大學(xué)物理15量子物理基礎(chǔ)課件

1、一、德布羅意波一、德布羅意波 ( (物質(zhì)波物質(zhì)波) )1924年，法國物理學(xué)家德布羅意提出了年，法國物理學(xué)家德布羅意提出了物質(zhì)波的假設(shè)物質(zhì)波的假設(shè)： 一切實(shí)物粒子一切實(shí)物粒子(如電子、質(zhì)子、中子如電子、質(zhì)子、中子)都與光子一樣都與光子一樣,具有波粒二象性。具有波粒二象性。 具有能量為具有能量為E、動(dòng)量為、動(dòng)量為p 的實(shí)物粒子就有一定頻率的實(shí)物粒子就有一定頻率 和一定波長(zhǎng)和一定波長(zhǎng) 與之對(duì)應(yīng)。它們之間滿足如下關(guān)系：與之對(duì)應(yīng)。它們之間滿足如下關(guān)系： hmcE 2 hmvp 德布羅意公式德布羅意公式(或或假設(shè)假設(shè))與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱為與實(shí)物粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波德布羅意波(或或物質(zhì)波物質(zhì)波

2、)15-1 德布羅意波德布羅意波 實(shí)物粒子的波粒二象性實(shí)物粒子的波粒二象性獨(dú)創(chuàng)性獨(dú)創(chuàng)性所以電子的德布羅意波長(zhǎng)為：所以電子的德布羅意波長(zhǎng)為：eUmh02 )A(3 .120U VU150 當(dāng)當(dāng)：0A1 例如例如：電子經(jīng)加速電勢(shì)差：電子經(jīng)加速電勢(shì)差 U加速后加速后eUvm 2021 即即：2201cvvmhmvhph vmhcv0, 則則如如果果02meUv eUE ph Uemh02 vmh0 )m(103 .1210 U 當(dāng)當(dāng)U=100伏伏23. 13 .12 U 解：解：例例 一原靜止的電子被電場(chǎng)加速到速度一原靜止的電子被電場(chǎng)加速到速度v（vc），），加速電壓為加速電壓為100V時(shí)，則速度為

3、時(shí)，則速度為v的電子的電子的的De Brglie波波長(zhǎng)為多大？波波長(zhǎng)為多大？GK狹縫狹縫電電流流計(jì)計(jì)鎳鎳集集電電器器U電子射線電子射線單單晶晶二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證二、物質(zhì)波的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證 1927年年戴維孫和革末戴維孫和革末用加速后的電子投射到晶體用加速后的電子投射到晶體上進(jìn)行電子衍射實(shí)驗(yàn)。上進(jìn)行電子衍射實(shí)驗(yàn)。 實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：保持保持 角不變角不變，改變電壓值改變電壓值，電流并電流并不隨電壓?jiǎn)握{(diào)的改變，而是出現(xiàn)選擇性。不隨電壓?jiǎn)握{(diào)的改變，而是出現(xiàn)選擇性。根據(jù)衍射理論，根據(jù)衍射理論，衍射最大值衍射最大值應(yīng)滿足應(yīng)滿足布拉格公式布拉格公式：),k(ksind 3212 德布羅意假說，德布羅意假說，電

4、子的波長(zhǎng)為：電子的波長(zhǎng)為：波波 當(dāng)電壓為某一當(dāng)電壓為某一特定值時(shí)特定值時(shí)，電流才有極大值電流才有極大值（此規(guī)律（此規(guī)律與與x射線的衍射規(guī)律相似射線的衍射規(guī)律相似 ）。）。.,kmeUhksind32122 代代入入上上式式得得： 2meUh 5102015250IU利用布拉格公式球得利用布拉格公式球得波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為:兩者波長(zhǎng)值很接近，證明兩者波長(zhǎng)值很接近，證明微觀粒子具有波粒二象性微觀粒子具有波粒二象性若在戴維孫若在戴維孫革末實(shí)驗(yàn)中取革末實(shí)驗(yàn)中取)3, 2, 1(sin2 kkd 0A6711670.nm. 0A65. 1165. 0 nm mdVU110101 . 9 5465 根據(jù)德布羅意假

