2測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用(精)

1、School ofGeodesyandGeomatic*.WuhsnUniversity教學(xué)內(nèi)容二、測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用高程測量水平角觀測距離測量導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點School of Geodesy and Geomatic*.Wuhsn University教學(xué)基本要求了解并掌握工程測量中的測量誤差及誤 差傳播定律的基本應(yīng)用問題。重點；工程測量實際中的測量誤差與精 度評定難點：工程測量中具體實際問題的誤差 傳播定律應(yīng)用二、測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用School of Geodesy and GMfnaticB.Wuhwn University高程測量水平角觀測

2、距離測星導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點School of Geodesy and GMfnaticB.WuhAn University單一水準(zhǔn)路線如圖所示為一單一水準(zhǔn)路線，A、B為已知點.p,p, q q為需由此水準(zhǔn)路線求算高程的未知點，AprApr網(wǎng),路線的長度分別為厶.厶，厶。水準(zhǔn)路線自A測 至點，因觀測高差中存在誤差.故由測量所得的 點高程I將與點已知高程B不符而產(chǎn)生閉合差fhfh+ +h hApAp + +人叫+如一HRLI那么.在觀測高差中應(yīng)加上多大的改正數(shù)才能使f/g=0?School ofGeodesyandGeomatic*.Wuha nUfiivarsitygl/201

3、*單一水準(zhǔn)路線由于各段觀測高差的路線不一樣長，故它們 的精度是不相同的，即有不同的權(quán)。按最小 二乘法原理.各段觀測高差的改正數(shù)應(yīng)滿足 式“門紜加n的條件由微分學(xué)求極值的理論, 可以求得各段觀測高差的改正數(shù).即School of Geodesy and Geomatic*.Wuha n Ufii varsity_ iwaps_Ml：已知數(shù)據(jù)列于下表中.求備段改正數(shù)及陽高程。里一*浪谿奴的計算點名/kn觀測高差/m改正數(shù)/M改IE厲鬲至/量后鬲桂備圧z4a.613Y. 63?p2.0-3. 124q1.4+2. 982s已U33School o Geodesy and GecmaticB.WuFw

4、 n UniversityV24/2OI 6)由于g點是三條路線的交點，可以得到三個 高程，而三條路線的長度又不相等，所以求g點的高程，就是求加權(quán)平均值。即P P：H H：+p+p：H H：+p+p：H H：式中，耳,為點高程：相應(yīng)于由A,B,B,C點初步計算的彳點高程； 認(rèn)/曽幾5相應(yīng) 于Ag,HgrHgrCg路線的權(quán).其值分別為I/L.*,I I /L(jgL(jgo1個結(jié)點的水準(zhǔn)網(wǎng)I個結(jié)點的水準(zhǔn)網(wǎng)是指若干條水準(zhǔn)路線相交于i點的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu).下圖是由三條水準(zhǔn)路線構(gòu)成的 這種網(wǎng)。A.B.B.C為三個已知點，g為三條水 準(zhǔn)路線的相交點，稱為結(jié)點。這種水準(zhǔn)網(wǎng)的計 算通常是先將結(jié)點的高程求岀，然后再分

5、別求1個結(jié)點的水準(zhǔn)網(wǎng)單一水準(zhǔn)路線上的最弱點 _10School of Geodesy and GeofnaticB.Wuh n University在同一條單一水準(zhǔn)路線上，位于不同位 置的高程點，它們的精度是不相同的。 一般地說.離已知點的距離越遠(yuǎn).它的精度越低 C單一水準(zhǔn)路線的兩端均是已知點，從直 觀上來看，應(yīng)該是路線居中的高程點的 精度最低，也就是說它是最弱點。既然 是最弱點.當(dāng)然應(yīng)該是中誤差最大，即 權(quán)最小。School of Geodesy and GeofnaticB.Wuh n University如果計算水準(zhǔn)路線上任意一個點；的高程不 是采用分配閉合差的方法，而是自兩端各自 計算

6、怡勺高程，然后按加權(quán)平均計算最后高程 的方法，那么i點高程的權(quán)幾為單一水準(zhǔn)路線上的最弱點 _9-H單一水準(zhǔn)路線上的最弱點 _10School of Geodesy and GeofnaticB.Wuh n University單一水準(zhǔn)路線上的最弱點 _12School of Geodesy and Geomatic*.Wuhn University4/25*由于L” +S二L.R,在對円求最小值后，得二 5 二L/2L/2。這就從理論上證實了 單一水推路線的最弱點確實在路線的中 部（設(shè)為e點）。而它的權(quán)幾為411School o單一水準(zhǔn)路線上的最弱點_6如果欲求各未知點的中誤差.還需要計算出

