第五章 隨機(jī)振動簡介5.6

1、第四第五章 隨機(jī)振動基礎(chǔ)在振動系統(tǒng)中，由于激勵或參數(shù)的不確定性，振動響應(yīng)也是不確定性的。研究不確定性振動的科學(xué)叫隨機(jī)振動。隨機(jī)振動雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性。研究隨機(jī)振動實(shí)質(zhì)上是用統(tǒng)計與概率方法了解振動的內(nèi)在機(jī)理及規(guī)律性。隨機(jī)振動中的樣本是隨時間變化的，這與概率統(tǒng)計中的樣本不同。所以隨機(jī)振動理論僅僅是以概率統(tǒng)計方法為基礎(chǔ)。本章主要介紹線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動基本概念和基本理論。在對隨機(jī)振動有了初步了解，將從隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性入手，介紹幾種統(tǒng)計量（總體平均、自相關(guān)函數(shù)、時間平均、時間自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等）以及如何用這些統(tǒng)計量來描述隨機(jī)振動，建立激勵與響應(yīng)統(tǒng)計特征之間的相互

2、聯(lián)系。最后介紹了空間譜及與時間譜的轉(zhuǎn)換。在振動系統(tǒng)中，由于激勵或參數(shù)的不確定性，振動響應(yīng)也是不確定性的。研究不確定性振動的科學(xué)叫隨機(jī)振動。隨機(jī)振動雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性。研究隨機(jī)振動實(shí)質(zhì)上是用統(tǒng)計與概率方法了解振動的內(nèi)在機(jī)理及規(guī)律性。本章主要介紹線性系統(tǒng)的隨機(jī)振動基本概念和基本理論。在對隨機(jī)振動有了初步了解，將從隨機(jī)過程的統(tǒng)計特性入手，介紹幾種統(tǒng)計量（總體平均、自相關(guān)函數(shù)、時間平均、時間自相關(guān)函數(shù)、功率譜密度函數(shù)等）以及如何用這些統(tǒng)計量來描述隨機(jī)振動，建立激勵與響應(yīng)統(tǒng)計特性之間的相互聯(lián)系。45.1隨機(jī)過程及統(tǒng)計特征在前面的章節(jié)中所討論的振動，其激勵和響應(yīng)都可以以時間為

3、變量預(yù)先準(zhǔn)確描述。但在實(shí)際問題中不能以時間為參量預(yù)先準(zhǔn)確描述的振動是普遍存在的。比如，運(yùn)行中列車轉(zhuǎn)向架的振動、地震引起的結(jié)構(gòu)振動、發(fā)動機(jī)運(yùn)行時產(chǎn)生的振動及飛機(jī)降落時起落架的振動等。這些振動都無法對既定的時刻t預(yù)先給出它們準(zhǔn)確的振動情況，更無法用前面章節(jié)中的方法解決。因此,這種具有不確定性的振動過程稱作隨機(jī)振動。為了探尋隨機(jī)振動內(nèi)在的機(jī)理及規(guī)律性，通常需要對某一給定的隨機(jī)振動反復(fù)試驗(yàn)、記錄，從而比較分析每一次的試驗(yàn)結(jié)果。例如實(shí)際生產(chǎn)中統(tǒng)計某一隨機(jī)振動每一次試驗(yàn)中振幅的最大值即為最簡單的振動分析。若對不確定性振動系統(tǒng)進(jìn)行振動測試，對每一個測點(diǎn)，每測試一次可得一條測試曲線,測試量可以是廣義位移或廣義

4、力,記為,如圖45.1中第一條曲線所示。為了消除不確定性影響,一般要重復(fù)多次.假設(shè)測試工作重復(fù)了次，可以得到條時間位移曲線（），如圖4.5.1所示。為隨機(jī)變量，是時間t的函數(shù)，因此叫做一個樣本函數(shù)。所有可能的樣本函數(shù)（）的集合稱為隨機(jī)過程，記作。圖45.1 隨機(jī)過程 同樣地，對道路或鐵路不平順度進(jìn)行測試時，也可以得一條以空間坐標(biāo)為參數(shù)的樣本函數(shù)，多次測量后得到以空間坐標(biāo)為參數(shù)的隨機(jī)過程。 因此，對于不確定性量的每一次試驗(yàn)或測試都可以得到一條曲線，其數(shù)值是關(guān)于某些參量（如時間、空間）的隨機(jī)變量，稱作樣本函數(shù)，每一個樣本函數(shù)是不同的。樣本函數(shù)的本質(zhì)是隨機(jī)函數(shù)，可以擁有多個參量。對于某一隨機(jī)振動問題

