第六節(jié)：平面及方程ppt課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 平面及其方程平面及其方程 一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程 二、平面的一般方程二、平面的一般方程 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角 四、小結(jié)四、小結(jié)xyzo 如果一非零向量垂直于一平面，如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量這向量就叫做該平面的法線向量法線向量的特征：法線向量的特征：（1垂直于平面內(nèi)的任一向量垂直于平面內(nèi)的任一向量設(shè)設(shè)),(CBAn ),(0000zyxM又設(shè)平面上的任一點為又設(shè)平面上的任一點為),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的點法式方程一、平面的點法式方程n（3過空間一點能且只能作一個平面垂直于一已知向量過空間一點能

2、且只能作一個平面垂直于一已知向量（2與一已知法向量平行的任何非零向量均可作為與一已知法向量平行的任何非零向量均可作為 平面的法向量。平面的法向量。 0MM ),(0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面上的點都滿足上述方程，不在平面上平面上的點都滿足上述方程，不在平面上的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的的點都不滿足上述方程，上述方程稱為平面的點法式方程，平面稱為方程的圖形點法式方程，平面稱為方程的圖形其中法向量其中法向量),(CBAn 已知點已知點).,(0000zyxM設(shè)設(shè)),(CBAn ),(0000zyxM設(shè)平面上的任一點為設(shè)平面上的任一點為),(z

3、yxMnMM 0必有必有00 nMM0)()()(000 zzCyyBxxA（2 2反之反之, ,若已知平面方程為若已知平面方程為結(jié)論：結(jié)論： （1已知平面的一個法向量已知平面的一個法向量),(CBAn ).,(0000zyxM及平面內(nèi)的一個點及平面內(nèi)的一個點則該平面的點法式方程為則該平面的點法式方程為0 DCzyBAx那么那么),(CBAn 就是該平面的一個法向量就是該平面的一個法向量0)(000 zCByAxzCByAx,0 DzCByAx則則D 解解)6, 4, 3( AB)1, 3, 2( AC取取ACABn ),1, 9,14( 所求平面方程為所求平面方程為, 0)4()1(9)2(

4、14 zyx化簡得化簡得. 015914 zyx132643 kji),1, 1, 1(1 n)12, 2, 3(2 n故可取故可取21nnn )5,15,10( 解：解：1n2nL,1nL ,2nL n,/ Ln則則n設(shè)所求平面的法向量為設(shè)所求平面的法向量為,1nn ,2nn 21nn1223111 kji)1, 3, 2(5 例例 2 2 求求過過點點)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的交交線線的的平平面面方方程程. , 0)1(1)1(3)1(2 zyx化簡得化簡得. 0632 zyx所求平面方程為所求平面方程為解：解：1n2nLn)5,

5、15,10( 21nn1223111 kji)1, 3, 2(5 故可取故可取21nnn 由平面的點法式方程由平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程其中法向量為其中法向量為).,(CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程幾種特殊情況：幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A, 0 D平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0,

6、 0 CBCA類似地可討論類似地可討論 B=0,C=0 的情形的情形.0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程, 0 CzByAx), 0(CBn ,軸軸x , 0, 0 DA特特別別若若設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為, 0 DCzByAx由平面過原點知由平面過原點知, 0 D由由平平面面過過點點)2, 3, 6( 知知0236 CBA),2 , 1, 4( n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程為所求平面方程為解解),(CBAn 03232 CzCyxC設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為, 0 DCzByAx將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA

7、,aDA ,bDB .cDC 解解, 0 DzcDybDxaD. 1 czbyax平面的截平面的截距式方程距式方程1 czbyaxx軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸上截距軸上截距平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoP(a,0,0) Q(0,b,0) R(0,0,c) 設(shè)平面方程為設(shè)平面方程為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要條件）（向量平行的充要條件）解解P(a,0,0) Q(0,b,0) R(0,0,c) ,61161cba 化簡得化簡得令令tcba 61161設(shè)平面

8、為設(shè)平面為, 1 czbyaxxyzo, 1 V, 12131 abc解解P(a,0,0) Q(0,b,0) R(0,0,c) ,61161cba 令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 ,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）1 1n2 2n 兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角兩平面法向量之間的夾角稱為兩平面的夾角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA),(1111CBAn ),(2222CBAn 三、兩平面的夾角三、兩平面的夾角 2

9、22222212121212121|cosCBACBACCBBAA |cos1221nnnn |),cos(122121nnnnnn 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式, 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2(

10、zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601 兩平面相交，夾角兩平面相交，夾角.601arccos ),1, 2 , 1(1 n),3 , 1 , 0(2 n例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)2(),1 , 1, 2(1 n),2, 2 , 4(2 n,212142 兩平面平行兩平面平行,)0 , 1 , 1(1 M兩平面平行但不重合兩平面平行但不重合2)0