7、單位權(quán)中誤差心 當(dāng)未知點有個時，必須觀 測打段路線.即必要的觀測數(shù)/應(yīng)該是小一共 有打個未知點的單一水準(zhǔn)路線總共有段水準(zhǔn)路線，也就是說多余觀測數(shù)只有（卄1）T=I個，貝U實際上這種多余觀測太少的平差計算，對最或 然值的精度提高不多。13School of Geodesy and GeonwticB.Wuhn UniversityV24Z2OI *對于如下圖所示的單一結(jié)點水準(zhǔn)網(wǎng)，它 的最弱點在哪個位置呢？School o Geodesy and Geomatic*.Wuha n UniversityW24/2OI*單一School o Geodesy and GeofvuiticB.Wuh n

8、University畑/201*權(quán)最小的位置即為最弱點.為此計算結(jié)點高程 的加權(quán)平均值,叱計號（Pg）曙瀘+P阿v v（p;5p;5）M M對于等式右端的含義可作這樣的解釋，它是由兩 條水準(zhǔn)路線連接的加權(quán)平均計算，路線的一端是C點，而另一端則是一個虛擬的點（設(shè)為 Q。由C點起計算尺點的權(quán)為而由k點起計算點的權(quán) 則為（“+代）。由C點起計算R點的路線長為L L“，而由*點起計算g點的路線長仏則為：15School of Geodesy and GeomaticB.WuFw n UniversityV24/2OI *單一結(jié)點水準(zhǔn)網(wǎng)的最弱點例2：單一結(jié)點水準(zhǔn)網(wǎng)，其已知數(shù)據(jù)和觀測值列于下表.求：1結(jié)點

9、g的高程;2最弱點的位置。靈一絡(luò)點哥理鬥計JI單一結(jié)點水準(zhǔn)網(wǎng)的最弱點School o Geodesy and GeofvuiticB.Wuh n University畑/201*加理3 點禹建 /A30.284Ax2S-4.357B25.315尢20+ 6. 6CLeRS. 22432-26.酒19School of Geodesy and GeofnaticB.Wuhn University:V24/2O1*解：首先用3個已知點A、B.B.C的高程加上各 路線的觀測高差求得結(jié)點g的3個初步計算高 程。/忙=31.927加心血嚀31.91伽H H；=趴 + 咕=31.937則結(jié)點g的高程乞為J

10、x31.92H1X31.9I64-1x 31.937H Ht t=當(dāng)-20_32-=31.925/n-+- +-25 20 32IHSchool of Geodesy and Geomatics.WuhAn UniversityW24/2OI*厶“最長，將其單獨作為1條水準(zhǔn)路線， 而麻另外2條路線合并為1條虛擬路線， 可得厶妒11.11km。取仏+仏的1/2，得C*路線上距C點約21.6km處為最弱點位 置，單一單一21School of Geodesy and GeonaticB.Wuhn University:U24/2OI*測量實踐中有時會出現(xiàn)類似下圖的情況。在一 條單一水準(zhǔn)路線中共有段

11、，而毎段在測量時 都進(jìn)行了兩次測量，即有兩個高差，一次是往 測，另一次是返測。對于往、返測的高差之差d則由下式計算di二h往汁h(huán)返iMSchool of Geodesy and GeonaticB.Wuhan UniversityV24/2OI *如果觀測值沒有誤差.d應(yīng)為零（高差之差的真值），但由于誤差的存在.山備不為零.可見娥是觀測高 差之差的真誤差.有了真誤差便可以求得中誤差。 若各段路線的長度大約相等.則可認(rèn)為是等精度觀 測.得高差之差的中誤差為h h往和呃和是同一段水準(zhǔn)路線.它們的中誤差應(yīng)該相 同.設(shè)另叫，則比=吋+吋電i 忒=2加叫 岔雙觀測值計算雙觀工d;n ni=l23Scho

12、ol o Geodesy and GecfnaticB.Wuh n University:V24/2OI*雙觀測值計算如果要計算往、返測的平均值的中誤差加均，則需 由計算平均值的公式按誤差傳播定律推算雙觀測值計算_例3：有20段長度大約相同的水準(zhǔn)路線，各段的 往、返測高差列于下表中，現(xiàn)計算每段一次觀測 高差的中誤差和往、返測平均高差的中誤差。PI號i29saM-*31.155-30.09；5赫、 SS 6Maa 8莎 31.142】 J.7H3J. cm -i .C7115訂#-46. 3X )1. H*3.52 9.03C 28. MT76.3IT7I ME-C. 6T0 2. 2?-2B.