5、，可以在相同的情況下重復(fù)無限多次試驗(yàn)，每一次試驗(yàn)都用同樣的參量，這些試驗(yàn)的集合構(gòu)成隨機(jī)過程。隨機(jī)振動雖具有不確定性，但仍可利用統(tǒng)計的方法研究其規(guī)律性?？茖W(xué)試驗(yàn)中的數(shù)值顯現(xiàn)即為數(shù)據(jù)，研究隨機(jī)振動問題就是對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行采集、整理、分析和闡釋。,分析是指確定一些統(tǒng)計量度以描述隨機(jī)振動的屬性；,闡釋則是指根據(jù)分析的結(jié)果去做得出結(jié)論。這些工作其本質(zhì)上都是統(tǒng)計工作。研究隨機(jī)振動遇到的第一個問題便是如何表征或描述隨機(jī)振動過程。隨機(jī)振動具有不確定性，因此無法用一個振動樣本的細(xì)節(jié)來表征。借鑒概率與統(tǒng)計理論，通常以其統(tǒng)計特征量來表征隨機(jī)振動。隨機(jī)變量統(tǒng)計特征常用分布密度函數(shù)來描述描述，而分布密度函數(shù)一般由均值和均

6、方值來描述。對于隨機(jī)振動，隨機(jī)變量是時間的函數(shù)，因此該隨機(jī)過程在時刻的振動情況可用各個樣本在時刻的平均值和方差或均方值來描述。對于任意時刻，用所有樣本來求隨機(jī)過程在時刻的總體平均得到 （45.1） 式（4.5.1）中稱為隨機(jī)過程在時刻的總體平均值，簡稱均值，也稱為數(shù)學(xué)期望。均值得到后對隨機(jī)振動在時刻振動情況已經(jīng)有初步的了解。進(jìn)一步描述隨機(jī)振動在時刻的振動情況，可求出隨機(jī)變量的均方值及方差，其數(shù)學(xué)描述如下。 （4.5.2） （4.5.3）它們分別對反映了隨機(jī)變量的波動有效值及波動強(qiáng)弱。至此，隨機(jī)變量在 時刻的波動幅值的期望、有效值及振動強(qiáng)弱等基本情況已描述清楚。在概率統(tǒng)計理論中描述兩個隨機(jī)變量、

7、的相關(guān)程度可用隨機(jī)變量的協(xié)方差表示，叫作相關(guān)函數(shù)。同理也在一定程度上反映了隨機(jī)變量、的相關(guān)程度。對隨機(jī)過程各樣本，取任意時刻和值構(gòu)成兩個隨機(jī)變量和，并對隨機(jī)過程中這各樣本的這兩個變量值乘積取總體平均，得到 （4.5.4）式（4.5.4）中稱作隨機(jī)過程在和時刻的自相關(guān)函數(shù)。它表示了隨機(jī)過程不同時刻值隨機(jī)分布情況的相關(guān)程度。特別地，當(dāng)時：。 （4.5.5）顯然，此時自相關(guān)函數(shù)取極大值。以上應(yīng)用概率統(tǒng)計的方法，求出了隨機(jī)過程某一時刻的總體均值、均方值、方差的自相關(guān)函數(shù)，了解了隨機(jī)振動在某一時刻的統(tǒng)計特征。但任意時刻的統(tǒng)計特征還待進(jìn)一步討論。45.2 平穩(wěn)、各態(tài)歷經(jīng)過程及統(tǒng)計特征應(yīng)用概率統(tǒng)計理論，我們

