】定義中的“ S "是面積元素，因此， S 0 .2性質(zhì)關(guān)于曲面具有可加性，假設(shè)12，且1與2沒(méi)有公共的點(diǎn)，那么f(x,y,z)dS f(x,y,z)dS f(x, y,z)dS ；1 2當(dāng)被積函數(shù)為1時(shí)，積分結(jié)果在數(shù)值上等于曲面的面積S，即f (x, y, z)dS S .3. 對(duì)面積的曲面積分的計(jì)算設(shè)曲面 由z z x, y給出， 在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?Dxy, 函數(shù)z z x, y在Dxy上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，被積函數(shù)f (x, y,z)在上連續(xù)，那么f (x, y,z)dSf(x, y,z(x,y)h 1Dx

3、y2 2dxdyy同樣地:x x y,zf (x, y, z)dSf x y,z , y,zDyz2x dydz, z:y y z,xf(x,y,z)dSx, y 乙 x , zy dzdx z4. 對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用設(shè)曲面 上任意一點(diǎn) x, y, z處的面密度是x, y, z，那么曲面的質(zhì)量mx, y, z dS.曲面的質(zhì)心 x, y,z111xx x, y,zdS, yy x, y, z dS z z x, y,z dSmm，m曲面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2 2ixy zx, y,z dS5I yx2 z2x,y,z dS ,Iz x2 y2 x,y,z dS， I。 x2 y2 z2x, y, z

4、 dS4.3 典型例題與方法基此題型I :計(jì)算對(duì)面積的曲面積分例1填空題設(shè):x2 y2 z2 4，那么(x2 y2)dS .解 由積分區(qū)域的對(duì)稱性知 Ox'dS Oy2dS Oz'dS，于是而積分在上進(jìn)展,'3(x2':二(x2z24y2)dSy2)dS 2 二(x23，代入上式得,22z2)dS .128128故應(yīng)填"3-例2選擇題AxdSxdSCzdSxdS(z0),1為在第一卦限中的局部，那么有；bydS 4 xdS ；1；°xyzdS 4 xyzdS解 因?yàn)榍媸巧习肭蛎妫?關(guān)于yoz面對(duì)稱且被積函數(shù)fi(x,y,z)x ,關(guān)于xoz

5、f2(x,y,z) xyz都是變量X的奇函數(shù)，于是 xdS xyzdS ° .類似地, 面對(duì)稱且f3(x, y, z) y是變量y的奇函數(shù)，于是 ydS ° .而 xdS °, xyzdS ° ,1 1故應(yīng)選C.事實(shí)上，由對(duì)稱性，zdS 4 zdS, zdS xdS , C正確.1 1 1【方法點(diǎn)擊】 在計(jì)算對(duì)面積的曲面積分時(shí)，應(yīng)注意以下技巧：1利用對(duì)稱性，但要注意，曲面關(guān)于某坐標(biāo)面對(duì)稱，被積函數(shù)關(guān)于相應(yīng)變量具有奇偶性，兩者缺一不可.2利用積分曲面的方程化簡(jiǎn)被積函數(shù).例3計(jì)算曲面積分(2x 2y z)ds,其中是平面2x 2y z 2°被三個(gè)坐

6、標(biāo)面所截下的在第一卦限的局部解法一:z 2 2x2y,Zx2,Zy2 .在xoy平面上的投影是三角形，記為D : °x 1,° y 1x.(2x2y z)ds2 1 Zx2 Zy2dxdy6dxdy 3.DD2解法二 (2x 2y z)ds 2dS 2弓J 乎22 3 【方法點(diǎn)擊】在解法二中，將曲面方程代入到了曲面積分里，因?yàn)榉e分曲面是一個(gè)三角形，最后用到了三角形的面積公式 .例4計(jì)算|(x2 y2)dS,為立體 x2 y2 z 1的邊界.【分析】根據(jù)積分曲面的方程，確定投影區(qū)域，計(jì)算曲面面積微元dS，將曲面積分轉(zhuǎn)化為投影區(qū)域上的二重積分進(jìn)展計(jì)算. 2 2解設(shè)12,1為錐面

7、z x y , ° z 1，在1 上,dS2-y dxdy=j2dxdy.圖4-12為z 1上x(chóng)2 y21局部，在 2上，dS dxdy ,22i,2在xOy面的投影區(qū)域?yàn)镈 : x y 1，所以(x2 y2)dS + (x2 y2)dS1 2面，yoz面對(duì)稱，被積函數(shù)是偶函數(shù)，那么有z2dS = 4 z2dS，故可利用對(duì)稱性解之.解設(shè) 1 : x .4 y2,其在yoz面的投影域?yàn)?Dyz： odS1x；_2xz2dydz. 2 dydzJ4 y2z2dS = 4 z2dS=412zDyz2 6 2 2dzdy 4 z2dz2 0 024 y4 ydy 288 .(x2 y2)、2

8、dxdy(x2y2)dxdy)D2 1(.21) (x2 y2)dxdy (1.2) d3d(1.2).D1 02例5計(jì)算 z2dS，其中2 2為xy4介于z0,z6之間的局部【分析】積分曲面如圖11-13所示，此積分為對(duì)面積的曲面積分，積分曲面關(guān)于xoz圖4-2【注】該題不能將積分曲面向xoy面作投影，因?yàn)橥队盀榍€，不是區(qū)域.基此題型II :對(duì)面積的曲面積分的應(yīng)用1 2 2例6求物質(zhì)曲面S : z (x2 y2)(0z 1)的質(zhì)量，其面密度z(x, y, z) S).2解 S在xoy平面上的投影區(qū)域 D : x2 y2 ( 2)2.于是，所求質(zhì)量為 M1 / 22(xy2)dS(x2D2r