13、 B)11?13liit任w -4X9?Q -If. 7” “ !92 FT伽-12 6?l-J.2418. 732 -49. 202-rr.759W. 519lnIB1920a”-28.1M 10. 99) 47. SX-42.27? HX1兀產(chǎn)d館十餛）誤差傳播律0School oGeodesyandGeofnaticB.Wuhn:V24/2OI*25School of Geodesy and GeotnaticB.Wuh n UniverBlty:V24/202+ 2A.U3 -o. w#47.TI0-4XM)25School of Geodesy and GeotnaticB.Wuh

14、n UniverBlty:V24/202雙觀測值計算解：由表中數(shù)據(jù)求得=2713inm.根據(jù)以上推算公式, 算得每段一次觀測高差的中誤差=8.2mni,往、返 測平均高差的中誤差m=5.8nimo如果雙觀測值各段的長度不相等，那么各段的權(quán)就不 相同.則單位權(quán)中誤差“為-式中是第假往返測之差必的權(quán)可推得化=心/225School of Geodesy and GeotnaticB.Wuh n UniverBlty:V24/20224School of Geodesy and GecmaticB.Wuhn UniversityV24/2OI *雙觀例4：有20段長度 不相同的水準(zhǔn)路 線，各段的往、

15、 返測高差及路線 長度列于下表中, 現(xiàn)計算該水準(zhǔn)路 線的單位權(quán)中誤 差和第8段往、 返測平均高差的 中誤差“1:fiMr-IS. 219KITAil.TS皈,tO/kn 一tSL 號JI*28. BM2C5WU3ie 19.373乙DSchool ofGeodesyandGeo*natic.WuhnUniversity54/201*解；取lkn】長觀測高差中誤差為單位權(quán)中誤差，則權(quán)PhPh叫且厶單位為km則,單位權(quán)中誤差“ =第&段路線觀測值的權(quán)仏為仏 W =077第8段往、返觀測平均值的權(quán)久為R=2x他=1.54因此第&段往、返觀測平均值的中誤差叫、為“3 ”小ITL= =

16、= iZAnini26School of Geodesy and GeoinaticB.WuFw n UniversityV24/2OI、說明用雙觀測值計算所得的單位權(quán)中誤差，通?？偸潜扔善渌緩角蟮玫闹荡斡^測） 的差值時，有一部分真誤差（主要是系統(tǒng)誤差）被消除了，已經(jīng)未能包含觀測值中的全部誤差。這樣便會 給人們造成所求觀測值的精度偏高的錯 覺，因此，對用雙觀測值計算所得的精 度，應(yīng)該注意到這一點。其原因是在計算往、返測（或兩雙觀工（認(rèn)InIn雙觀測值計算用路線閉合差計算單位權(quán)中誤差一對于每一條單一水準(zhǔn)路線，都有一個閉合差， 而閉合差即是真誤差。如果有N條單一水準(zhǔn) 路線，則有N個真誤差，同樣可

17、以用這N個真 誤差來求單位權(quán)中誤差。設(shè)第/條水準(zhǔn)路線的 閉合差為齊，相應(yīng)的權(quán)為門，則單位權(quán)中誤差 為_（嶄）2=1_N式中： ？由單一水準(zhǔn)路線長度的反比求得。School o Geodesy and Geofnatic*.Wuhn University三角高程測量的原理三角高程法測畢一條邊的高差公式為:/如=2八沖勺+4一耳+九其中，屁為兩差（球氣差）改正，八為儀器高 5 為 覘標(biāo)高，D朋為人、之間的平距29School of Geodesy and GeomaticB.WuhAn UniverBltyV24/2OI *三角31School o Geodesy and GeomaticB.Wu

18、Fw n University:U24/2O1*M)School oGeodesy:U24/2O1*三角如果進(jìn)行三角高程測量時采用對向觀測，既在點A觀測豎角（往測），又在點測豎角（返測），M咚的最后高程取往返觀測計算值的平均，那 么咼差仏為取微分為-(tana/D +D cos/取其微分后嘰=lanaAdDAB十幾喬石也十此-dvB十clfAB根據(jù)誤差傳播定律.轉(zhuǎn)換為中誤差為三角高程測量School of Geodesy and GeomaticB.WuFw n University:V24/2OI*注童到計算高差時，邊長為同一個呈(由A、B兩點坐 標(biāo)反算而得).即 DB=I)BA=6 二 此