8、得到了計算隨機(jī)變量統(tǒng)計特征公式（4.5.1）（4.5.5）。但由于隨機(jī)變量均為時間的函數(shù)，所以得到的統(tǒng)計特征都是時間的函數(shù)。由于不同時間的統(tǒng)計特征不同，要全面了解統(tǒng)計特征，需要對不同時刻進(jìn)行計算。其次，統(tǒng)計特征計算足夠多的樣本，測試工作量很大。隨機(jī)過程的研究中隨時間變化的樣本函數(shù)和大量的樣本數(shù)量這兩個基本問題增加了試驗(yàn)和計算分析的難度。因此，在保留主要因素，忽略次要因素的前提下，需要尋找一種合理、有效的參量簡化方法使描述處理方法簡單、有效。首先考慮簡化時間這個參量。假設(shè)隨機(jī)過程的總體平均和自相關(guān)函數(shù)等統(tǒng)計量均與時刻無關(guān)，這樣的隨機(jī)過程稱為平穩(wěn)過程。由這個假設(shè)可知，平穩(wěn)隨機(jī)過程的均值為一常量。

9、（(4.5.6）)而自相關(guān)函數(shù)僅依賴于時差而與時刻無關(guān) （(4.5.7）)滿足以上假設(shè)隨機(jī)振動的樣本函數(shù)的統(tǒng)計特征與時間無關(guān)，。稱為平穩(wěn)隨機(jī)振動。 平穩(wěn)過程簡化使得隨機(jī)過程統(tǒng)計特征與時間無關(guān)，可取樣本函數(shù)中任意時刻的值進(jìn)行總體平均得到統(tǒng)計特征，大大的簡化了試驗(yàn)和分析工作量，但概率統(tǒng)計需要大量的樣本以保證分析的準(zhǔn)確性。如果隨機(jī)過程可以用任意一個樣本函數(shù)在時間序列上求得的平均值及自相關(guān)函數(shù)表征，即任選一個樣本在時間序列上求平均值及自相關(guān)函數(shù)作為總體平均的結(jié)果，這樣就可以回避獲取大量樣本及處理龐大數(shù)據(jù)問題，從而可以用一個樣本函數(shù)代表總體。為此，我們進(jìn)一步假定平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均值及自相關(guān)函數(shù)各種狀態(tài)在

10、一個樣各個樣本中都經(jīng)歷，亦即總體中隨機(jī)值的分布和樣本中按時間均勻分布時隨機(jī)值的按時間的分布是相同的，從而可以用時間平均代替總體平均。一個隨機(jī)過程中樣本函數(shù)的這種平均叫做時間平均。時間平均的數(shù)學(xué)定義為： （(4.5.8）)時間自相關(guān)函數(shù)數(shù)學(xué)定義為： （(4.5.9）)滿足時間平均代替總體平均這個假設(shè)的隨機(jī)過程稱為各態(tài)歷經(jīng)過程（遍歷過程）。從而各態(tài)歷經(jīng)過程時間平均就是總體平均，有： （(4.5.10）) （(4.5.11）)對于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程，可以用一個樣本函數(shù)的統(tǒng)計特征來表征總體統(tǒng)計特征，使得試驗(yàn)分析時只需要一個有效的樣本函數(shù)?？傮w平均和時間平均實(shí)質(zhì)上是對同一事物的不同角度描述。由平穩(wěn)過程與各

11、態(tài)歷經(jīng)過程定義知各態(tài)歷經(jīng)過程一定是平穩(wěn)過程，而平穩(wěn)過程不一定是各態(tài)歷經(jīng)過程。各態(tài)歷經(jīng)過程是定義在時間平均之上，僅當(dāng)隨機(jī)過程是各態(tài)歷經(jīng)過程時，時間平均及其他基于時間的統(tǒng)計量才能描述總體的統(tǒng)計特征，這時時間平均才具有統(tǒng)計意義，因此若給定的隨機(jī)過程為平穩(wěn)過程而不是各態(tài)歷經(jīng)過程，我們只能采用總體平均去研究。當(dāng)然，無論平穩(wěn)過程還是各態(tài)歷經(jīng)過程都只能在一定近似程度下成立，也是目前研究隨機(jī)振動問題比較成熟的手段。它廣泛見于一般工程問題中，已經(jīng)得到較多的應(yīng)用。特別指出，一般工程隨機(jī)振動都可認(rèn)為是各態(tài)歷經(jīng)過程，因此以后本章所討論的情形如無特殊說明都為各態(tài)歷經(jīng)過程。45.3各態(tài)歷經(jīng)過程的時間域統(tǒng)計特征均值和方差及