11、, 1 , 1( M但但例例6 6 研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：研究以下各組里兩平面的位置關(guān)系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 012)3( zyxzyx解解)3(),1, 1, 2(1 n),2 , 2 , 4(2 n,212142 兩平面平行兩平面平行,)0 , 1 , 1(1 M兩平面重合兩平面重合2)0 , 1 , 1( M且且 ),(1111zyxP|,|0NPd 1PNn0P 0101Pr|PPjnnPPn ),(10101001zzyyxxPP 解解|Pr|01PPjdn |Pr0101nnPPPPjn nePP 01

12、222222222,CBACCBABCBAAen),(CBAn 例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點點，求求0P到到平平面面的的距距離離. 1PNn0P 解解|Pr|01PPjdn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ),(10101001zzyyxxPP |Pr|01PPjdn |Pr0101nnPPPPjn nePP 01 222222222,CBACCBABCBAAen),(CBAn |01nePP 例例7 7 設(shè)設(shè)),(0000zyxP是是平平面面ByAx 0 DCz外外一一點點，求求0P到到平平面

13、面的的距距離離. 1PNn0P 解解222111000)(CBACzByAxCzByAxd 0111 DCzByAx.|222000CBADCzByAxd 點到平面距離公式點到平面距離公式,),(1111 zyxP3 例例8：求通過點：求通過點 A(3,0,0) 和和B(0,0,1) 且與且與xoy 面成面成解：解：),(CBAn ABn 則則0 ABn03 CA設(shè)所求平面的一個法向量為設(shè)所求平面的一個法向量為)1 , 0 , 3( AB又又xoy 面的一個法向量為面的一個法向量為),1 , 0 , 0( e3),( en|cosenen ,|222CBAC 21|222 CBAC即即0322

14、2 CBA的平面方程。的平面方程。3 例例8：求通過點：求通過點 A(3,0,0) 和和B(0,0,1) 且與且與xoy 面成面成 的平面方程。的平面方程。解：解：),(CBAn 設(shè)所求平面的一個法向量為設(shè)所求平面的一個法向量為)1 , 0 , 3( AB03 CA03222 CBA ABAC263)3 ,26,(1AAAn ),3 ,26, 1(A )3 ,26, 1(2 An由點法式得所求平面方程為由點法式得所求平面方程為, 0326)3(:1 zyx, 03326 zyx, 0326)3(:2 zyx, 03326 zyx平面的方程平面的方程（熟記平面的幾種特殊位置的方程）（熟記平面的幾

15、種特殊位置的方程）兩平面的夾角兩平面的夾角.點到平面的距離公式點到平面的距離公式.點法式方程點法式方程.一般方程一般方程.截距式方程截距式方程. （注意兩平面的位置特征）（注意兩平面的位置特征）四、小結(jié)四、小結(jié)習(xí)題75: 1,3, 4, 6, 9 第七章作業(yè)第七章作業(yè)第六節(jié)：平面及其方程第六節(jié)：平面及其方程思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為為4 ，求求? k 解答解答,1)3(2)2(1|12)3(21|4cos222222 kk ,145|3|212 kk.270 k思考題思考題 若若平平面面02 zkyx與與平平面面032 zyx的的夾夾角角為

16、為4 ，求求? k 一、一、 填空題：填空題：1 1、 平面平面0 CzByAx必通過必通過_， （其中（其中 CBA,不全為零） ；不全為零） ；2 2、平面、平面0 DCzBy_x軸；軸；3 3、平面、平面0 CzBy_x軸；軸；4 4、通過點、通過點)1,0,3( 且與平面且與平面012573 zyx平平 行的平面方程為行的平面方程為 _ _；5 5、通過、通過),0,0()0,0()0,0,(cba、三點的平面方三點的平面方 _；6 6、 平平面面0522 zyx與與xoy面面的的夾夾角角余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，與與yoz面面的的夾夾角角余余弦弦

17、為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _， 與與zox面面的的夾夾角角的的余余弦弦為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _； 練練 習(xí)習(xí) 題題二、二、 指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面：指出下列各平面的特殊位置，并畫出各平面： 1 1、 0632 yx； 2 2、 1 zy； 3 3、 056 zyx. . 三、三、 求過點求過點)2,2,2( ,)1,1,1( 和和)2,1,1( 三點三點的的 平面方程平面方程 . . 四、四、 點點)1,0,1( 且平行于向量且平行于向量 1,1,2 a和和 0,1,1 b的平面方程的平面方程 . . 五五、 求求通通過過Z軸軸和和點點)2,1,3( 的的平平面面方方程程 . . 六六、 求求 與與 已已 知知 平平 面面0522 zyx平平 行行 且且 與與三三坐坐標(biāo)標(biāo)面面所所構(gòu)構(gòu)成成的