初中數(shù)學(xué)九大幾何模型

1、精品初中數(shù)學(xué)九大幾何模型【條件】：4AB和4OCD均為等邊三角形;【結(jié)論】：OACQBD;/AEB=60(3OE 平分/AEDO(2)等腰直角三角形【條件】：4AB和4OCD均為等腰直角三角形;【結(jié)論】：OACQBD ;/(3 )頂角相等的兩任意等腰三角形AB精品【條件】：4AB和4OCD均為等腰三角形;且/COD= ZAOB【結(jié)論】：CDAOAC 0QBD ;/AEB= ZAOB ;OE平分/AED二、模型二：手拉手模型 -(1 ) 一般情況【條件】：CD /AB ,將AOCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置旋轉(zhuǎn)型相似【結(jié)論】：右圖中4 OCDO延長 AC交BD于點(diǎn)E,必有/ BEC= /BOA八(2)特殊

2、情況【條件】：CD /AB , ZAOB=90CC°sgAB 一一一AOAC s/Obd ；將AOCD旋轉(zhuǎn)至右圖的位置【結(jié)論】：右圖中 OCDsab 一一一oacsJObd ；延長AC交BD于點(diǎn)E,必有/ BEC= /BOA ;八 BD OD OBAC OC OAtan /OCD ; BDAC;連接AD、BC,必有_ 2 2_ 22AD2 BC2 ABCD2; Sbcd；ACBDD圖1三、模型三、對角互補(bǔ)模型感謝下載載OEB精品(2)全等型-120當(dāng)/DCE的一邊交AO的延長線于 D時(如圖4):以上三個結(jié)論： SAQCESAOCD【條件】：/AOB=2 ZDCE=120;(2QC

3、平分 ZAOB3 一一 2【結(jié)論】： CD=CE ;OD+OE=OC ; SADCESAOCDSAOCE- OC24證明提示：可參考“全等型-90 ° ”證法如右下圖：在 OB上取一點(diǎn)F,使OF=OC ,證明OCF為等邊三角形。(1)全等型-90【條件】：/AOB=/DCE=90°dDC平分/AOB【結(jié)論】：CD=CE;OD+OE=J2OC;SzXDCE證明提示：作垂直，如圖2,證明4CDM且/CEN過點(diǎn)C作CFLOC,如圖3,證明ODCAEC(3)全等型-任意角a【條件】：/AOB=2a,ZDCE=180-2a;CD=CE;【結(jié)論】：OC平分ZAOB;OD+OE=2OCc

4、osa;2.SADCESAQCDSAOCE0csinacosa當(dāng)/DCE的一邊交AO的延長線于D時(如右下圖)：原結(jié)論變成：可參考上述第種方法進(jìn)行證明。請思考初始條件的變化對模型的影響。對角互補(bǔ)模型總結(jié):常見初始條件：四邊形對角互補(bǔ)，注意兩點(diǎn)：四點(diǎn)共圓有直角三角形斜邊中線;初始條件“角平分線”與“兩邊相等”的區(qū)別;CD注意OC平分/AOB時，/CDE=/CED=/COA=/COB如何引導(dǎo)?四、模型四：角含半角模型90°(1)角含半角模型90-1【條件】：正方形ABCD;/EAF=45【結(jié)論】：EF=DF+BE;4CEF的周長為正方形也可以這樣:【條件】：正方形ABCD;EF=DF+B

5、E;【結(jié)論】：/EAF=45ABCD周長的一半;(2)角含半角模型90-2【條件】：正方形ABCD/EAF=45【結(jié)論】：EF=DF-BE精品（3）角含半角模型90-3【條件】：RtMBC;/DAE=45°【結(jié)論】：BD2CE2DE2（如圖1）DE2仍然成立（如圖2）若/DAE旋轉(zhuǎn)到4ABC外部時，結(jié)論BD2CE2感謝下載載（4）角含半角模型90°變形【條件】：正方形ABCD;/EAF=45【結(jié)論】：祥HE為等腰直角三角形；證明：連接AC（方法不唯一）ZDAC=/EAF=45，ZDAH=/CAE,X/ZACB=/ADB=45ACAEDAZDAHsHae一AHAHEs/ADC

6、,"HE為等腰直角三角形模型五：倍長中線類模型(1)倍長中線類模型-1【條件】：矩形ABCD ;3HDF=EF;【結(jié)論】:AFXCF模型提?。河衅叫芯€AD/BE;平行線間線段有中點(diǎn)DF=EF;可以構(gòu)造“8”字全等4ADF且/HEF。(2)倍長中線類模型-2【條件】：平行四邊形ABCD;BC=2AB;AM=DM;CE，AB;【結(jié)論】：/EMD=3ZMEA輔助線：有平行AB/CD,有中點(diǎn)AM=DM,延長EM,構(gòu)造4AME且/DMF,連接CM構(gòu)造等腰4EMC,等腰AMCF。(通過構(gòu)造8字全等線段數(shù)量及位置關(guān)系，角的大小轉(zhuǎn)化)FadI使FG=DF ,連接 CG、BG、BD ,證明4BDG為等