12、相關(guān)函數(shù)隨機(jī)過程的重要參數(shù)，由于各態(tài)歷經(jīng)隨機(jī)過程的統(tǒng)計特征與樣本和時間無關(guān)，本節(jié)只在時間域討論它們的統(tǒng)計特征及相互關(guān)系。對于隨機(jī)過程中任意一個樣本函數(shù)均值： （(4.5.12）)均方值： （(4.5.13）)標(biāo)準(zhǔn)差： （4.5.14）自相關(guān)函數(shù)為： （4.5.15） （5.15）自相關(guān)函數(shù)具有以下性質(zhì)存在性？周期問題？：（1） 自相關(guān)函數(shù)是時差的偶函數(shù)，；（2） ，時差為零時的自相關(guān)函數(shù)就是均方值；（3） ，時差為零時隨機(jī)過程的自相關(guān)程度最大；（4） ，自相關(guān)函數(shù)為時差的衰減函數(shù)，當(dāng)時趨于均值的平方。均方值、方差、均值及自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系如圖5.3所示。圖4.5.2 均值、均方差與自相關(guān)函數(shù)

13、關(guān)系示意圖（5） 若樣本函數(shù)是周期為T的函數(shù)，則自相關(guān)函數(shù)也是周期的，周期也為T，并且在時自相關(guān)函數(shù)取極大值，所以自相關(guān)函數(shù)還能反映函數(shù)的周期性?！纠?】：設(shè)若樣本函數(shù)為，求該樣本函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)。解：解：樣本函數(shù)的周期為0.1s，如圖4.5.3(a)所示，其自相關(guān)函數(shù)如圖4.5.3(b)所示，在周期和0處取得極大值。 圖4.5.3 樣本函數(shù)與自相關(guān)函數(shù)更一般地，設(shè)有兩個平穩(wěn)過程和，它們之間相差時間的互相關(guān)函數(shù)定義為： （4.16）(5.16) （4.17）(5.17)式4.5.17中設(shè)可以得到下列式子： （4.18）(5.18)所以，一般情況下，互相關(guān)函數(shù)和并不相等，它們之間存在的關(guān)系為。4

14、5.34功率譜密度函數(shù)相關(guān)函數(shù)反應(yīng)了隨機(jī)變量在時間域內(nèi)的統(tǒng)計特性，但工程分析中我們同樣關(guān)心隨機(jī)振動在頻域內(nèi)的統(tǒng)計特性，因?yàn)樗怯绊懝こ探Y(jié)構(gòu)的直接因素。本節(jié)將主要闡釋功率譜函數(shù)以及它的物理意義?？紤]某一電路兩端的電壓為的各態(tài)歷經(jīng)過程的隨機(jī)樣本，樣本表達(dá)式為：在上述定義中，把樣本擴(kuò)展到了負(fù)半軸。若其電阻，且電路工作時間無限長，則其隨機(jī)動樣本的平均功率雖然平均功率從電學(xué)上引出，但在力學(xué)范疇，功和能一般都可以表達(dá)為與廣義力或廣義位移的平方成正比的量，所以，對于隨機(jī)振動，我們也需要用平均功率來了解其域特征。平均功率從時間域描述功和能，我們還需要從頻率域來描述功和能，了解能量與頻率的關(guān)系。為了建立時間域和

15、頻率域平均功率的關(guān)系，我們先介紹卷積定理及Parseval定理。對于卷積 （4.5.19）對做傅里葉正變換得到 （(4.5.20）)式中是傅里葉變換，是的共軛傅里葉變換和構(gòu)成了傅氏變換對，根據(jù)傅氏變換，有根據(jù)式（4.5.19）、（4.5.20）和上式有 （(4.5.21）)上式即為卷積定理，即二個二維連續(xù)函數(shù)在空間域中的卷積等于它們相應(yīng)的二個傅立葉變換乘積的反變換。反之，在頻域中的卷積可用它們在空間域中乘積的傅立葉變換而得。當(dāng)，考慮到，由式（4.5.21）可得特別地，當(dāng)時 (4.5.22)上式即為著名的Parseval定理，它表明對于某一給定的隨機(jī)過程，對其在時域上求能量和頻域上求能量是相等的

