導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則ppt課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則內(nèi)容要點內(nèi)容要點一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則一、導(dǎo)數(shù)的四則運算法則二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例作為變化率的導(dǎo)數(shù)作為變化率的導(dǎo)數(shù).三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)三、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則四、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則五、初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則五、初等函數(shù)的求導(dǎo)法則：函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則2.2 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式2. 分段函數(shù)求導(dǎo)時，分

2、段函數(shù)求導(dǎo)時，分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)定義求分界點導(dǎo)數(shù)用左右導(dǎo)數(shù)定義求 .3. 初等函數(shù)的求導(dǎo)問題初等函數(shù)的求導(dǎo)問題4. 雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則定理定理 1若函數(shù)若函數(shù) 在點在點 處可導(dǎo)處可導(dǎo),x)(),(xvxu則它們則它們的和、差、積、商的和、差、積、商(分母不為零分母不為零)并且并且(1);()( )()(xvxuxvxu (2);()()()( )()(xvxuxvxuxvxu (3).0)()()()()()()()(2 xvxvxvxuxvxuxvxu證證(1)、(2)略略.x在點在點 處也可導(dǎo)處也可

3、導(dǎo),證證 (3),0)()()()( xvxvxuxf 設(shè)設(shè)hxvxuhxvhxuhxfhxfxfhh)()()()(lim)()(lim)(00 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 ,)()()()()(2xvxvxuxvxu 推論推論(1); )()(11 niiniixfxf(2);( )(xfCxCf (3) )(1xfini)()()()()()(2121xfxfxfxfxfxfnn ).()(11xfxfkininikk 注注:法則法則(1) 、(2)均可推廣到有限多

4、個函數(shù)運算均可推廣到有限多個函數(shù)運算的情形的情形.例如例如,可導(dǎo)可導(dǎo), 則有則有)(xuu 設(shè)設(shè)、)(xvv 、)(xww 均均即即wuvwvuvwuuvw )(若在法則若在法則(2)中中, 令令Cxv )(為常數(shù)為常數(shù)),C則有則有).( )(xuCxCu 若在法則若在法則(3)中中,令令Cxu )(為常數(shù)為常數(shù)),C則有則有.)()()(2xvxvCxvC 例例1 求求xxxysin223 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).解解)(sin)2()(23 xxxy.cos432xxx 例例2解解求求xxysin2 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).)sin(2)sin2( xxxxy)(sinsin)(2 xxxx xxxxcos

5、sin212.cos2sin1xxxx 例例3 求求xytan的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定理定理 2 若函數(shù)若函數(shù) 在某區(qū)間在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可內(nèi)單調(diào)、可)(yfx yI導(dǎo)導(dǎo)則它的反函數(shù)則它的反函數(shù) 在對應(yīng)在對應(yīng))(1xfy 區(qū)間區(qū)間 內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo),xI且有且有)(1 )(1yfxf 或或dydxdxdy1 即即: 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)., 0)( yf且且反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)證證任取任取,xIx 給給 以增量以增量x), 0(xIxxxx 由由 的單調(diào)性可知的單調(diào)性可知)(1xfy , 0 y于是于是,1yxxy )

6、(1xf 連續(xù)連續(xù),),0(0 xy又又, 0)( yf,)(11limlim )(001yfyxxyxfyx 證畢證畢.例例5 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).xyarcsin 解解yxsin 在在 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo), 2,2 yI且且, 0cos)(sin yy在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有)1 , 1( xIyyxcos1)(sin1)(arcsin .11sin1122xy ,11)(arccos2xx 同理可得同理可得例例6解解求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).xyalog 且且yax 在在 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo),),( yI, 0ln)( aaayy在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間 內(nèi)有內(nèi)有

7、), 0( xI.ln1ln1)(1)(logaxaaaxyya 特別地特別地.1)(lnxx 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則定理定理 3若函數(shù)若函數(shù) 在點在點 可導(dǎo)可導(dǎo),)(xgu x而而)(ufy 在點在點 可導(dǎo)可導(dǎo),)(xgu 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù) 在點在點)(xgfy 可導(dǎo)可導(dǎo),x且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為)()(xgufdxdy 或或dxdududydxdy 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t證證由由 在點在點 可導(dǎo)可導(dǎo),u)(ufy ),(lim0ufuyu 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則故故)0lim()(0 uufuy,)(uuufy xuxuufxyxx )(limlim00).

8、()(limlimlim)(000 xgufxuxuufxxx 注注:例如例如, 則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為.dxdvdxdududydxdy 復(fù)合求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形復(fù)合求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.),(),(),(xvvuufy 設(shè)設(shè)例例7求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).xysinln 解解設(shè)設(shè),lnuy .sin xu 那么那么dxdududydxdy xucos1 xxsincos .cot x 完完例例9求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).102)1( xy解解設(shè)設(shè). 1,210 xuuy那么那么xudxdududydxdy2109 .)1(202)1