5、說根據(jù)德布羅意假說,由加速由加速電勢(shì)差算得的波長(zhǎng)為電勢(shì)差算得的波長(zhǎng)為:meUh2 出出現(xiàn)現(xiàn)極極大大。滿滿足足上上式式時(shí)時(shí)，電電流流電電壓壓實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn) ,.3 , 2 , 1 2sin2IUkmeUhkd 思考題思考題: 若一個(gè)若一個(gè)電子的電子的德布羅意波長(zhǎng)和光子的波長(zhǎng)德布羅意波長(zhǎng)和光子的波長(zhǎng)相同。相同。 試問：試問：1）它們的動(dòng)量大小是否相同？它們的動(dòng)量大小是否相同？ 2）它們的總能量是否相同？（）它們的總能量是否相同？（05年）年）2 2）但它們的總能量是不相同的。電子的總能量大于）但它們的總能量是不相同的。電子的總能量大于光子的能量。光子的能量。解：解：1 1） 由德布羅意關(guān)系可知由

6、德布羅意關(guān)系可知, ,它們的波長(zhǎng)相同它們的波長(zhǎng)相同. .因此，因此， 它們的動(dòng)量大小相同它們的動(dòng)量大小相同光子的能量：光子的能量：pchchv 電子的總能量：電子的總能量： 2202)()(cmcpEe eE例例1: 、 粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為粒子在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.025T的均勻磁場(chǎng)的均勻磁場(chǎng)中沿半徑為中沿半徑為R=0.83cm的軌道作圓周運(yùn)動(dòng)的軌道作圓周運(yùn)動(dòng).試求試求:(1) 粒子粒子德布羅意波長(zhǎng)德布羅意波長(zhǎng);(2) 若使其質(zhì)量為若使其質(zhì)量為m=0.1g的小球以與的小球以與 粒子相同的速率粒子相同的速率 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng),則其則其波長(zhǎng)為多少波長(zhǎng)為多少? ( ( 粒子質(zhì)量為粒子質(zhì)量為ma =6.641

7、010-27-27kg)(05.08)kg)(05.08)解解: (1) 求求 粒子德布羅意波長(zhǎng)粒子德布羅意波長(zhǎng)vmhph o1121934A0.11000. 110083. 0025. 01060. 11063. 6 mBRqhvmh BRqvmRvmvBq 2而而：? vm 先先求求：(2) 若使其質(zhì)量為若使其質(zhì)量為m=0.1g的小球以與的小球以與 粒子相同的粒子相同的 速率運(yùn)動(dòng)速率運(yùn)動(dòng),求其波長(zhǎng)求其波長(zhǎng)若若 m=0.1g 的小球速率的小球速率 vvm mBRqvvm mmmBRqhBRqmmhvmhmvhmm343271064. 6101 . 01064. 61 則：則：考慮到在兩個(gè)一級(jí)

8、極小值之外還有電子出現(xiàn)，考慮到在兩個(gè)一級(jí)極小值之外還有電子出現(xiàn)，所以：所以：經(jīng)嚴(yán)格證明此式應(yīng)為：經(jīng)嚴(yán)格證明此式應(yīng)為：hxpx 2 xpx 這就是著名的這就是著名的海森伯不確定關(guān)系式海森伯不確定關(guān)系式hxpx 2 ypy 2 zpz )( .10588 054. 12 34-約化普朗克常量約化普朗克常量sJh 設(shè)有一個(gè)動(dòng)量為設(shè)有一個(gè)動(dòng)量為p，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的粒子，能量的粒子，能量考慮到考慮到E的增量：的增量：EpmvccpcmppcE 222420222pv ptx 2/ pxtE2 tE能量與時(shí)間不確定關(guān)系式能量與時(shí)間不確定關(guān)系式即：即：能量與時(shí)間不確定關(guān)系能量與時(shí)間不確定關(guān)系22420cp