16、，是一種能量守恒的表現(xiàn)。根據(jù)Parseval定理，對于隨機(jī)過程中的樣本，其平均功率可寫為類比概率密度公式，其中、分別表示功率在時間維度和頻率維度上的分布密度。功率在頻率維度上的分布密度叫功率譜密度函數(shù)。把所有可能樣本的功率譜密度函數(shù)求總體平均，就得到隨機(jī)過程的功率譜密度函數(shù)。若為平穩(wěn)過程，只與時間差有關(guān)，從而令，則坐標(biāo)變換的雅閣比式為，坐標(biāo)變換如圖4.5.4所示。圖4.5.4 積分區(qū)域變換 （4.5.23）以上功率譜密度函數(shù)是用平穩(wěn)過程所有可能的樣本集合求出來的，適用于平穩(wěn)隨機(jī)過程。然而若隨機(jī)過程為遍歷過程則功率譜密度函數(shù)則可以由一個具有代表性的樣本求出。對于各態(tài)歷經(jīng)過程的功率譜密度函數(shù)與自相

17、關(guān)函數(shù)的傅構(gòu)成里葉變換對，表示為： （(4.5.24）) （(4.5.25）)以上兩式傅里葉變換對，稱作維納-辛欽關(guān)系式。式（4.5.24）的積分存在條件為絕對可積由于自相關(guān)函數(shù)具有衰減性，自然滿足該條件。為討論功率譜密度函數(shù)與其它統(tǒng)計量的關(guān)系，令，由式（4.5.15）和式（4.5.25）知當(dāng)時有如下關(guān)系 由以上兩式知 （(4.5.26）)式（4.5.14）中為的均方值，假定描述電壓，那么的均方值表示耗散在一歐姆電阻中的平均功率。類比數(shù)學(xué)概率密度公式，式（5.5.26）左端可以理解為：作為概率密度函數(shù)，在整個頻率范圍對積分給出的平均功率。正是因?yàn)橐陨显?，我們稱為的功率譜密度函數(shù)。由功率譜密度

18、函數(shù)物理意義可知隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)的功率譜密度為： (4.5.27)隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)過程的功率譜密度也稱速度功率譜密度；二階導(dǎo)數(shù)過程的功率譜密度也稱作加速度功率譜密度，這里不再證明。隨機(jī)振動具有不同頻率，它所對應(yīng)的功率譜密度函數(shù)表示不同的頻率在振動中所占的比例，功率譜密度函數(shù)是一個連續(xù)譜，在隨機(jī)振動中表示振動能量在各角頻率上的分布密度。為了更為直觀地討論功率譜密度函數(shù)的物理意義，下面結(jié)合例題進(jìn)行討論，?！纠?】設(shè)某各態(tài)歷經(jīng)過程的某一樣本函數(shù)為：，由于樣本函數(shù)由三個正弦函數(shù)疊加而成，其時間曲線如圖（4.5.5（a）所示。圖中）除幅值外，很難分辨頻率成分。，其但在功率譜密度函數(shù)見圖（4.5.5

19、（b），圖中清晰的顯示只有時域沒有頻率域圖，給一個樣本、均值，相關(guān)及功率的全例出現(xiàn)由樣本函數(shù)能量主要集中在80Hz、150Hz和200Hz處。圖4.5.5 樣本函數(shù)與功率譜密度函數(shù) 根據(jù)隨機(jī)過程功率譜密度函數(shù)所包含的頻率成分的分布范圍大小，可以分為寬帶過程和窄帶過程。寬帶過程包含的頻率成分多，頻率在很大一個范圍內(nèi)變化，最為理想的情況即頻率在之間平均分布，稱作理想白噪聲；窄帶過程則頻率分布非常有局限，常局限在一定的頻率范圍內(nèi)。它們的自相關(guān)函數(shù)及功率譜密度函數(shù)的圖形如圖4.5.6所示圖4.5.6 寬帶隨機(jī)過程與窄帶隨機(jī)過程在理論推導(dǎo)中圓頻率功率譜較為方便，但在實(shí)際的測量中則使用赫茲頻率功率譜更為方