9、(109292 xxxx注注: 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點又是難點復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)既是重點又是難點. 在求復(fù)合函在求復(fù)合函數(shù)數(shù))(xfy 的導(dǎo)數(shù)時的導(dǎo)數(shù)時, 要從外層要從外層, 逐層推進(jìn)逐層推進(jìn).先求先求 對大括號內(nèi)的變量對大括號內(nèi)的變量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)fu),(xu 再求再求 對中括號內(nèi)的變量對中括號內(nèi)的變量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) v),(xv 后求后求 對小括號內(nèi)的變量對小括號內(nèi)的變量 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) . x最最在這里在這里 , 首先首先要始終明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量要始終明確所求的導(dǎo)數(shù)是哪個函數(shù)對哪個變量管是自變量還是中間變量管是自變量還是中間變量)求導(dǎo)時求導(dǎo)時 ,不設(shè)中間變量的字母不設(shè)中間變量的字

10、母 , (不不的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) ; 其次其次 , 在逐層在逐層不要遺漏不要遺漏 , 也不要重復(fù)也不要重復(fù) . 熟練之后可以熟練之后可以心中記住心中記住 , 一氣呵成一氣呵成 .例例9求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).)2(21ln32 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(2131)1(112122 xxxxy)2(31211212 xxx.)2(3112 xxx完完例例10 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).32)sin(xxy 解解)sin(32 xxy)sin()sin(3222 xxxx)(sinsin21)sin(322 xxxx).2sin1()sin(322xxx 例例11求

11、函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 21, 110,2)(2xxxxxf解解 求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時, 在每一段內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可按在每一段內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可按一般求導(dǎo)法則求之一般求導(dǎo)法則求之, 但在分段點處的導(dǎo)數(shù)要用左但在分段點處的導(dǎo)數(shù)要用左右導(dǎo)數(shù)的定義求之右導(dǎo)數(shù)的定義求之.當(dāng)當(dāng) 時時,10 x, 2)2()( xxf當(dāng)當(dāng) 時時,21 x,2)1()(2xxxf 當(dāng)當(dāng) 時時,1 x2122lim1)1()(lim)1(11 xxxfxffxx例例19 求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 21, 110,2)(2xxxxxf解解當(dāng)當(dāng) 時時,10 x, 2)2()( xxf當(dāng)當(dāng) 時時,21 x,2)1()(2x

12、xxf 當(dāng)當(dāng) 時時,1 x)1( f2 例例11求函數(shù)求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). 21, 110,2)(2xxxxxf解解當(dāng)當(dāng) 時時,10 x, 2)2()( xxf當(dāng)當(dāng) 時時,21 x,2)1()(2xxxf 當(dāng)當(dāng) 時時,1 x)1( f2 121lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx2)1(lim11lim121 xxxxx由由 知知, 2)1()1( ff. 2)1( f所以所以.21,210, 2)( xxxxf完完初等函數(shù)的求導(dǎo)法則初等函數(shù)的求導(dǎo)法則1. 0)( Cxxcos)(sin xx2sec)(tan xxxtansec)(sec aaaxxln)( axxal

13、n1)(log 1)( xxxxsin)(cos xx2csc)(cot xxxcotcsc)(csc xxee )(xx1)(ln 211)(arcsinxx 211)(arccosxx 基本求導(dǎo)公式基本求導(dǎo)公式211)(arctanxx 211)cot(xxarc 2. 設(shè)設(shè) 可導(dǎo)可導(dǎo), )(),(xvvxuu uCCu )(2(C是常數(shù)是常數(shù)),)(3(vuvuuv ).0()(4(2 vvvuvuvu那么那么1(,)(vuvu 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則)(yfx 若函數(shù)若函數(shù) 在某區(qū)間在某區(qū)間 內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)內(nèi)單調(diào)

14、、可導(dǎo)yI, 0)( yf則它的反函數(shù)則它的反函數(shù) 在對應(yīng)區(qū)間在對應(yīng)區(qū)間)(1xfy xI內(nèi)也可導(dǎo)內(nèi)也可導(dǎo), )(1 )(1yfxf 或或dydxdxdy1 4. 設(shè)設(shè)),(ufy 為為dxdududydxdy 或或)()()(xgufxy 且且且且復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則),(xgu 而而)(xgfy 那么那么 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：;ln41tan2)1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(為常數(shù)，為常數(shù)，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 課堂練習(xí)課堂練習(xí)1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：;ln41tan2)

15、1(2xxxy ,.)2(bxaxbay 且且ba,(為常數(shù)，為常數(shù)，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解xxxxxxy4)1()1(tan2)1()tan2()1(2222 .4)1(tan4)1(sec22222xxxxx 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,.)2(bxaxbay 且且ba,(為常數(shù)，為常數(shù)，).0, 0 ba.11ln)3(22xxxxy 解解1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：,.)2(bxaxbay 解解 bxbxaxbaaxbay.)2(.ln.1bbxbxabxbabaaxba 且且ba,(為常數(shù)，為常數(shù)，).0, 0 ba.11l

16、n)3(22xxxxy 1.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解解.11ln)3(22xxxxy 1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.11ln)3(22xxxxy 解解(3) 先化簡，再求導(dǎo)先化簡，再求導(dǎo)xxxxy 11ln212222221)1(ln21xxxx ),1ln(2xx )1(1122 xxxxy1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.11ln)3(22xxxxy 解解(3)1(1122 xxxxy1. 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：.11ln)3(22xxxxy 解解 11221122xxxx)1(1122 xxxxy11.11222 xxxxx.112 x完完(3)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式注注: 在導(dǎo)數(shù)的四則運算法則中，要注意在導(dǎo)數(shù)的四則運算法則中，要注意:);().( )().()1(xvxux