9、cmE 1. 用經(jīng)典物理學(xué)量來描寫微觀粒子行為時(shí)必然會(huì)出用經(jīng)典物理學(xué)量來描寫微觀粒子行為時(shí)必然會(huì)出現(xiàn)不確定性現(xiàn)不確定性 。在位置和動(dòng)量的不確定量中。在位置和動(dòng)量的不確定量中,位置不確位置不確定量越小定量越小,則同方向的動(dòng)量不確定量就越大則同方向的動(dòng)量不確定量就越大。反之亦反之亦然。然。3. 可以用來判別對(duì)于實(shí)物粒子其行為究竟應(yīng)該用經(jīng)典可以用來判別對(duì)于實(shí)物粒子其行為究竟應(yīng)該用經(jīng)典力學(xué)來描寫還是用量子力學(xué)來描寫。力學(xué)來描寫還是用量子力學(xué)來描寫。 2.測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是微觀粒子波粒二象性的必然反映測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是微觀粒子波粒二象性的必然反映,決不決不是測(cè)量?jī)x器的缺陷或測(cè)量方法不完善所致。是測(cè)量?jī)x器的缺陷或測(cè)量

10、方法不完善所致。 所以宏觀粒子的坐標(biāo)及動(dòng)量可以同時(shí)確定所以宏觀粒子的坐標(biāo)及動(dòng)量可以同時(shí)確定1. 宏觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)能否同時(shí)確定？宏觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)能否同時(shí)確定？，若，若的乒乓球的乒乓球 , 其直徑其直徑, 可以認(rèn)為其位可以認(rèn)為其位置是完全確定的。其動(dòng)量是否完全確定呢？置是完全確定的。其動(dòng)量是否完全確定呢？例例kgm210 cmd5 1200 smvxmx610 xvmx 2 6341010 12810 smkgxvm12 smkg問題？問題？ 所以，電子的動(dòng)量是不確定的，應(yīng)該用量子力所以，電子的動(dòng)量是不確定的，應(yīng)該用量子力學(xué)來處理。學(xué)來處理。01Adx 例例1 一電子以一電子以的速度穿過晶

11、體。的速度穿過晶體。晶體常數(shù)晶體常數(shù)d10-10m161001 sm.vxxmvx 2 1103134101010 sm1710 sm1610 smvvxx 2. 微觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)是否永遠(yuǎn)不能同時(shí)確定？微觀粒子的動(dòng)量及坐標(biāo)是否永遠(yuǎn)不能同時(shí)確定？2 xpx 由由于于：vmx 2/2/ xpx解：解：m63134103 .610101 .94/1063.6 例例2 電子射線管中的電子束中的電子速度一般為電子射線管中的電子束中的電子速度一般為 10105 5m/sm/s，設(shè)測(cè)得速度的精度為設(shè)測(cè)得速度的精度為1/100001/10000，即，即 vx=10m/s，求電子位，求電子位置的不確定量置的

12、不確定量（電子的位置確定在電子的位置確定在 范圍內(nèi)可范圍內(nèi)可以認(rèn)為令人滿意）以認(rèn)為令人滿意）mmx1 . 0 可以用經(jīng)典力學(xué)來處理?？梢杂媒?jīng)典力學(xué)來處理。所以，微觀粒子的動(dòng)量和坐標(biāo)有時(shí)是可以同時(shí)確定的。所以，微觀粒子的動(dòng)量和坐標(biāo)有時(shí)是可以同時(shí)確定的。mm1 . 0 xvvx E. .薛定諤薛定諤 (1887-1961)15-3 薛定諤方程薛定諤方程 描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的基本描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的基本方程方程薛定諤方程？薛定諤方程？ 什么是隧道效應(yīng)？什么是隧道效應(yīng)？ 描述微觀粒子的波函數(shù)必須描述微觀粒子的波函數(shù)必須 滿足哪些條件？滿足哪些條件？ 波函數(shù)的物理意義是什么？波函數(shù)的物理意義是什么？

