初中數(shù)學優(yōu)秀試題研究論文

1、初中數(shù)學優(yōu)秀試題研究論文試題提供者：李林華（廣州市越秀區(qū)廣州市鐵二中學）1.解題的主要策略和方法：試題是一道幾何與函數(shù)的綜合題，突出對數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想的應用和考查。試題讓學生在運動中探究問題的本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)變量之間互相依存的函數(shù)關(guān)系，改變了中學數(shù)學原來的“靜止”狀態(tài)，把“運動”的觀點與思想滲透到傳統(tǒng)的數(shù)學知識內(nèi)容之中，培養(yǎng)學生的數(shù)學能力。試題第（1）問運用三角形全等的判定與性質(zhì)、直角三角形兩銳角互余等幾何知識給予解答；第（2）問根據(jù)圖形的面積關(guān)系，運用勾股定理列出函數(shù)關(guān)系式，然后用配方法求最值；第（3）問已知函數(shù)值S，求對應的自變量t的值。2.試題的知識載體：試題主要考查了正方形、全等三角形、二

2、次函數(shù)及一元二次方程等基礎知識，考查演繹推理能力和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想。3.試題的原型：（2006年佛山市課改實驗區(qū)中考試題）已知：在四邊形ABCD中，AB=1，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA上的點，且AE=BF=CG=DH. 設四邊形EFGH的面積為S，AE=x(0x1).(1) 如圖1，當四邊形ABCD為正方形時， 求S關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求S的最小值S 0； 在圖2中畫出中函數(shù)的草圖，并估計S=0.6時x的近似值(精確到0.01)；(2) 如圖3，當四邊形ABCD為菱形，且A=時，四邊形EFGH的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.圖1ABCDEFG

3、HSOx方格邊長0.1圖2圖3ABCDEFGH4.編制的試題：如圖，在邊長為4cm的正方形中，點分別按的方向同時出發(fā)，以1cm/s的速度勻速運動在運動過程中，設四邊形的面積為，運動時間為（1）試證明四邊形是正方形；（2）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求運動幾秒鐘時，面積最??？最小值是多少？（3）是否存在某一時刻t，使四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。5.試題的詳細解答：（1） 點在四條邊上的運動速度相同 AEBFCGDH在正方形ABCD中，ABCD90°， 且ABBCCDDAEBFCGDHAAEHBFECGFDHG （S.A.S

4、）EHFEGFHG (全等三角形的對應邊相等)AEHBFE （全等三角形的對應角相等）四邊形EFGH是菱形。 （四條邊相等的四邊形是菱形）又 BEF BFE90°BEFAEH90°FEH180°（BEFAEH）90°四邊形EFGH為正方形。（有一個角是直角的菱形是正方形） （2） 運動時間為t（s），運動速度為1cm/s AEtcm，AH(4t)cm， 方法1： 由（1）知 四邊形EFGH為正方形， 即 當方法2：由（1）知，AEHBFECGFDHG 即 當（3）存在某一時刻t，使四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積比是5：8. 當或3時，四邊形E

5、FGH的面積與正方形ABCD的面積的比是5：8。6.試題編制的過程分析：（第一稿）：在邊長為1cm的正方形中，點分別按的方向同時出發(fā)，以1cm/s的速度勻速運動（1）在運動中，點所形成的四邊形為（*）平行四邊形 矩形 菱形 正方形（2）當點運動到何處時，四邊形EFGH的面積最小？并說明理由。 （3）當運動時間等于多少秒時，四邊形的面積是正方形ABCD面積的？說明： 把原題改編成圖形運動類試題，使得試題比較靈活，展現(xiàn)形式活潑、新穎； 增加第一問，并以選擇題的形式出現(xiàn)，這樣有利于引起學生的興趣，使試題的門檻降低了； 刪除原題的第二問，另外設置一個與前二問有關(guān)聯(lián)的問題，以形成遞進關(guān)系。另外，這一問也

6、可考查學生對一元二次方程的掌握情況。（第二稿）：在邊長為4cm的正方形中，點分別按的方向同時出發(fā)，以1cm/s的速度勻速運動在運動過程中，設四邊形的面積為，運動時間為（1）試證明四邊形是正方形；（2）寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求運動幾秒鐘時，面積最??？最小值是多少？（3）是否存在某一時刻t，使四邊形EFGH的面積與正方形ABCD的面積比是5：8？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由。說明： 把“邊長為1cm”改成“邊長為4cm”，這樣便于學生計算，在配方時盡可能地不出現(xiàn)分數(shù)； 把原來的選擇題設計成一道幾何證明題，這取材于義務教育課程標準實驗教材書（華師大版）初中三年級（九年級）（下）第27章證

