(江西版)高考數(shù)學總復習 第十一章11.5 數(shù)學歸納法教案 理 北師大版 教案

1、2013年高考第一輪復習數(shù)學北師(江西版)理第十一章11.5數(shù)學歸納法考綱要求1了解數(shù)學歸納法的原理2能用數(shù)學歸納法證明一些簡單的數(shù)學命題知識梳理1由一系列有限的特殊事例得出_的推理方法叫歸納法根據(jù)推理過程中考查的對象是涉及事物的全體或部分可分為_歸納法和_歸納法2數(shù)學歸納法是證明一個與正整數(shù)n有關的命題，可按下列步驟進行：(1)(歸納奠基)證明當n取_時命題成立(2)(歸納遞推)假設nk(kN)時命題成立，證明_時命題也成立3應用數(shù)學歸納法時特別注意：(1)數(shù)學歸納法證明的對象是與_有關的命題(2)在用數(shù)學歸納法證明中，兩個基本步驟缺一不可基礎自測1用數(shù)學歸納法證明3nn3(nN，n3)，第

2、一步應驗證()An1 Bn2Cn3 Dn42用數(shù)學歸納法證明12222n12n21(nN)的過程中，在驗證n1時，左端計算所得的項為()A1 B12 C1222 D1222233已知數(shù)列an中，a1，an1，則數(shù)列的前5項為_，猜想它的通項公式是_思維拓展1數(shù)學歸納法證題的基本原理是什么？提示：數(shù)學歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關的命題的證明方法，它的表述嚴格而且規(guī)范，兩個步驟缺一不可第一步是遞推的基礎，第二步是遞推的依據(jù)，第二步中，歸納假設起著“已知條件”的作用，在第二步的證明中一定要運用它，否則就不是數(shù)學歸納法第二步的關鍵是“一湊假設，二湊結論”2用數(shù)學歸納法證明問題應該注意什么？提示：(

3、1)第一步驗證nn0時命題成立，這里的n0并不一定是1，它是使命題成立的最小正整數(shù)(2)第二步證明的關鍵是合理運用歸納假設，特別要弄清由k到k1時命題的變化情況(3)由假設nk時命題成立，證明nk1命題也成立時，要充分利用歸納假設，即要恰當?shù)亍皽悺背瞿繕艘?、用?shù)學歸納法證明恒等式【例11】nN，求證：1.【例12】已知ABC的三邊長都是有理數(shù)(1)求證：cos A是有理數(shù)；(2)求證：對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)方法提煉數(shù)學歸納法證題的關鍵是第二步由nk到nk1的過渡，要設法將待證式與歸納假設建立聯(lián)系，即借助于已經(jīng)學過的公式、定理或運算法則進行恒等變形，把nk1時的表達式拼湊出歸納假設

4、的形式，再把運用歸納假設后的式子進行變形、證明請做針對訓練4二、用數(shù)學歸納法證明不等式【例21】用數(shù)學歸納法證明：12(nN，n2)【例22】用數(shù)學歸納法證明：11n.方法提煉用數(shù)學歸納法證明不等式時常常要用到放縮法，即在歸納假設的基礎上，通過放大或縮小技巧變換出要證明的目標不等式事實上，在合理運用歸納假設后，可以使用證明不等式的任何方法證明目標式成立請做針對訓練3三、用數(shù)學歸納法證明幾何問題【例31】用數(shù)學歸納法證明：凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)n(n3)(n3)【例32】平面內(nèi)有n條直線，其中無任何兩條平行，也無任何三條共點，求證：這n條直線把平面分割成(n2n2)塊方法提煉用數(shù)學歸納

5、法證明幾何問題的關鍵是“找項”，即幾何元素從k個變成k1個時，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾何知識或借助于幾何圖形來分析；事實上，將nk1和nk分別代入所證的式子，然后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學歸納法證明幾何問題的一大技巧請做針對訓練1四、歸納猜想證明【例41】在數(shù)列an中，a11，且Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列(Sn表示數(shù)列an的前n項和)，則S2，S3，S4分別為_；由此猜想Sn_.【例42】設數(shù)列an滿足an1anan1，n1,2,3，.(1)當a12時，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一個通項公式；(2)當a13時，證明對所有的n1，有ann2.方法提煉“歸納猜想證

6、明的模式”，是不完全歸納法與數(shù)學歸納法綜合運用的解題模式，這種方法在解決探索性、存在性問題時起著重要作用，它的證題模式是先由歸納推理發(fā)現(xiàn)結論，然后用數(shù)學歸納法證明結論的正確性，這種思維方式是推動數(shù)學研究與發(fā)展的重要方式請做針對訓練2考情分析數(shù)學歸納法在高考命題中時隱時現(xiàn)，且較隱蔽，因此在復習中應引起重視只要與正整數(shù)有關的命題，都可考慮用數(shù)學歸納法去證明數(shù)學歸納法不僅能證明現(xiàn)成的結論的正確性，而且能證明新發(fā)現(xiàn)的結論的正確性數(shù)學歸納法的應用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關系，猜想出相關結論，再用數(shù)學歸納法進行證明，初步形成“觀察歸納猜想證明”的思維

