三章控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與建模ppt課件

1、CH3、控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述與建模 q 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型在控制系統(tǒng)的研究中有著相當(dāng)重要的地位，要對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真處理，首先應(yīng)當(dāng)知道系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后才可以對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行模擬。同樣，如果知道了系統(tǒng)的模型，才可以在此基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)一個(gè)合適的控制器，使得系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到預(yù)期的效果，從而符合工程實(shí)際的需要。q在線性系統(tǒng)理論中，一般常用的數(shù)學(xué)模型形式有：傳遞函數(shù)模型系統(tǒng)的外部模型）、狀態(tài)方程模型系統(tǒng)的內(nèi)部模型）、零極點(diǎn)增益模型和部分分式模型等。這些模型之間都有著內(nèi)在的聯(lián)系，可以相互進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 按系統(tǒng)性能分：線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)；連續(xù)系統(tǒng)和離散系統(tǒng)；定常系統(tǒng)和時(shí)變系統(tǒng)；確定系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)。 1、線性連續(xù)系統(tǒng)：用線性

2、微分方程式來(lái)描述，如果微分方程的系數(shù)為常數(shù)，則為定常系統(tǒng)；如果系數(shù)隨時(shí)間而變化，則為時(shí)變系統(tǒng)。今后我們所討論的系統(tǒng)主要以線性定常連續(xù)系統(tǒng)為主。 2、線性定常離散系統(tǒng)：離散系統(tǒng)指系統(tǒng)的某處或多處的信號(hào)為脈沖序列或數(shù)碼形式。這類系統(tǒng)用差分方程來(lái)描述。 3、非線性系統(tǒng)：系統(tǒng)中有一個(gè)元部件的輸入輸出特性為非線性的系統(tǒng)。第一節(jié) 系統(tǒng)的分類 微分方程是控制系統(tǒng)模型的基礎(chǔ)，一般來(lái)講，利用機(jī)械學(xué)、電學(xué)、力學(xué)等物理規(guī)律，便可以得到控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程，這些方程對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng)而言是一種常系數(shù)的線性微分方程。 如果已知輸入量及變量的初始條件，對(duì)微分方程進(jìn)行求解，就可以得到系統(tǒng)輸出量的表達(dá)式，并由此對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行性能

3、分析。 通過(guò)拉氏變換和反變換，可以得到線性定常系統(tǒng)的解析解，這種方法通常只適用于常系數(shù)的線性微分方程，解析解是精確的，然而通常尋找解析解是困難的。MATLAB提供了ode23、ode45等微分方程的數(shù)值解法函數(shù)，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，也適用于非線性及時(shí)變系統(tǒng)。第二節(jié) 線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程模型例exp3_1.m電路圖如下，R=1.4歐，L=2亨，C=0.32法，初始狀態(tài)：電感電流為零，電容電壓為0.5V，t=0時(shí)刻接入1V的電壓，求0t15s時(shí)，i(t)，vo(t)的值，并且畫(huà)出電流與電容電壓的關(guān)系曲線。NoImage對(duì)線性定常系統(tǒng)，式中s的系數(shù)均為常數(shù)，且a1不等于零，這時(shí)系統(tǒng)在MAT

4、LAB中可以方便地由分子和分母系數(shù)構(gòu)成的兩個(gè)向量唯一地確定出來(lái)，這兩個(gè)向量分別用num和den表示。num=b1,b2,bm,bm+1den=a1,a2,an,an+1注意：它們都是按s的降冪進(jìn)行排列的。11211121.)()()(nnnnmnmmasasasabsbsbsbsRsCsG第三節(jié) 傳遞函數(shù)描述一、連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)如下： 零極點(diǎn)模型實(shí)際上是傳遞函數(shù)模型的另一種表現(xiàn)形式，其原理是分別對(duì)原系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分子、分母進(jìn)行分解因式處理，以獲得系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的表示形式。).()().()()(2121nmpspspszszszsKsGv在MATLAB中零極點(diǎn)增益模型

5、用z,p,K矢量組表示。即：vz=z1,z2,zmvp=p1,p2,.,pnvK=kv函數(shù)tf2zp()可以用來(lái)求傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)和增益。二、零極點(diǎn)增益模型K為系統(tǒng)增益，zi為零點(diǎn)，pj為極點(diǎn) 控制系統(tǒng)常用到并聯(lián)系統(tǒng)，這時(shí)就要對(duì)系統(tǒng)函數(shù)進(jìn)行分解，使其表現(xiàn)為一些基本控制單元的和的形式。 函數(shù)r,p,k=residue(b,a)對(duì)兩個(gè)多項(xiàng)式的比進(jìn)行部分展開(kāi)，以及把傳函分解為微分單元的形式。 向量b和a是按s的降冪排列的多項(xiàng)式系數(shù)。部分分式展開(kāi)后，余數(shù)返回到向量r，極點(diǎn)返回到列向量p，常數(shù)項(xiàng)返回到k。 b,a=residue(r,p,k)可以將部分分式轉(zhuǎn)化為多項(xiàng)式比p(s)/q(s)。三、部分分式展