7、腰直角三角模型六：相似三角形360°旋轉(zhuǎn)模型(1)相似三角形(等腰直角)360°旋轉(zhuǎn)模型一倍長中線法【條件】：ADE、9BC均為等腰直角三角形；EF=CF;【結(jié)論】：DF=BF;DFBF輔助線：延長DF到點(diǎn)G,形；突破點(diǎn)：ABD/CBG;難點(diǎn)：證明/BAO=/BCG(2)相似三角形(等腰直角)360°旋轉(zhuǎn)模型一補(bǔ)全法C(3)任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型一補(bǔ)全法【條件】：OABsZODC;/OAB=/ODC=90°(3BE=CE;【結(jié)論】：AE=DE;/AED=2/ABO輔助線：延長BA至ijG,使AG=AB,延長CD到點(diǎn)H使DH=CD,補(bǔ)

8、全OGB、AOCH構(gòu)HCDABEC造旋轉(zhuǎn)模型。轉(zhuǎn)化OBEGO AE與DE至ijCG與BH,難點(diǎn)在轉(zhuǎn)化/AED。(4)任意相似直角三角形360°旋轉(zhuǎn)模型一倍長法【條件】：OABsZODC;/OAB=ZODC=90°(3BE=CE;【結(jié)論】：AE=DE;/AED=2/ABO輔助線：延長DE至M,使ME=DE,將結(jié)論的兩個條件轉(zhuǎn)化為證明AMD<ZABO,此為難點(diǎn)，將那MD s/abc繼續(xù)轉(zhuǎn)化為證明 ABM sAOD ,使用兩邊成比例O夾角相等，此處難點(diǎn)M模型七：最短路程模型（1）最短路程模型一（將軍飲馬類）總結(jié)：右四圖為常見的軸對稱類最短路程問題，最后都轉(zhuǎn)化到：“兩點(diǎn)之間，

9、線段最短：解決;特點(diǎn)：動點(diǎn)在直線上；起點(diǎn)，終點(diǎn)固定A ABlB'（2）最短路程模型二（點(diǎn)到直線類1）【條件】：OC平分ZAOB;M為OB上一定點(diǎn)；P為OC上一動點(diǎn)；Q為OB上一動點(diǎn)；【問題】：求MP+PQ最小時，P、Q的位置？輔助線：將作Q關(guān)于OC對稱點(diǎn)Q',轉(zhuǎn)化PQ'=PQ,過點(diǎn)M作MH，OA,AOQM B貝UMP+PQ=MP+PQ'MH（垂線段最短）(3)最短路程模型二(點(diǎn)到直線類2)【條件】：A(0,4),B(-2,0),P(0,n)_.5一【問題】：n為何值時，PBJPA最小?5求解方法：x軸上取C(2,0)，使sin/OAC=登；過B作BDXAC,交y

10、軸于點(diǎn)E,即5為所求；tan /EBO=tan(4)最短路程模型三(旋轉(zhuǎn)類最值模型)線段OA=4,OB=2;OB繞點(diǎn)O在平面內(nèi)360°旋轉(zhuǎn);AB的最大值，最小值分別為多少?以點(diǎn)。為圓心，OB為半徑作圓，如圖所示，將問題轉(zhuǎn)化為DB“三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”最大值：OA+OB ;最小值：OA-OBJ最大值位置OA最小值位置【條件】：線段OA=4,OB=2;以點(diǎn)。為圓心，OB,OC為半徑作圓;點(diǎn)P是兩圓所組成圓環(huán)內(nèi)部（含邊界）一點(diǎn);【結(jié)論】：若PA的最大值為10,則OC= 6若PA的最小值為2,則PC的取值范圍是;若PA的最小值為1 ,則OC= 30<PC<

11、;2【條件】：R3BC,/OBC=30OC=2;OA=1;點(diǎn)P為BC上動點(diǎn)（可與端點(diǎn)重合）；AOBC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)【結(jié)論】：PA最大值為OA+OB=12<3；PA的最小值為1OBOA近12如下圖，圓的最小半徑為O到BC垂線段長。模型八：二倍角模型【條件】：在4ABC中，/B=2/C;輔助線：以BC的垂直平分線為對稱軸,作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A',連接AA '、BA'、CA'、則BA=AA'=CA'(注意這個結(jié)論)此種輔助線作法是二倍角三角形常見的輔助線作法之一，不是唯一作法。模型九：相似三角形模型(1)相似三角形模型-基本型平行類：DE/BC;A字型8字型A字型結(jié)論：ADABAEACDE(注意對應(yīng)邊要對應(yīng))BC(2)相似三角形模型-斜交型【條件】：如右圖，/AED=/ACB=90【結(jié)論】：AEXAB=ACXAD【條件】：如右圖，/ACE=/ABC;【結(jié)論】：AC2=AEXAB第四個圖還存在射影定理:AEXEC=BCXAC;BC2=BEXBA;CE2=AEXBE；(3)相似三角形模型-一線三等角型【條件】：圖：/ABC=ZACE=/CDE=90(2)圖：/ABC=ZACE=/CDE=60(3)圖：/ABC=ZAC