20、便，記赫茲頻率功率譜密度函數(shù)為,為實(shí)數(shù)且僅為正頻率，且為偶函數(shù)，且，展開后其虛數(shù)部分為奇函數(shù)，則赫茲頻率功率譜密度函數(shù)與圓頻率功率譜密度函數(shù)有如下關(guān)系由以上兩式得：要使上式恒等于零，則必須有 （(4.5.28）)上式給出了赫茲單邊功率譜與園頻率雙邊譜的關(guān)系。相比圓頻率功率譜密度函數(shù)，赫茲頻率功率譜密度函數(shù)具有明顯的實(shí)際意義。他可以直觀地反映出系統(tǒng)激勵（或響應(yīng)）頻率，對于結(jié)構(gòu)的振動分析具有明確的指導(dǎo)意義。因此，在實(shí)際中，可以根據(jù)需要相互轉(zhuǎn)換功率譜密度函數(shù)的形式，以便于研究、分析。同理對于兩個各態(tài)歷經(jīng)過程和，它們的互相關(guān)功率譜定義為：和，且二者是相等，他們也與互相關(guān)函數(shù)構(gòu)成傅氏變換對： （(4.5

21、.29）) （(4.5.30）)45.45空間譜上面介紹的功率譜密度函數(shù)為時間譜，它以時間坐標(biāo)作為基本變量。在交通工程中，道路路面不平順和鐵路軌道不平順這個隨機(jī)過程是隨空間變化的，要用空間坐標(biāo)來描述，由此得到的功率譜叫空間譜。由公路道路路面不平順的得到的空間譜叫道路譜，由鐵路軌道不平順得到的空間譜叫軌道譜。道路譜和軌道譜分別為設(shè)計汽車和火車的重要荷載參數(shù)。下面介紹空間坐標(biāo)為基本參量的空間譜，以及它與時間譜之間的相互轉(zhuǎn)換關(guān)系。鐵路軌道是機(jī)車車輛行駛的基礎(chǔ)，兩根鋼軌引導(dǎo)車輪滾動前行。由于客觀存在的鋼軌幾何位置誤差及鋼軌工作面缺陷等軌道不平順，當(dāng)列車運(yùn)行時，這些軌道不平順作為會激勵引起車輛、軌道振動

22、，。進(jìn)行在機(jī)車車輛和軌道設(shè)計時，我們要考慮軌道不平順引起的機(jī)車車輛和軌道振動特性，這就需要了解軌道不平順。軌道不平順分為軌道方向、高低、軌距不平順，都以里程為坐標(biāo)。通過量測我們可以得到以里程為自變量的隨機(jī)過程。類比功率譜密度函數(shù)，將時間變量轉(zhuǎn)換為里程坐標(biāo)就可得到軌道譜。從而時間量周期轉(zhuǎn)換為長度量波長，時間頻率轉(zhuǎn)換為波數(shù)或空間頻率。因此，軌道譜即為不平順軌面所產(chǎn)生的隨機(jī)激勵的功率譜密度函數(shù)，它以里程坐標(biāo)（空間）作為基本變量，對于一定的軌道類型（包括設(shè)計等級、軌道現(xiàn)狀等因素），認(rèn)為其軌道譜是一定的。以上理論同樣適用于公路，相應(yīng)地公路也有道路譜，只是道路譜只有高低不平順一項(xiàng)。軌道不平順分為軌道方向、

23、高低、軌距不平順，都是都以里程的為坐標(biāo)。通過量測我們可以得到以長度里程為自變量的隨機(jī)過程。類比功率譜密度函數(shù)，將時間變量轉(zhuǎn)換為里程坐標(biāo)，就可得到軌道譜。從而時間量周期轉(zhuǎn)換為長度量波長，時間頻率轉(zhuǎn)換為波數(shù)或空間頻率。因此，軌道譜即為不平順軌面所產(chǎn)生的隨機(jī)激勵的功率譜密度函數(shù)，它以里程坐標(biāo)（空間）作為基本變量，對于一定的軌道類型（包括設(shè)計等級、軌道現(xiàn)狀等因素），認(rèn)為其軌道譜是一定的。以上理論同樣適用于公路，相應(yīng)地公路也有道路譜，只是道路譜只有高低不平順一項(xiàng)證實(shí)道路譜。假設(shè)路面沿軌道方向的鋼軌某項(xiàng)不平順或道路不平順是各態(tài)歷經(jīng)的隨機(jī)過程，。設(shè)為路程差，則路面或路面軌面不平順對應(yīng)長度的自相關(guān)函數(shù)和功率譜