6、開(kāi)舉例：傳遞函數(shù)描述 1）num=12,24,0,20;den=2 4 6 2 2;2）借助多項(xiàng)式乘法函數(shù)conv來(lái)處理：num=4*conv(1,2,conv(1,6,6,1,6,6);den=conv(1,0,conv(1,1,conv(1,1,conv(1,1,1,3,2,5);22642202412)(23423sssssssG)523() 1()66)(2(4)(23322sssssssssG零極點(diǎn)增益模型：num=1,11,30,0;den=1,9,45,87,50; z,p,k=tf2zp(num,den)50874593011)(23423ssssssssG)43)(43)(2

7、)(1()5)(6()(jsjsssssssGz= 0 -6 -5p= -3.0000+4.0000i -3.0000-4.0000i -2.0000 -1.0000k= 1結(jié)果表達(dá)式：部分分式展開(kāi)：num=2,0,9,1;den=1,1,4,4; r,p,k=residue(num,den)44192)(233ssssssG12225. 0225. 02)(sisiisisGp= 0.0000+2.0000i 0.0000-2.0000i -1.0000k= 2r= 0.0000-0.2500i 0.0000+0.2500i -2.0000結(jié)果表達(dá)式：q 狀態(tài)方程與輸出方程的組合稱為狀態(tài)空間

8、表達(dá)式，又稱為動(dòng)態(tài)方程，經(jīng)典控制理論用傳遞函數(shù)將輸入輸出關(guān)系表達(dá)出來(lái)，而現(xiàn)代控制理論則用狀態(tài)方程和輸出方程來(lái)表達(dá)輸入輸出關(guān)系，揭示了系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)對(duì)系統(tǒng)性能的影響。DuCxyBuAxx第四節(jié)狀態(tài)空間描述q在MATLAB中，系統(tǒng)狀態(tài)空間用A,B,C,D)矩陣組表示。舉例：系統(tǒng)為一個(gè)兩輸入兩輸出系統(tǒng)A=1 6 9 10; 3 12 6 8; 4 7 9 11; 5 12 13 14;B=4 6; 2 4; 2 2; 1 0;C=0 0 2 1; 8 0 2 2; D=zeros(2,2);xyuxx22081200012242641413125119748612310961 在一些場(chǎng)合下需要用到某種

9、模型，而在另外一些場(chǎng)合下可能需要另外的模型，這就需要進(jìn)行模型的轉(zhuǎn)換。 模型轉(zhuǎn)換的函數(shù)包括： residue：傳遞函數(shù)模型與部分分式模型互換 ss2tf： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型 ss2zp： 狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型 tf2ss： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 tf2zp： 傳遞函數(shù)模型轉(zhuǎn)換為零極點(diǎn)增益模型 zp2ss： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型 zp2tf： 零極點(diǎn)增益模型轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)模型第五節(jié)模型的轉(zhuǎn)換與連接一、模型的轉(zhuǎn)換用法舉例：1已知系統(tǒng)狀態(tài)空間模型為：A=0 1; -1 -2; B=0;1; C=1,3; D=1;num,den=ss2tf(A,B,C,D

10、,iu)iu用來(lái)指定第n個(gè)輸入，當(dāng)只有一個(gè)輸入時(shí)可忽略。num=1 5 2; den=1 2 1;z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu)z= -4.5616 p= -1 k=1 -0.4384 -1uxyuxx311021102已知一個(gè)單輸入三輸出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型為：num=0 0 -2;0 -1 -5;1 2 0;den=1 6 11 6;A,B,C,D=tf2ss(num,den)A= -6 -11 -6 B= 1 C= 0 0 -2 D= 0 1 0 0 0 0 -1 -5 0 0 1 0 0 1 2 0 0 61162)(61165)(61162)()()(232312321

11、23111ssssssGsssssGssssusysG3系統(tǒng)的零極點(diǎn)增益模型：z=-3;p=-1,-2,-5;k=6;num,den=zp2tf(z,p,k)num= 0 0 6 18 den= 1 8 17 10a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)a= -1.0000 0 0 b=1 2.0000 -7.0000 -3.1623 1 0 3.1623 0 0 c= 0 0 1.8974 d=0 注意：零極點(diǎn)的輸入可以寫(xiě)出行向量，也可以寫(xiě)出列向量。 )5)(2)(1()3(6)(sssssG4已知部分分式：r=-0.25i,0.25i,-2;p=2i,-2i,-1;k=2;num,den=