19、外儀器高和目標(biāo)高的誤差可略而不計.三角School of Geodesy and GeomaticB.WuFw n University:V24/2OI*得dh村=-(Un aA一Un aH)dD* D； dai一D； daB+ W-dfgj2COJTaAcos* ab-般地，在對向觀測時.可取 5=-勺， 那么Um a、tan aZtan ar則h g = tanzr4z/D+(D；daAD=Na +J2 costCQSuaH轉(zhuǎn)換為中誤差.并取叫=叫得，.、n 1 O .12、加; sirajM,5叫+眄“)2 cosa aA A4若只顧及叫對高差中誤差的影響，由上式得.ID Dz z、叫

20、342 cosa aA A而根據(jù) 式，則為D D2 2比較二者可見對高差中誤差的影響，對向觀測為School of Geodesy and GeomaticB.WuFw n University:V24/2OI*三角高程測量School of Geodesy and GeomaticB.WuFw n University:V24/2OI*單向觀測的1/2。三角高程測量A5School o Geodesy and Geofnatics.Wuha n Ufiivarsity如果對向觀測時邊長不是由坐標(biāo)反算而是分別直 接測出.此時的DABSDBA的中誤差將是獨立的 量即心占與“肌是兩個相互獨立的觀測

21、值，二 者平均值的中誤差即為兩個單向觀測高差的算 術(shù)平均值中誤差，即式中叫的單位為弧度。也就是說對向觀測高差時， 若邊長是直接測出的.那么雙向觀測高差的中誤 差為單向觀測高差中誤差的ZMSchool o Geodesy and GecmaticB.Wuha n University二、測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用高程測量水平角觀測距離測量導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點School ofGeodesyandGeomaticB.WuFw nUniverBltygl/201*水平角觀測 _水平角觀測有兩種方法：角度觀測和方向觀測 （由2個方向之差獲得角度）。角度觀測的觀 測值是角度，方向觀測

22、的觀測值是方向。無論 是角度觀測還是方向觀測，可以是半測回（盤 左或盤右）.一測回，甚至多測回。無論是經(jīng) 緯儀還是全站儀，生產(chǎn)廠家都會對該儀器給出 一些技術(shù)指標(biāo)，其中關(guān)于水平角部分通常都是 給出一測回1個方向的標(biāo)準(zhǔn)差，一般稱之為標(biāo) 稱精度可以參考這個指標(biāo)求算所測角度的精 度。下面以DJ6經(jīng)緯儀（標(biāo)稱精度土 Q）,以 角度觀測和方向觀測兩種情況作一些簡要的討56School of Geodesy and GecmaticB.WuhA n UniversityV24/2OI 角度觀測 _一個角度由2個方向之差而得，故一個測回角度 的中誤差為“測回角度為耳難確強=叭加方商近=2 = 8.49*一測回

23、又是由2個半測回取平均而得，故1個角度半測回的中誤差川半測回角度為mTMh4KlH由于半測回觀測有幾項儀器本身的誤差不能消除, 因此，由此算出的加半測回初g可靠性不高，而只能 作為參考用。=叫加角攻= =8.498.49School of Geodesy and Geomatic*.Wuha n University:V24/2OI*方向觀測是水平角觀測的一種常用的方法。方 向觀測的觀測值雖然為方向，但最后仍然要換 算成角度才能用于計算，以一測回1個方向的 標(biāo)稱精度為基砒，對于“測回1個方向的中誤差 灼測回方向則為心涮【叫方向如果計算半測回1個方向的中誤差/半測回方向, 不顧及儀器本身誤差時有

24、二阿方向邁二&5”角度對于4測回平均值的角度.因其是由4個一測回 角度取平均而得，故它的中誤差仃測回角度為3KSchool of Geodesy and GeomaticB.Wuha n University:V24/2OI*方向= 4.2半I方向觀測41School of Geodesy and GeomaticB.Wuhan University一個測站上的方向值 換算成角度時， 不 論其角度位置， 都 只是兩個方向之差 的計算，但如果是 角度觀測則就有所 不同。雖然在角度 的數(shù)值上看井沒有 什么差別，但是其 中誤差則不一樣。40School of Geodesy andGecfn