24、密度函數(shù)定義為 (4.5.31)（5.32） ） （45.3332）) 前者反映了軌面或路面某項(xiàng)不平順在沿里程方向上的不平順幅值的統(tǒng)計特征，后者了不平順波長的統(tǒng)計特征，從兩個方面提示揭示了道路不平順和道路軌道不平順的統(tǒng)計特性。道路譜和軌道譜都是在公路或軌道上實(shí)測不平順測量方法, 然后按路的等級分別整理并擬合成經(jīng)驗(yàn)公式共供使用。例如我國 I級鐵路軌道高低不平順功率譜(波長范圍為1m 到100m)推薦公式為： (mm2/(周/m) （(4.5.3333）)我國道路譜的經(jīng)驗(yàn)公式為： （(4.5.3434）) 其中，則根據(jù)不同等級的路面不平度做出規(guī)定。道路譜軌道譜或軌道譜道路譜可以表征一種類型路面或路

25、面軌面的不平順度，直觀地反映出該類型路面或軌面軌面或路面不平順度在各個波長范圍內(nèi)能量的分布密度。車輛工程在設(shè)計車輛時可 以以車輛主要面向的道路譜或軌道譜軌道譜或道路譜為依據(jù)，避開路面軌面或軌面路面激勵能量較大的頻率范圍，從而解決車輛路面路面共振問題，提高舒適度和車輛壽命。此外，在鐵路方面，軌道譜也可以作為火車提速、軌道設(shè)計的參考依據(jù)。道路譜與軌道譜是以里程為基本參數(shù)，而振動分析時基本參數(shù)為時間，為了振動應(yīng)用及分析方便，常將空間譜與時間譜進(jìn)行轉(zhuǎn)換。對于以里程為參數(shù)的道路譜及軌道譜，轉(zhuǎn)換是通過路程與時間的關(guān)系。比較成熟的是假設(shè)機(jī)車、車輛以勻速行駛，則路程或里程有關(guān)系： （4.5.3535）為了不增

26、加難度，這里沒有必要不考慮行駛的初始位置不增加難度。從而里程差不平順樣本函數(shù)和時間函數(shù)的轉(zhuǎn)換為 （4.5.36） （5.37）機(jī)車、車輛的行駛通過一個波長不平順?biāo)玫臅r間就是時間周期T，顯然波長與時間周期的關(guān)系為。 （4.5.3837）同樣的，空間頻率與時間頻率關(guān)系為： （4.5.3938）)空間功率譜函數(shù)同時間功率譜函數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系如下式自相關(guān)函數(shù) （4.5.4039）路面與軌面不平順對機(jī)車、車輛激勵的統(tǒng)計特征與行駛速度有關(guān)。下表給出了時間與空間域時隨機(jī)變量對比表。表1 時域量與空域量對比 隨機(jī)變量 周期 頻率 圓頻率 45.56 單自由度系統(tǒng)隨機(jī)振動前面已經(jīng)得到了由樣本函數(shù)求其統(tǒng)計特征的方法

27、，對于線性時不變系統(tǒng)，若激勵是各態(tài)歷經(jīng)的，則響應(yīng)也是各態(tài)歷經(jīng)的；我們本可以先計算出響應(yīng)，然后計算響應(yīng)的各統(tǒng)計特征值。本節(jié)及后節(jié)我們將建立激勵的統(tǒng)計特征、系統(tǒng)動力學(xué)參數(shù)和響應(yīng)的統(tǒng)計特征之間的關(guān)系，此后，激勵的統(tǒng)計特征和系統(tǒng)的動力參數(shù)已知時，我們可以直接得出響應(yīng)的統(tǒng)計特征；有時，知道激勵的統(tǒng)計特征和響應(yīng)的統(tǒng)計特征可以求出系統(tǒng)的動力參數(shù)，這類問題稱作系統(tǒng)識別或參數(shù)識別。前面對隨機(jī)振動在時間域的統(tǒng)計特征分析方法已經(jīng)作了較多介紹，本節(jié)和下節(jié)主要從頻率域介紹動力響應(yīng)的統(tǒng)計特征與輸入的統(tǒng)計特征以及系統(tǒng)動力特性的的關(guān)系。由第二章我們知道對于單自由度系統(tǒng)其振動微分方程為： （4.5.4140）這里我們假定其激勵