12、residue(r,p,k)num= 2 0 9 1den= 1 1 4 4注意余式一定要與極點(diǎn)相對(duì)應(yīng)。 12225. 0225. 02)(sisiisisG1、并聯(lián)：parallel格式：a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2)并聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。a,b,c,d=parallel(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,inp2,out1,out2) inp1和inp2分別指定兩系統(tǒng)中要連接在一起的輸入端編號(hào)，從u1,u2,un依次編號(hào)為1,2,n； out1和out2分別指定要作相加的輸出端編號(hào)，編號(hào)方式與輸入類似。inp1

13、和inp2既可以是標(biāo)量也可以是向量。out1和out2用法與之相同。如inp1=1,inp2=3表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入端與系統(tǒng)2的第三個(gè)輸入端相連接。若inp1=1 3,inp2=2 1則表示系統(tǒng)1的第一個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第二個(gè)輸入連接，以及系統(tǒng)1的第三個(gè)輸入與系統(tǒng)2的第一個(gè)輸入連接。num,den=parallel(num1,den1,num2,den2) 將并聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相加。二、模型的連接2、串聯(lián)：series格式：a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 串聯(lián)連接兩個(gè)狀態(tài)空間系統(tǒng)。a,b,c,d=series(a1,b1,c1,d1,a2,b

14、2,c2,d2,out1,in2) out1和in2分別指定系統(tǒng)1的部分輸出和系統(tǒng)2的部分輸入進(jìn)行連接。num,den=series(num1,den1,num2,den2) 將串聯(lián)連接的傳遞函數(shù)進(jìn)行相乘。3、反響：feedback格式：a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2) 將兩個(gè)系統(tǒng)按反饋方式連接，一般而言，系統(tǒng)1為對(duì)象，系統(tǒng)2為反饋控制器。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,sign)系統(tǒng)1的所有輸出連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的所有輸出連接到系統(tǒng)1的輸入，sign用來(lái)指示系統(tǒng)2輸出到系統(tǒng)1輸入的連接

15、符號(hào)，sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)，即sign= -1。總系統(tǒng)的輸入/輸出數(shù)等同于系統(tǒng)1。a,b,c,d=feedback(a1,b1,c1,d1,a2,b2,c2,d2,inp1,out1) 部分反饋連接，將系統(tǒng)1的指定輸出out1連接到系統(tǒng)2的輸入，系統(tǒng)2的輸出連接到系統(tǒng)1的指定輸入inp1，以此構(gòu)成 閉環(huán)系統(tǒng)。num,den=feedback(num1,den1,num2,den2,sign) 可以得到類似的連接，只是子系統(tǒng)和閉環(huán)系統(tǒng)均以傳遞函數(shù)的形式表示。sign的含義與前述相同。4、閉環(huán)：cloop單位反饋）格式：ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,sign) 通過(guò)將所有

16、的輸出反饋到輸入，從而產(chǎn)生閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。當(dāng)sign=1時(shí)采用正反饋；當(dāng)sign= -1時(shí)采用負(fù)反饋；sign缺省時(shí)，默認(rèn)為負(fù)反饋。ac,bc,cc,dc=cloop(a,b,c,d,outputs,inputs) 表示將指定的輸出outputs反饋到指定的輸入inputs，以此構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。一般為正反饋，形成負(fù)反饋時(shí)應(yīng)在inputs中采用負(fù)值。numc,denc=cloop(num,den,sign) 表示由傳遞函數(shù)表示的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)構(gòu)成閉環(huán)系統(tǒng)，sign意義與上述相同。 舉例應(yīng)用： 1exp3_2.m 系統(tǒng)1為： 系統(tǒng)2為： 求按串聯(lián)、并聯(lián)、正反饋、負(fù)反饋連接時(shí)的系統(tǒng)狀態(tài)

17、方程及系統(tǒng)1按單位負(fù)反饋連接時(shí)的狀態(tài)方程。11111131102110uxyuxx2222241103110 xyuxx2exp3_3.m系統(tǒng)1、系統(tǒng)2方程如下所示。1312111312111211131211131211131211101010110100100001010263122441uuuxxxyyuuuxxxxxx2322212322212221232221232221232221101011101010100010001161123011uuuxxxyyuuuxxxxxx求部分并聯(lián)后的狀態(tài)空間，要求u11與u22連接，u13與u23連接，y11與y21連接。 ctrb和obsv函數(shù)可以求出狀態(tài)空間系統(tǒng)的可控性和可觀性矩陣。 格式：co=ctrb(a,b) ob=obsv(a,c) 對(duì)于nn矩陣a，nm矩陣b和pn矩陣c ctrb(a,b)可以得到nnm的可控性矩陣 co=b ab a2b