第五節(jié)：空間曲線及其方程ppt課件

1、第五節(jié)第五節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 一、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程 二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程 三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影 四、小結四、小結 練習題練習題 0),(0),(zyxGzyxF稱為空間曲線的一般方程稱為空間曲線的一般方程 曲線上的點都同時曲線上的點都同時滿足兩個方程，同時滿足滿足兩個方程，同時滿足兩個方程的點都在曲線上，兩個方程的點都在曲線上，不在曲線上的點不能同時不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程滿足兩個方程.xozy1S2SC空間曲線空間曲線C可看作空間兩曲面的交線可看作空間兩曲面的交線.特點：特點：一、

2、空間曲線的一般方程一、空間曲線的一般方程例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 6332122zyxyx解解122 yx表示圓柱面，表示圓柱面，6332 zyx表示平面，表示平面， 6332122zyxyx交線為橢圓交線為橢圓.例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線？表示怎樣的曲線？ 4)2(222222ayaxyxaz解解222yxaz 上半球面上半球面,4)2(222ayax 圓柱面圓柱面,交線如圖交線如圖. )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程二、空間曲線的參數(shù)方程xyzoL),(zyxM 若動點若動點 M 的坐標

3、的坐標 x , y , z 均可均可表示為參數(shù)表示為參數(shù) t 的函數(shù)的函數(shù)動點從動點從A點出發(fā)，經(jīng)過點出發(fā)，經(jīng)過 t 時間，時間，運動到運動到M點，設點，設 M ( x , y , z ) MM M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yxM tax cos tay sin vtz t 螺旋線的參數(shù)方程螺旋線的參數(shù)方程取時間取時間t為參數(shù)，為參數(shù)，解解xyzoA螺旋線的參數(shù)方程變?yōu)槁菪€的參數(shù)方程變?yōu)?bzayaxsincos vbt ,令令重要性質：重要性質：,:00 ,:00 bbbz 上升的高度與轉過的角度成正比即上升的高度與轉過的角度成正比即上升的高度上升的高度 bh2螺距螺距,2 時時

4、當當 ,costax ,sintay vtz 上升高度為上升高度為 ： b解：解：,cos x)26(31yxz 例例2：將曲線：將曲線 6321:22yzxyxL表示為參數(shù)方程形式表示為參數(shù)方程形式xyzo 如圖，曲線為一圓柱面如圖，曲線為一圓柱面與一平面的交線。與一平面的交線。 M),(zyx M )0 ,(yx,sin y)sincos26(31 sin31cos322sincos:zyxL 20 0),(0),(zyxGzyxFL消去變量消去變量z后得：后得：）（10),( yxH曲線關于曲線關于 的投影柱面的投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：以此空間曲線以此空

5、間曲線 L 為準線，母線垂直于所投影的坐標面為準線，母線垂直于所投影的坐標面.投影柱面的特征：投影柱面的特征：三、空間曲線在坐標面上的投影三、空間曲線在坐標面上的投影方程方程1表示一個母線平行于表示一個母線平行于 z 軸的柱面。軸的柱面。且曲線且曲線 L 上的所有點都在該柱面上。上的所有點都在該柱面上。投影柱面與投影柱面與 xoy 面的交線稱為曲線面的交線稱為曲線 L 在在 xoy 面上的面上的投影曲線，簡稱投影。投影曲線，簡稱投影。類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影類似地：可定義空間曲線在其他坐標面上的投影 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線,yoz面

6、上的投影曲線面上的投影曲線,xoz 00),(zyxH所以空間曲線所以空間曲線 L 在在 xoy 面上的投影曲線方程為面上的投影曲線方程為 0),(0),(zyxGzyxFL消去變量消去變量z后得：后得：）（10),( yxH曲線關于曲線關于 的投影柱面的投影柱面xoy設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程：如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面（2確定投影柱面與確定投影柱面與 xoy 面的交線面的交線 00),(zyxH在在 xoy 面上的投影曲線方程的一般步驟面上的投影曲線方程的一般步驟 0),(0),(zyxGzyxFL（1消

7、去變量消去變量z后得后得 xoy 面上的投影柱面：面上的投影柱面：）（10),( yxH求空間曲線：求空間曲線：即為所求投影曲線的方程即為所求投影曲線的方程例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 211222zzyx例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 211222zzyx解解（1消去變量消去變量z后得后得,4322 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy,04322 zyxxyzo例例4 4 求曲線求曲線 在坐標面上的投影在坐標面上的投影. . 211222zzyx解解xyzo（2因為曲線在平面因為曲線在平面 上，上，21 z所以在所以