13、描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的描述微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的函數(shù)。函數(shù)。)xt(cosA)t ,x(y 2)(2),( xtiAetxy 經(jīng)典單色平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程：經(jīng)典單色平面簡(jiǎn)諧波波動(dòng)方程：1 1 、波函數(shù)：、波函數(shù)：)(20),( xtietx 0 )t ,x( 區(qū)別于經(jīng)典波動(dòng)區(qū)別于經(jīng)典波動(dòng)只只取取實(shí)實(shí)部部一、波函數(shù)一、波函數(shù) 概率密度概率密度 自由粒子自由粒子沿沿x方向運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的單色平面波波函數(shù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)對(duì)應(yīng)的單色平面波波函數(shù))(20),( xtietx hEph )pxEt(ie)t ,x( 0 2h 其中其中)rpEt(ie)t ,r( 0 考慮到自由粒子沿三維方向的傳播考慮到自由粒子沿三維方向

14、的傳播 設(shè)運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子的能量為設(shè)運(yùn)動(dòng)的實(shí)物粒子的能量為E、動(dòng)量為、動(dòng)量為 p，與之相與之相關(guān)聯(lián)的頻率為關(guān)聯(lián)的頻率為 、波長(zhǎng)為波長(zhǎng)為 ，將德布羅意關(guān)系式代入：將德布羅意關(guān)系式代入： 式中的式中的 、E 和和 p 體現(xiàn)了體現(xiàn)了微觀粒子的波粒二象性微觀粒子的波粒二象性2 2、概率密度概率密度波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋（復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)） )rpEt(ie)t ,r( 0 ?波函數(shù)波函數(shù)物理意義物理意義如何描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng)如何描述微觀粒子的運(yùn)動(dòng) 根據(jù)根據(jù)玻恩對(duì)德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋玻恩對(duì)德布羅意波的統(tǒng)計(jì)解釋，物質(zhì)波，物質(zhì)波波函數(shù)是對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)描述波函數(shù)是對(duì)微觀粒子運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)描述, ,即即物質(zhì)波

15、物質(zhì)波是是概率波概率波, , 概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率概率波只能給出粒子在各處出現(xiàn)的概率。1）大量電子的一次性行為：）大量電子的一次性行為：U極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于220 或或 (r,t)代表什么？代表什么？看電子的單縫衍射：看電子的單縫衍射：2）一個(gè)粒子多次重復(fù)性行為）一個(gè)粒子多次重復(fù)性行為較長(zhǎng)時(shí)間以后

16、較長(zhǎng)時(shí)間以后極大值極大值極小值極小值中間值中間值較多電子到達(dá)較多電子到達(dá)較少電子到達(dá)較少電子到達(dá)介于二者之間介于二者之間波強(qiáng)度大，波強(qiáng)度大，220 或大大220 或小小波強(qiáng)度小，波強(qiáng)度小，波強(qiáng)介于二者之間波強(qiáng)介于二者之間粒子的觀點(diǎn)粒子的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)波動(dòng)的觀點(diǎn)U統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于統(tǒng)一地看：粒子出現(xiàn)的幾率正比于220 或則波函數(shù)則波函數(shù)模的平方模的平方表征了表征了t 時(shí)刻，在空間時(shí)刻，在空間(x,y,z)處處出現(xiàn)粒子的出現(xiàn)粒子的概率密度概率密度-波函數(shù)的物理意義波函數(shù)的物理意義.結(jié)論：結(jié)論： 某時(shí)刻空間某體元某時(shí)刻空間某體元dVdV中出現(xiàn)粒子的中出現(xiàn)粒子的幾率幾率 正比于正比于該地點(diǎn)