25、aticB.Wuhan University方向觀測如果是角度觀測， 而且是觀測的Z1, Z2.Z3, Z4那么Z5, Z&的中誤差將與ZL Z2,Z3, Z4的中誤差不同。因為Z5.Z6需要由Z1,Z2,Z3, Z4計算而得，根 據(jù)誤差傳播律它們的中誤差就是Z2.Z3, Z4中誤差的函數(shù)。設(shè)其中誤差 分別為m mZj,m mz2加上3,加z4,叫5,叫6,而 且7 |=2二,n3二mJ二7。 貝U，Z5=360 -Z1-Z2-Z3-Z4應(yīng)用誤差傳播律得加Z5=2加。另外Z6-Z2 + Z3由誤差傳播律得上圖中.無論是Z2Z6,中誤差都 是方向觀測School oGeodesyandG

26、eomatic*.Wuhi nUniversity:V24/2OI*加_6 =肌邁產(chǎn)生這種情況的原因是，角度觀測的觀測量是角度， 即角度是獨立觀測量，而其它的角度又要由這些獨 立量計算才能得到，所以它們的中誤差也就不會相 同了。由此可見，為了使在一個測站上的任意1個角度的 精度相同，當(dāng)有多于2個方向時采用方向觀測是較 為合適的。42School o Geodesy and GeonwticB.Wuhin University二、測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用高程測量水平角觀測距離測量導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點45School of Geodesy and OMmatics.Wuha

27、n University用鋼尺丈量長度用鋼尺丈量長度的誤差，主要由尺子本身的長 度誤差和丈量時產(chǎn)生的誤差兩種因素構(gòu)成檢定誤差尺子本身的長度是由檢定確定的，即由檢定而求 得尺子的尺長改正數(shù)de。但是，/也是有誤 差的，A/c的精度也用它的中誤差表示，設(shè)為叫c c 在丈量一直線的長度時可能需要幾個整 尺食，每個整尺段的長度值都要在名義長度上 加一個de有“個整尺段就要加個。如果不 考慮最后的一段零尺段，那么個整尺段的總 長Q為44School of Geodesy and GeonwticB.WuhAn UniversityV24/2OI *用鋼尺丈量長度=(/+(.)+(/+%、-Y-刀個(AM

28、)式中/為名義長度.無誤差。此時只有尺長改正數(shù)的誤 差對總長丄整有影卩飢設(shè)的真誤差為貝I世的真 誤差為因為各整尺段的厶均為同一次尺子檢定而得.即真誤差 為同一個值.故At= nAa按誤差傳播定律，整尺段的總長的中誤差叫“叫47School of Geodesy and GeomaticB.Wuhan UniversityV24/2OH_用鋼尺丈量長度丈量誤差 指在丈量過程中產(chǎn)生的誤差定線誤差-氣溫測定誤差”讀數(shù)誤差”兩個尺段連接的誤差46School of Geodesy and GeomaticB.Wuhan UniversityV24/2OI _用鋼尺丈量長度 設(shè)這些誤差對每個整尺段帶來的

29、真誤差總和為 那么，若不顧及零尺段的誤差時.對直 線總長帶來的真誤差A(yù),將與厶整的真誤差相 同由于各尺段的真誤差井不相同.且是獨立產(chǎn)生 的.故按誤差傳播定律得上述兩種誤差來源都與尺段數(shù)有關(guān)，也就是與 直線的長度有關(guān)，因此在對觀測值定權(quán)時總是 以直線長度的反比值為權(quán)的值。a_用測距儀測量長度 _測距儀僅需一次即可測岀直線的長度 通常使用測距儀測量長度時，對誤差的考 慮多以儀器廠家給岀的標(biāo)稱精度為準(zhǔn)。例如某測距儀的測距精度為(3mm+2X 1()七),它表明用該儀器測距 時有3mm與所測直線的長度無關(guān)，另有2X10#D則與長度D有關(guān),D的單位為mm,實際上2 X KN/)的含意是1 km有2mm的

30、i吳 差。School oA?BtE,F為已知點廠9個觀測值（4個導(dǎo)線邊，5個轉(zhuǎn)折角未知點為|屮203的坐標(biāo)（6個未知數(shù)據(jù)）多余觀測數(shù)為，1個坐標(biāo)方位角閉合差、1:V24/2OI*School of Geodesy and Geomatics.Wuh n Utiiverslty個x坐標(biāo)閉合差和1個y坐標(biāo)閉合差單一附合導(dǎo)線的計算計算步驟如下：1由EA坐標(biāo)方位角Na起推算各導(dǎo)線邊的坐標(biāo) 方位角，直到“尸邊的坐標(biāo)方位角卄2計算坐標(biāo)方位角閉合差乙Jp anr 02)113計算各轉(zhuǎn)折角改正數(shù)H4計算各邊的坐標(biāo)增量計算中用到的坐標(biāo)方 位角為經(jīng)過改正后的轉(zhuǎn)折角重新推算的值。52School o1 Geode