7、明例2，目的在于引導教師在教學過程中要重視教材，注意課本的典型例題及其解法。這不但可以考查幾何演繹推理能力，而且為第二問的解答作鋪墊； 第二問改編后，使得問題更加簡明，目的性更強，便于學生理解和解答； 將第三問改編成存在型問題，同樣使試題形式活潑、新穎，同時還能更好地考查學生的思維能力與探索創(chuàng)新能力。7.學生的答題情況分析：選擇初三（7）、（8）兩個班90名學生進行試題檢測，檢測結(jié)果如下表：0分1-4分5-8分9-13分14分人數(shù)925152912百分比10%278%167%322%133%繪制成統(tǒng)計圖如下：（注：本試題滿分為14分）從統(tǒng)計圖表來看，本試題具有較好的區(qū)分度，不同程度的學生都有不

8、同的收獲，其中優(yōu)等生表出較強的思維能力、分析問題解決問題能力以及良好的思維與書寫習慣?，F(xiàn)將學生在解題過程中存在的主要問題列舉如下：（1）在求證第一問時，有些學生只證明了四邊相等，沒有證明一個角等于90°；也有些學生只證明一組邊對應相等，而沒有證明四條邊都相等。（2）也有極少數(shù)學生用A.A.A來判定兩個三角形全等；（3）列出函數(shù)關(guān)系式后，配方時出錯，常見的錯誤有： （4）在求最值時，不會用配方法，而是直接令t=0，求S的值；（5）書寫不規(guī)范，比如：AEHBFECGFDHG，（將“”寫成“”） （將字母寫錯）（6）在求函數(shù)關(guān)系式時，有些學生把它設成，然后再用待定系數(shù)法求解，也有少部分同學

9、寫成；8.試題的拓展與變式：變式1：在試題的基礎上還可以追加一問：（4）若將條件“以1cm/s的速度勻速運動”改為“點E、G以1cm/s的速度勻速運動，點F、H以2cm/s的速度勻速運動?！蹦敲此倪呅蜤FGH的面積有最大值或最小值嗎？若有，請求出這個值，若沒有，請說明理由。參考答案：四邊形EFGH的面積有最小值，最小值為7，此時。變式2：還提出下面一個問題：（5）在運動過程中，連結(jié)EG，試猜想線段EG一定會經(jīng)過哪一點，并說明理由。參考答案：易證四邊形AECG是平行四邊形，AC、EG是對角線，所以EG一定經(jīng)過AC的中點。 變式3：已知，如圖，E、F、G、H按照AECG，BFDH，BFnAE（n是

10、正整數(shù)）的關(guān)系，分別在兩鄰邊長為a，na的矩形ABCD各邊上運動，設AEx，四邊形EFGH的面積為S。 （1）當n1，2時，如圖，如圖，觀察運動情況，寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置，使 （2）當n3時，如圖，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式（寫出自變量x的取值范圍）探索S隨x增大而變化的規(guī)律，猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置使 （3）當nk（k1）時，你所得到的規(guī)律和猜想是否成立？為什么？ 參考答案：（1）當n1時，如圖，要使 則E、F、G、H四點應恰好為各對應邊的中點； 當n2時，如圖，要使 仍必須有E、F、G、H為矩形ABCD各邊中點。（2）當n3時，如圖，由題意可得，要使， 即點E為AB中點， 同理，點F、G、H也應分別是BC、CD、DA的中點 即 當E、F、G、H運動至矩形ABCD各邊中點，有 （3）當nk（k1）時，上述規(guī)律和猜想是成立的。 理由： 9.試題對教學的指導意義：在命制試題的過程中，我感覺到在初三復習備考中，首先要把七至九年級的數(shù)學教材系統(tǒng)梳理幾遍，根據(jù)各自的習慣，構(gòu)建有自己特色的知識網(wǎng)絡體系，做到隨時可以清楚的回憶相應的知識板塊與相應的解題策略；重視各重點知識塊的連結(jié)點與交匯點，這通常是命制綜合題，考查數(shù)學能力目標之所在。 其次，熟練掌握課本中的典型例題和習題，仔細分析解題思路