17、該地點(diǎn)波函數(shù)模的平方波函數(shù)模的平方和體積元和體積元 體積：體積：dVdW ,2通常比例系數(shù)取通常比例系數(shù)取1:dVdW2 dV )(共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)為為 2dVdWw（由叫（由叫概率分布函數(shù)概率分布函數(shù)） 微觀粒子遵循的是微觀粒子遵循的是統(tǒng)計(jì)規(guī)律統(tǒng)計(jì)規(guī)律，而不是經(jīng)典的，而不是經(jīng)典的 決定性規(guī)律決定性規(guī)律。牛頓說牛頓說： 只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒子的軌只要給出了初始條件，下一時(shí)刻粒子的軌 跡是已知的，跡是已知的，決定性決定性的。的。量子力學(xué)說量子力學(xué)說：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá)：波函數(shù)不給出粒子在什么時(shí)刻一定到達(dá) 某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的某點(diǎn)，只給出到達(dá)各點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)分布統(tǒng)計(jì)分布；即只

18、；即只 知道知道| |2大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大，大的地方粒子出現(xiàn)的可能性大， | |2小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出小的地方幾率小。一個(gè)粒子下一時(shí)刻出 現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的現(xiàn)在什么地方，走什么路徑是不知道的 （非決定性非決定性的）的）物質(zhì)波與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別物質(zhì)波與經(jīng)典波的本質(zhì)區(qū)別經(jīng)典波經(jīng)典波的波函數(shù)是實(shí)數(shù)的波函數(shù)是實(shí)數(shù),本身具有物理意義本身具有物理意義,可測(cè)量。可測(cè)量。因此，只有波函數(shù)的概率密度才具有物理意義。因此，只有波函數(shù)的概率密度才具有物理意義。物質(zhì)波物質(zhì)波一般情況是復(fù)函數(shù)，本身無具體的物理意義一般情況是復(fù)函數(shù)，本身無具體的物理意義,所以是不可測(cè)量的；可測(cè)量的只有

19、所以是不可測(cè)量的；可測(cè)量的只有 22) 對(duì)于概率波來說對(duì)于概率波來說, 重要的是相對(duì)概率分布。故重要的是相對(duì)概率分布。故和和 描述的相對(duì)概率分布是完全相同的描述的相對(duì)概率分布是完全相同的。 c 而經(jīng)典波的波幅如果增加一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)能量而經(jīng)典波的波幅如果增加一倍，則相應(yīng)的波動(dòng)能量 將為原來的四倍，因此將為原來的四倍，因此, ,代表了不同的波動(dòng)狀態(tài)。即若：代表了不同的波動(dòng)狀態(tài)。即若： C 等價(jià)等價(jià)ECE2 能能量量CAA 振振幅幅那么那么).( tr1 VdVW3 、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件與歸一化條件、波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化條件與歸一化條件（波函數(shù)必須滿足的條件）（波函數(shù)必須滿足的條件）1）波函數(shù)具有）波

20、函數(shù)具有有限有限性性在空間是在空間是有限的有限的2）波函數(shù)是）波函數(shù)是連續(xù)的連續(xù)的只差一微量只差一微量幾率密度幾率密度處處與與處的幾率密度處的幾率密度即在即在)()(rdrwrdrrwr 3）波函數(shù)是）波函數(shù)是單值的單值的粒子在空間出現(xiàn)的幾率粒子在空間出現(xiàn)的幾率只可能是一個(gè)值只可能是一個(gè)值.4）滿足歸一化條件滿足歸一化條件1 dVW（歸一化條件）（歸一化條件）因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件因?yàn)榱Ｗ釉谌臻g出現(xiàn)是必然事件. 波函數(shù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件的標(biāo)準(zhǔn)條件：?jiǎn)沃?、有單值、有限和連續(xù)限和連續(xù)解：解：利用歸一化條件利用歸一化條件 dx)x(2 例例1 1：求波函數(shù)歸一化常數(shù)和概率密度。求波函數(shù)歸一化