31、sy and Geomatic*.Wuhn UniverBltyV24/2O1 *G單一附合導(dǎo)線的計算_5計算坐標(biāo)增量因合差人和/；f fx x= =AX.-(XAX.-(X -X-XA A “】A=E-(-y36計算坐標(biāo)增量衣正數(shù)怙和仏School of Geodesy and Geomatics.Wuh n Utiiverslty、一4DVg=-4oVg=-4oSchool of Geodesy and GeoffnaticB.Wuh n UniverBlty單一附合導(dǎo)線的計算7計算各導(dǎo)線點的坐標(biāo)。自A點起依次加上已經(jīng) 改正了的坐標(biāo)増量即得各導(dǎo)線點的坐標(biāo)值， 需注意的是一定要算至已知點并與

32、原有的 坐標(biāo)值比較，二者必須相等。下表為一實例車一沖 m 號塊的血似誼s.c 名土繹方位l 1，4M/X /IAIM n 52L6b 2b 3529441.9214?7S&3.WCPiP?Pa3F209：3 423 86.79L90 M：74遲26122 41 OS5 54.35U8 06 4828961. 5417T C9 3354School of Geodesy and GonuiticB.Wuh n University等邊直伸導(dǎo)線的最弱點對于導(dǎo)線點位置的精度問題，通常都是將 位置移動的誤差分解成兩個相互垂直的 方向的誤差，例如x和y坐標(biāo)。因為由觀 測值（轉(zhuǎn)折角和邊長）計算導(dǎo)線

33、點x、y y坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系比較復(fù)雜，要用誤差傳 播定律直接討論，相對地說較為困難。 如果選擇一種形狀很特殊的導(dǎo)線加以研 究，再將硏究結(jié)果用于一般導(dǎo)線的參考 也是一種討論問題的方式。這種特殊形 狀的導(dǎo)線就是等邊直伸導(dǎo)線。:V24/2OI*等邊直伸導(dǎo)線的最弱點SRSchool of Geodesy and GecmaticB.Wuhn UniversityV24/2OI *所謂等邊是指導(dǎo)線的各條邊長相等,所謂直伸是指除兩端已知點上的兩個角度之外，其它各轉(zhuǎn)折角均為180o對于這種導(dǎo)線的點位誤差,可以分解為沿導(dǎo)線方向（稱為縱向） 和垂直于導(dǎo)線方向的方向（稱為橫 向）。力School o若是真誤差，則t

34、 t = = M M）. .+ /入十十/入IL1式中的 g 是每條邊的真誤差，雖然邊長相等，但其真誤差并不一定相等。由于每條邊的真誤差互為獨立，且每條邊的中誤差相等，由i吳差傳播定律可得29叫=忙叫）（I）等邊直伸導(dǎo)線的最弱點6oSchool o n UfiiversltyV24/2OI *等邊直伸導(dǎo)線的最弱點俗為了了解符合導(dǎo)線最弱點的誤差，可由下 圖進(jìn)行分析。符合導(dǎo)線的兩端均為已知 點，與水準(zhǔn)測量的情況相同，最弱點應(yīng) 是導(dǎo)線的中間點，即圖中點。R點的坐 標(biāo)可由兩端的已知點分別計算，然后再 取二者的算術(shù)平均。等邊直伸導(dǎo)線的最弱點_School ofGeodesyandGeofrwtic.Wu

35、h nUniverolty54/202類似前述支導(dǎo)線情況的（1）式，由兩端計算k點縱 向位移中誤差為取算術(shù)平均后，人點的縱向位移中誤差63School of Geodesy and GecffrwticB.Wuh*n UniversityV24/2OI *等邊直伸導(dǎo)線的最弱點_人點的橫向位移中誤差則與支導(dǎo)線有較大的不同雖然A點橫向位移的真誤差仍與支導(dǎo)線相同，例如由A點計 算的人點的橫向位移真誤差為If1叫=（140,叭DM；1但是各個角度的真誤差已經(jīng)不是觀測值的真誤差, 而是經(jīng)過坐標(biāo)方位角閉合差改正后的箱度的真誤差。 改正角度的改正數(shù)是由坐標(biāo)方(6)等邊直伸導(dǎo)線的最弱點_School ofGe