28、是隨機(jī)的并且是各態(tài)歷經(jīng)過程，因此響應(yīng)xx也是隨機(jī)的。為此，我們來建立隨機(jī)振動分析方法和理論。系統(tǒng)響應(yīng)x可用第二章的知識得到。這里用杜哈梅積分表達(dá)為（見第二章）： （(4.5.4241）)由于為各態(tài)歷經(jīng)過程，則響應(yīng)也為各態(tài)歷經(jīng)過程。可以用本章前面的知識對其統(tǒng)計特性進(jìn)行計算分析。（1） 均值由均值的定義，均值可用下式中的任何一個等式求得。 （4.5.4342）由第二章式傳遞函數(shù)與單位脈沖響應(yīng)的關(guān)系。， （4.5.4643）代入（(4.5.4342）)得：若為各態(tài)歷經(jīng)過程， （4.5.4444）于是： （4.5.4745）即，響應(yīng)的均值等于激勵均值乘以一個常數(shù)。（2） 自功率譜由功率譜密度函數(shù)定義及

29、式（5.5.24）28，系統(tǒng)響應(yīng)的自功率譜為：由相關(guān)函數(shù)的定義知系統(tǒng)響應(yīng)的自相關(guān)函數(shù)為代入：從而 （(4.5.5146）)由復(fù)變函數(shù)知是復(fù)頻響應(yīng)函數(shù)的共軛。則上式也可以寫成： （(4.5.5247）)激勵自功率譜知道后，乘以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)平方便可以得到響應(yīng)自功率譜。（3） 互功率譜系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的互功率譜為 （(4.5.5348）)由相關(guān)函數(shù)的定義知系統(tǒng)激勵與響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)為 （(4.5.4949）)代入：注意到上式中第一部分積分即為激勵的自譜，可得，: （4.5450）(5.50) 激勵自譜與系統(tǒng)傳遞函數(shù)相乘便可以求出激勵與響應(yīng)的互功率譜。例一求響應(yīng)功率譜圖5.5.7所示為車輛在不平的道路

30、上行駛時振動分析簡化模型。設(shè)車輛質(zhì)量，懸掛的剛度k=350kN/m，阻尼比為0.5，車速為v=100km/h，道路譜，求系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜。 圖5.7車輛在不平順道路行駛簡化模型根據(jù)第二章例四，其它振動微分方程為：圖 5.7 根據(jù)第二章例四，其它振動微分方程為：整理得： 當(dāng)y系統(tǒng)的輸入時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：代入數(shù)據(jù)并畫出如圖4.5.8所示，圖5.5.8傳遞函數(shù)模的平方道路譜轉(zhuǎn)換為時間譜為： 將和代入公式（5.5.547）中即可求出 （5.5.561） 從公式（5.5.51）和圖5.5.8可知，響應(yīng)的功率譜為激勵功率譜與傳遞函數(shù)模的平方的乘積，由于傳遞函數(shù)模的平方局部大于1或者小于1，所以，激勵的

31、功率譜局部被放大或縮小得到響應(yīng)的功率譜。激勵的功率譜和響應(yīng)的功率譜如圖5.5.9所示。圖5.5.9輸入功率譜與輸出功率譜5.7 多自由度系統(tǒng)隨機(jī)振動多自由度系統(tǒng)對隨機(jī)激勵的響應(yīng)理論是單自由度系統(tǒng)對隨機(jī)激勵的響應(yīng)理論的推廣，從本質(zhì)上講它們是一致的。設(shè)n自由度線性系統(tǒng)受到m個各態(tài)歷經(jīng)激勵（），則系統(tǒng)的激勵與響應(yīng)之間除了具有像單自由度系統(tǒng)一一對應(yīng)的關(guān)系外，還會相互影響。在第j坐標(biāo)的激勵下引起第坐標(biāo)的響應(yīng)的脈沖響應(yīng)函數(shù)和傳遞函數(shù)分別為和。它們之間的相互關(guān)系構(gòu)成脈沖響應(yīng)矩陣和傳遞函數(shù)矩陣。類似單自由度系統(tǒng)，在矩陣表達(dá)方式下，它們有如下關(guān)系：下面即以結(jié)合實(shí)例的方式來推導(dǎo)多自由度系統(tǒng)的隨機(jī)振動。現(xiàn)考慮圖5.10所示多輸入多自由度系統(tǒng)。圖5.10