21、常數(shù)和概率密度。 )0( )0( 0axxasinAeax,xxEti adxaxsinA022 122 aAaA2 2 w )0( 2)0( 02axaxsinaax,x 這就是這就是一維自由粒子（含時(shí)間）薛定諤方程一維自由粒子（含時(shí)間）薛定諤方程)(),(pxEtiAetx 2222px Eit 對(duì)于非相對(duì)論粒子對(duì)于非相對(duì)論粒子mpE22 ttxixtxm ),(),(2222 一維一維自由粒子自由粒子的波函數(shù)的波函數(shù)二二、薛定諤方程薛定諤方程1、薛定諤方程的引入、薛定諤方程的引入(并不是理論推導(dǎo)并不是理論推導(dǎo)) 若粒子處在外力場(chǎng)中若粒子處在外力場(chǎng)中( (非自由粒子非自由粒子) )其粒子的

22、總能量為其粒子的總能量為：titxUxm ),(2222),(212txUpmE 一維薛定諤方程一維薛定諤方程三維薛定諤方程三維薛定諤方程: :titrUm ),(2222222222 zyx 式式中中拉普拉斯算符拉普拉斯算符 哈密頓（能量）算符哈密頓（能量）算符),(2 22trUmH 令令則薛定諤方程為：則薛定諤方程為：),(),(trHtrti 算符算符: : 就是一種運(yùn)就是一種運(yùn)算符號(hào)，是算符號(hào)，是對(duì)量子態(tài)對(duì)量子態(tài)( (波波函數(shù)函數(shù)) )的操作。的操作。某物理量算某物理量算符常用對(duì)應(yīng)符常用對(duì)應(yīng)的該的該物理量物理量字母上方加字母上方加“”符號(hào)表符號(hào)表示。示。2 2、定態(tài)薛定諤方程、定態(tài)薛

23、定諤方程)t (f)r()t ,r( 如果如果勢(shì)能函數(shù)不是時(shí)間的函數(shù)勢(shì)能函數(shù)不是時(shí)間的函數(shù), ,即：即：代入上式薛定諤方程中整理得：代入上式薛定諤方程中整理得：ttftfirrUmr )()(1)()(2)(122 用分離變量法將波函數(shù)寫為：用分離變量法將波函數(shù)寫為：)r(UmH 222方方程程中中在在： )t , r(H)t ,r(ti Ettftfi )()(1 )()( 積積分分常常數(shù)數(shù)CCetfEti 常常數(shù)數(shù)）()()(1)()(2)(122EttftfirrUmr 只是空間坐標(biāo)的函數(shù)只是空間坐標(biāo)的函數(shù)只是時(shí)間的函數(shù)只是時(shí)間的函數(shù)E)r()r(Um)r( 2221 )()(rErH

24、即即：)()(),( tfrtr 波波函函數(shù)數(shù)為為：Etier )( 此方程僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)此方程僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)-稱為定態(tài)稱為定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程. . )(),(Etiertr 那么，粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度：那么，粒子在空間出現(xiàn)的幾率密度：222Etie)r()t ,r( 2)r( 幾率密度與時(shí)間無關(guān)，幾率密度與時(shí)間無關(guān)，因此，因此，波函數(shù)描述的是穩(wěn)定波函數(shù)描述的是穩(wěn)定態(tài)態(tài)-簡(jiǎn)稱定態(tài)。簡(jiǎn)稱定態(tài)。叫叫定定態(tài)態(tài)波波函函數(shù)數(shù)其其對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的波波函函數(shù)數(shù))( r )()(rErH 即即：)()()(2 22rErrUm -稱為定態(tài)稱為定態(tài)薛定諤方程薛定諤方程. .（非相對(duì)論形式）（非相對(duì)