36、odesyandGeofrwtic.Wuh nUniverolty54/202位角閉合差計算而得. 而坐標(biāo)方位角閉合差又是觀測角度的函數(shù)等邊直伸導(dǎo)線的最弱點66School of Geodesy and GeovnaticB.Wuha n University:V24/2OI*因此，為了得到用觀測角度的真誤差為參數(shù)的橫 向位移值.就必須將各關(guān)系依次代入，歸納整理。 最后再按誤差傳播定律轉(zhuǎn)換為橫向位移的中誤差。 其結(jié)果如下 % 2nDnD(刃4 2)( +4)叫(7)24”取井在較大時24由兩端的計算值取算術(shù)平均后”點的橫向位移中誤差65School of Geodesy and Geomati

37、c*.Wuhan UniversityV24/2OI *等邊直伸導(dǎo)線的最弱點比較（4）和（9）式，可近似得到r. 8 比較D和（6）式，可得(10)CD如果設(shè)縱向位移、橫向位移中誤差的比值為0，即等邊直伸導(dǎo)線的最弱點66School of Geodesy and GeovnaticB.Wuha n University:V24/2OI*等邊直伸導(dǎo)線的最弱點MSchool o Geodesy and Gectnatic*.Wuhan University例7：有一近似于直伸的單一導(dǎo)線，共11個導(dǎo)線 點（即13個轉(zhuǎn)折角，12條導(dǎo)線邊），平 均邊長為300mo現(xiàn)用測角標(biāo)稱精度為2,測距標(biāo)稱精度為土（

38、2mm+2X10-6D）的全站儀觀測。估計它的最弱點（導(dǎo)線 的中間點）位置的中誤差約為多少毫米School o Geodesy and Geomatic*.Wuhan University等邊直伸導(dǎo)線的最弱點解：本例的 =2,mo=(2+2X 10-6X300000)=2.6mtno由式(1)和式(4)可得(計算時應(yīng)注意式(4)中的 單位是弧度)叫=V12 x2.6=9.0/HW2 |p + l 5fpifpi= 360() x 1 OOOx J= 74.0/HW”PV 3叫=/9:-i-742= 74.5WWM艮卩Q二叫,/斗=8.2222代入（12）式得叫=1（）3州72School o

39、Geodesy and Geomatice.WuhAn University104/201*適用條件在觀測角度是同精度，-導(dǎo)線條數(shù)較多的情況下每條導(dǎo)線的坐標(biāo)方位角閉合差A(yù)是該條導(dǎo)線的轉(zhuǎn)折角 的真誤羞之和.角度個數(shù)愈多，它的誤羞愈大。如 果取一個角度的中誤差為單位權(quán)中誤差.則每條導(dǎo) 線的轉(zhuǎn)折角個數(shù)的倒數(shù)就是的權(quán)。若有N條導(dǎo)線. 則由計算單位權(quán)中誤差公式得71School o Geodesy and GeomaticB.Wuh n UniversityS4/2OI:測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用74School of Geodesy and Geofnatics.Wuha n University

40、高程測量水平角觀測距離測量導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點角度交會角度交會通常是指前方交會、側(cè)方交會和 后方交會，如下圖所示。用這些方法求 得的未知點稱為前方交會點、側(cè)方交會 點和后方交會點。圖(a), (b)中的y角，通 常稱為交會角。School o Geodesy and GMnaticB.Wuh n University角度交會實際上，對于前方交會和側(cè)方交會，可以將計算這些交會點坐標(biāo)的計算式寫成一般的形式：P,P,(13)74School of Geodesy and Geofnatics.Wuha n University對于后方交會，則為化代=WM)j(14)76School

41、o前方交會點p的點位中誤差，為或按正弦定理變換后為Jc r-$in(a+0)以上兩式的單位為弧度，為已知點幾的 對邊。Jsina+sin0 0sind40)(18)(19)7School of Geodesy and Geofnatics. Wuh n Uni varsity:V24/2OI*在測角中誤差仙不變的情況下，由人、B兩點所作 的不同位畫的交會點精度將只與兩個角度有關(guān)，即與/?有關(guān).sin2(a + /y)因為尺的大小由已知點和交會點構(gòu)成的圖形形狀確 定，故一般也稱R為圖形強度。即代的值越大，交 會點的中誤差越大（精度越低）反之，代的值越 小，交會點的中誤差越?。ň仍礁撸?。前方Js

42、ina+sin:(20)77School ofGeodesy:V24/2OI*前方養(yǎng)精度的羅離過兩個已知點當(dāng)交會點在過兩個已知點的圜周上時.可能會位于以兩己知點為弦的兩側(cè)c由幾何學(xué)知.圭圖中的厶、P P 冬的變會角是誚等的.M樣.a a. .幺、Q的交會角也是衲酸的。這就是說式（20）的分母不變，所以尺的大小便全由分子來決定Z3Z麗方交會Q 旳邊養(yǎng)HOSchool o Geodesy and GeonwticB.Wuh* n Ufiiverslty:V24/2O八前方交會巴、Q位于AB連線的中垂線上，無論是戸還 是Q，均有壓且點，點0上ZfK90ZfK90。代入式(20)分析后有如下 結(jié)論：叫