7、模式針對訓練1平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，則這n個圓將平面分成不同的區(qū)域有()A2n個 B2n個Cn2n2個 Dn2n1個2在數(shù)列an，bn中，a12，b14，且an，bn，an1成等差數(shù)列，bn，an1，bn1成等比數(shù)列求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜測an，bn的通項公式，并證明你的結論3若不等式對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明結論4設數(shù)列a1，a2，an，中的每一項都不為0.證明：an為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何nN，都有.參考答案基礎梳理自測知識梳理1一般結論完全不完全2(1)第一個值n0(n0N)(2)nk1

8、3(1)正整數(shù)基礎自測1C2C解析：左邊是n2項的和，當n1時，左邊表示3項1222的和3，an考點探究突破【例11】證明：(1)當n1時，左邊1，右邊.左邊右邊(2)假設nk時等式成立，即1，則當nk1時，.即當nk1時，等式也成立綜合(1)，(2)可知，對一切nN，等式成立【例12】證明：(1)由AB，BC，AC為有理數(shù)及余弦定理知cos A是有理數(shù)(2)用數(shù)學歸納法證明cos nA和sin A·sin nA都是有理數(shù)當n1時，由(1)知cos A是有理數(shù)，從而有sin A·sin A1cos2A也是有理數(shù)假設當nk(kN)時，cos kA和sin A·sin

9、 kA都是有理數(shù)當nk1時，由cos(k1)Acos A·cos kAsin A·sin kA，sin A·sin(k1)Asin A·(sin A·cos kAcos A·sin kA)(sin A·sin A)·cos kA(sin A·sin kA)·cos A，由和歸納假設，知cos(k1)A和sin A·sin (k1)A都是有理數(shù)即當nk1時，結論成立綜合，可知，對任意正整數(shù)n，cos nA是有理數(shù)【例21】證明：(1)當n2時，12，命題成立(2)假設nk時命題成立，即1

10、2.當nk1時，12222命題成立由(1)，(2)知原不等式在nN，n2時均成立【例22】證明：設f(n)1.(1)當n1時，f(1)1，原不等式成立(2)設nk(kN)時，原不等式成立即11k成立當nk1時，f(k1)f(k)1111；f(k1)f(k).kk(k1)nk1時，命題成立由(1)，(2)可知原命題對nN恒成立【例31】證明：(1)三角形沒有對角線，n3時，f(3)0，命題成立(2)假設nk(k3)時，命題成立，即f(k)k(k3)，則當nk1時，凸k邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗1個頂點，對角線條數(shù)增加k1條f(k1)f(k)k1k(k3)k1(k1)(k1)3當nk1時命題成立，

11、由(1)，(2)可知對任何nN且n3，命題恒成立【例32】證明：(1)當n1時，1條直線把平面分成2塊，又(1212)2，故命題成立(2)假設nk(k1)時命題成立，即k條滿足題設的直線把平面分成(k2k2)塊，那么當nk1時，第k1條直線被k條直線分成k1段，每段把它們所在的平面塊又分成了2塊，因此，增加了k1個平面塊，所以k1條直線把平面分成了(k2k2)k1(k1)2(k1)2塊，這說明當nk1時，命題也成立由(1)，(2)知，對一切nN，命題都成立【例41】，Sn解析：由Sn，Sn1,2S1成等差數(shù)列，得2Sn1Sn2S1，S1a11，2Sn1Sn2.令n1，則2S2S12123，S2

12、.同理，分別令n2，n3，可求得S3，S4，由S11，S2，S3，S4，猜想Sn.【例42】解：(1)由a12，得a2a113，由a23，得a32a214，由a34，得a43a315，由此猜想an的一個通項公式：ann1(n1)(2)證明：用數(shù)學歸納法證明：當n1時，a1312，不等式成立假設當nk時不等式成立，即akk2，那么，ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是說，當nk1時，ak1(k1)2.根據(jù)和，對于所有n1，都有ann2.演練鞏固提升1C解析：n2時，分成4部分，可排除D；n3時，分成8部分，可排除A；n4時，分成14部分，可排除B，故選C.2解：由條件得2bna

13、nan1，abnbn1.由此可得a26，b29，a312，b316，a420，b425.猜想ann(n1)，bn(n1)2.下面用數(shù)學歸納法進行證明：當n1時，由上可得結論成立假設當nk(kN)時，結論成立，即akk(k1)，bk(k1)2，那么當nk1時，ak12bkak2(k1)2k(k1)(k1)(k2)，bk1(k2)2.所以當nk1時，結論也成立由，可知ann(n1)，bn(n1)2對一切正整數(shù)n都成立3解：當n1時，即，所以a26.而a是正整數(shù)，所以取a25，下面用數(shù)學歸納法證明.(1)當n1時，已證得不等式成立(2)假設當nk(kN)時，不等式成立，即.則當nk1時，有.因為0，所以當nk1時不等式也成立由(1)(2)知，對一切正整數(shù)n，都有，所以a的最大值等于25.4證明：先證必要性設數(shù)列an的公差為d.若d0，則所述等式顯然成立若d0，則·.再證充分