9、.ior dr(1 6.3)例7試求半徑為 R的上半球殼的質(zhì)心，其各點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到鉛錘直徑的距離.解 以球心為原點(diǎn)，鉛錘直徑為z軸建立直角坐標(biāo)系，那么球面方程為X2 y2 z2 R2，且任意點(diǎn)M(x, y,z)處的密度為-X2 y2 .設(shè)球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為(x, y,z)，由對(duì)稱性知，X y 0 .z dSz dS，其中為上半球面z 、.R2x22-dxdy yR,R2x2=dxdy ,y2，于是球殼的質(zhì)量為m dSdxdy y2其中在xoy面上的投影域:R2利用極坐標(biāo)計(jì)算上述二重積分，得Mxyz dS- RyR2 x2一 dxdy y22-R3.2z、 x2y2dSR丄丄dxdy2 2x

10、yR x2 y2dxdyDRR 2d04R (0,0,).4R2 3 廠，于是半球殼的質(zhì)心坐標(biāo)為R4.4 教材習(xí)題解答1.有一個(gè)分布著質(zhì)量的曲面，在點(diǎn)(x,y, z)處它的面密度u(x, y,z)，用對(duì)面積的曲面積分表示這曲面對(duì)于x軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：假設(shè)u(x, y,z)在曲面上連續(xù)，應(yīng)用元素法，在曲面上任取一直徑很小的曲面塊dS，設(shè)(x, y, z)使曲面塊dS的一點(diǎn)，那么由曲面塊 dS很小，u(x, y,z)的連續(xù)性可知， 曲面塊dS的質(zhì)量近似等于u(x, y, z)dS，這局部質(zhì)量可近似看作集中在點(diǎn)(x, y, z)上，該點(diǎn)到x軸的距離等于x2 y2，于是曲面對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：2 2

11、2 2dI x (z2y2)u(x, y,z)dS，所以轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：lx (y z)u(x,y,z)dS2 按對(duì)面積的曲面積分的定義證明公式f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS f (x, y, z)dS，其中 由 1 和 2 組成1 2證明：因?yàn)閒(x,y,z)在曲面上對(duì)面積的積分存在，所以不管把曲面怎樣分割，積分和總保持不變，因此在分割曲面時(shí)，可以永遠(yuǎn)把 1和2的邊界曲線作為分割線，從而保證 S整個(gè)位于1上，于是上的積分和等于1上的積分和加上2上的積分和，即f(i, i, i)Sjf(i, j, i)Sjf(i, i, i)Sj()(1)( 2)令各小塊的直徑的最大值趨向

12、于0,去極限得到：f(x,y,z)dS f (x,y,z)dS f(x,y,z)dS1 23.當(dāng) 時(shí)xoy面的一個(gè)閉區(qū)域 D時(shí)，曲面積分f(x,y,z)dS和二重積分有什么關(guān)系。恒為f (x, y,0)，并且zx解：當(dāng) 時(shí)xoy面的一個(gè)閉區(qū)域 D時(shí)， 在xoy上的投影區(qū)域即為 D , 上的f(x, y,z)zy0，所以 f (x, y,z)dS f (x, y,0)dxdy，即曲面積分與二重積分相等。4.計(jì)算曲面積分x,y,zdS,其中為拋物面z 2 x22y 在xoy面上方的局部，f x, y,z分別如下:2 f x,y,zx23 f x, y, z 3z 解2 f x,y,zdS =x2y

13、2 . 1 z2x Zy2dxdy，其中Dxy為在xoy面上Dxy的投影區(qū)域，即2 2Dxy : x y 2 z 0 .x, y, zdS =2xDxyy2 1 4(x2)dxdy149305.332Dxy計(jì)算1錐面2錐面解1影區(qū)域均為2 2Dxy : x yDxyx2Dxy2dS所以X, y, z dSx2 y21 4(x2 y2)dxdyy2 dS,其中是:3d-22011110. x2 y2與平面z- 2 23( xy )被平面中屬于錐面局部為1 z 0，所以1所圍成的區(qū)域的整個(gè)邊界曲面0和z 3所截局部。，上底面局部為2，而1與2在xoy面上的投dS =x2 y2 dSx2y2 dS所

14、截的錐面為:.221 ZxZy dxdy(2 1)dxdy 、. 2z 3 x2 y2 (D1 6x,2.3(x2 y2)(x2 y2)dS6y2,3(x22xDxy2xy : xy2)dxdy3d3)，dxdy 2dxdy2(x2Dxyy2)dxdy 96.計(jì)算以下對(duì)面積的曲面積分:4x(z 2x -y)dS，其中為平面-41在第一卦限中的局部.4 2x 4y, dS , 1 ( 2)2( 4)2dxdy -61dxdy333(z 2x222一 a x y ,dS1 (2卻2x2x2y2x-)2dxdy yaa2x2dxdy y2(x yz)dS(x yDxy22x2y2)*=dxdy y2

15、r2 (cossin )=r2 2 a rdrz 3(aah2)有限局部.(xy n2yz zx)dS,其中 為錐面z . x y 被柱面2y2 ax所截得的解dS2x2x2y2x2dxdy 、 2dxdy yDxy2(2xy2x243y，x z)dS，其中為平面2x2y z6在第一卦限中的局部解z4 2xdS 1(2)2(2)2dxdy3dxdy(2xy2x2 xz)dS(2xyDxy2x2x 6 2x2y)3dxdy33 x9273 dx00 (6 3x 2x2xy 2y)dy43(x yz)dS，其中為球面2 2 2x y za2上zh(0h a)的局部Dxy: x2 y2 2ax(xy yz zx)dSxy1(x y)(x2y2)2dxdyDxy2 a co