43、 5即點匕的精度高于點0的精度。T9School o Geodesy and GecfrwticB.Wuh*n UniverBltyI前方交會對于在以兩已知點為弦的同一側(cè)的PP P、巴點的點位中誤差.則是離P越遠(yuǎn)，誤羞越 夭，圖中是巴的中誤差大于匕的中誤差。對于在以兩已知點為弦的同一側(cè)的0、Q” 03點的點位中誤差，則是離0越近.誤羞越 大，在圖中則是的中誤差大于的中誤差。歸納之，中誤差最小的位置為依圖中的箭 頭方向逐漸增大，直到0。其間經(jīng)過人、點 時有一間斷。在A、點附近的尺約為Isin(a + 5):V24/2O八K2School of Geodesy and GeomaticB.Wuha

44、 n University54/201*前方交會交會點在過兩個|_1知點連 線的中垂線上sin (2)求斥的極小值，可得a二二3515匕2即交會箱為7 = 109 18,16u8-10兩方交會點的量佟位置KISchool of Geodesy and GeomaticB.Wuhn University前方交會由此可見，無論交會點在人E線的哪一方, 只要交會角為109 1&16S它的位置中 誤差將是最小的(精度最高)，如圖中 的匕和0。也就是說這個位潼是前方交 會點的最佳位置。其它的位置，如 f、 匕和。2、03的中誤差均大于P|和0。54/201*ISchool on Universi

45、tyV24/2OI *后方交會因為后方交會的角度觀測需用方向觀測，故式中的角度中誤差叫為竹=E 72當(dāng)4- = lX()時，計算S 公式的分母sin(y+)二0,，知無解.也就是說P點在這樣的位置無法求得 它的坐標(biāo)值 從幾何圖形上看，P點的位畫是在以三個已知點為圓的圓周上，通常稱這個圓為危(21)B后方交會(22)School of Geodesy and GeofnaticB.Wuha n UniverBlty54/201*一般地說，后方交會點位于3個已知點構(gòu)成的三角形內(nèi)時它的精度比較高，而為通常所采用的位置。后方交會(22)School of Geodesy and GeofnaticB.

46、Wuha n UniverBlty54/201*如果作后方交會時不是采用方向觀測，而是采用角度觀測，如獨立地觀測了縱和，那么計算交 會點P的中誤差前公式為叫二使用式(21)和(22)的差別在于.P點周圍3個角的任意兩個角 都可以作為a a和心只要其它的角度和三個己知點的標(biāo)記也隨之而作相應(yīng)的改變.用式(21)所得的計算結(jié)果都一樣。 但是改換了a和的位萱后.用式(22)所算得的竹的值即會 不同。 因此使用式(22)時，其和必須是所觀測的那兩個 角.決不能任意調(diào)換.否則將不能反映觀測誤差的實際影S5School of Geodesy and GecfnaticB.Wuhan University二、

47、測量誤差理論在工程測量中的應(yīng)用加1Isin2 sin2csin(#+?)54/201*后方交會(22)School of Geodesy and GeofnaticB.Wuha n UniverBlty54/201*高程測量水平角觀測距離測量導(dǎo)線測量角度交會測邊交會和自由設(shè)站點School ofGeodesyandGMnwticB.WuhnUfiiverslty:V24/202隨著測距儀和全站儀的廣泛使用，單純 用測角交會定點的作法已經(jīng)減少，或測 出幾條邊的邊長來計算交會點的坐標(biāo)，或在測角的基礎(chǔ)上在加測一些邊長，或 在測邊交會的基礎(chǔ)上加測角度， 目的是 檢測錯誤、提高精度。處理有多余觀測 數(shù)據(jù)的方法需用到測量平差的專門知識, 下面僅對無多余觀測的兩邊測邊交會和 邊一角自由設(shè)站點的精度進(jìn)行簡要討 論，另外也對兩邊夾一角的自由設(shè)站點 的近似處理方法予以介紹。School of Geodesy and GeomiticB.Wuhn University測邊交會如右圖，已知點為4、R R、交會點為P。實際操 作時有兩種作法，一是只 觀測邊長一是除2條 邊之外還觀測交會點上的角度前者沒有多余觀測, 稱為兩邊交會，后者可稱