8、在 yoz 面上的投影為線段面上的投影為線段.,021 xz23| y（3同理在同理在 xoz 面上的投面上的投 影也為線段影也為線段.23|,021 xyz截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解（1）消去）消去z得得 xoy 面面上上的的投影投影 ,004522 zxxyyx,0042522 yxxzzx（2）消去）消去 y 得得 xoz 面上的投影面上的投影 例例5 5 求求拋拋物物面面xzy 22與與平平面面 02 zyx 的的截截線線在在三三個個坐坐標標面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.截線方程為截線方程為 0222zyxxzy解解（3）消消去去x得得 yoz 面面上上的的

9、投投影影 .00222 xzyzy四、空間曲面或立體在坐標面上的投影四、空間曲面或立體在坐標面上的投影. . M),(zyx M )0 ,(yxSDxyzo稱區(qū)域稱區(qū)域 D 為為空間曲面空間曲面 S在在 xoy 面上面上的投影。的投影。上述概念可推廣到空間立體在坐標面上投影的情形上述概念可推廣到空間立體在坐標面上投影的情形. .空間立體空間立體曲面曲面四、空間曲面或立體在坐標面上的投影四、空間曲面或立體在坐標面上的投影. .例例6解解半球面和錐面的交線為半球面和錐面的交線為 , )(3,4:2222yxzyxzCxyzo面面上上的的投投影影為為在在則則交交線線xoyC . 0, 122zyx面

10、上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy. 122 yx.,)(322面上的投影面上的投影求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成xoyyxz 和和由由上上半半球球面面設設一一個個立立體體224,yxz 空間曲線的一般方程、參數(shù)方程空間曲線的一般方程、參數(shù)方程四、小結四、小結空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF )()()(tzztyytxx 00),(zyxH 00),(xzyR 00),(yzxT習題75: 5, 7, 8 第七章作業(yè)第七章作業(yè)第五節(jié)：空間曲線及其方程第五節(jié)：空間曲線及其方程思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 222

11、與與拋拋物物柱柱面面zx 22的的交交線線關關于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和和在在xoy面面上上的的投投影影曲曲線線方方程程.思考題解答思考題解答,22222 zxzxy交線方程為交線方程為消消去去z得得投投影影柱柱面面 , 122 yx在在 面上的投影為面上的投影為xoy.0122 zyx一、一、 填空題：填空題：1 1、 曲面曲面zyx10922 與與yoz平面的交線是平面的交線是_；2 2、 通過曲線通過曲線162222 zyx, ,0222 yzx，且，且 母線平行于母線平行于y軸的柱面方程是軸的柱面方程是_；3 3、 曲線曲線01, 0332322 zyzxyzzx在在 xoz

12、平面上的投影方程是平面上的投影方程是_；4 4、 方程組方程組 3215xyxy在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_；5 5、 方程組方程組 319422yyx在平面解析幾何中表示在平面解析幾何中表示_ _ _，在空間解析幾何中表示，在空間解析幾何中表示_；練練 習習 題題6 6 、旋轉拋物面、旋轉拋物面22yxz ( (40 z) ) 在在xoy面的投影為面的投影為_， 在在yoz面的投影為面的投影為_， 在在zox面上的投影為面上的投影為_._. 二二、 畫畫出出下下列列曲曲線線在在第第一一卦卦限限的的圖圖形形： 1 1、 0422yxyxz 2 2、 222222azxayx 三三

13、、 將將曲曲線線 xyzyx9222化化為為參參數(shù)數(shù)方方程程 四、四、 求螺旋線求螺旋線 bzayaxsincos在三個坐標面上的投影曲線在三個坐標面上的投影曲線的直角坐標方程的直角坐標方程 . .五、五、 求 由 上 半 球 面求 由 上 半 球 面222yxaz , , 柱 面柱 面022 axyx及平面及平面0 z所圍成的立體，在所圍成的立體，在xoy面和面和xoz面上的投影面上的投影 . .一、一、1 1、 09102xzy； 2 2、1623 ,1632222 zxzy；3 3、 0032422yxzx；4 4、兩直線的交點、兩直線的交點, ,兩平面的交線；兩平面的交線；5 5、橢圓與其