25、論形式）2. 2. 定態(tài)薛定諤方程定態(tài)薛定諤方程: :1. 1. 一般形式薛定諤方程：一般形式薛定諤方程：一維一維三維三維一維一維三維三維titxUxm ),(2222titrUm ),(222)()()(2 22rErrUm )()()(2222xExxUxm 若若 U=0（自由粒子）（自由粒子）ttxixtxm ),(),(2222 )()(rErH 設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的粒子的粒子只能只能在在 0 xa 區(qū)域內(nèi)的區(qū)域內(nèi)的外力場(chǎng)中外力場(chǎng)中作一維運(yùn)動(dòng)作一維運(yùn)動(dòng).勢(shì)能函數(shù)為：勢(shì)能函數(shù)為： ),0()0(0)(axxaxxU)(xUOa x三、一維無限深三、一維無限深勢(shì)阱勢(shì)阱（定態(tài)（定態(tài)薛定諤方程

26、的應(yīng)薛定諤方程的應(yīng)用用) ) 因?yàn)樵谝驗(yàn)樵谮逋廒逋?即：當(dāng)即：當(dāng) x a 時(shí)時(shí))粒子勢(shì)能為無窮粒子勢(shì)能為無窮大大0)( x 0)(2)(222 xmEdxxd 得得：)()(xExH 2mE2k 令0222 kdxd方程的通解為：方程的通解為：)sin()( kxAx由邊界條件由邊界條件00 )( 0 )a( 0 sinA0 kasinA2222dxdmH 0 ,nank21 )(xUOa x)sin()( kxAxxansinA dxxanAdxxa 0222)(sin)( 又又122 aAaA2 )0()sin(2), 0( 0)(axxanaaxxxn 概率分概率分布函數(shù)布函數(shù) 2)(x

27、 0axx , 0axxxana 2sin2粒子波粒子波函數(shù)函數(shù)則粒子的能量：則粒子的能量： 3, 2, 1 )2(2222nnmaEn 22mEk 由于：由于：), 2 , 1(, nank 22)(2anmEn 時(shí)時(shí)波函數(shù)必須滿足波函數(shù)必須滿足標(biāo)準(zhǔn)化條件的自然結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)化條件的自然結(jié)果, ,而不是人為的假設(shè)。而不是人為的假設(shè)。2222nmaEn n=1,2,3, 在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，在一維無限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)的粒子，它的能量是量子化的。它的能量是量子化的。若若n=0，則，則k=0，, 0sin2)( kxAx 沒有意義。沒有意義。所以所以n=1時(shí)粒子取最低能量：時(shí)粒子取最低能量：maE

28、2221 E1稱之為稱之為基態(tài)能量基態(tài)能量。特征分析：特征分析：1.；0)( x ）區(qū)區(qū)間間，在在（axx , 00)(2 x 粒子只能在粒子只能在U(x)=0的勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。的勢(shì)阱內(nèi)運(yùn)動(dòng)。2. 波函數(shù)是駐波方程。能級(jí)越波函數(shù)是駐波方程。能級(jí)越高，駐波個(gè)數(shù)越多。高，駐波個(gè)數(shù)越多。）區(qū)間，）區(qū)間，在（在（axx 在在x=0和和x=a的邊界上是駐波波節(jié)。的邊界上是駐波波節(jié)。 在在0 xa的區(qū)域，駐波有的區(qū)域，駐波有(n1)個(gè)波節(jié)，駐個(gè)波節(jié)，駐波不向外輻射能量，粒子處于各種穩(wěn)定態(tài)。波不向外輻射能量，粒子處于各種穩(wěn)定態(tài)。3. 概率密度分布具有起伏性。能級(jí)越高，起伏次數(shù)概率密度分布具有起伏性。能級(jí)越高，起

29、伏次數(shù)越多。越多。用駐波思想求解一維無限深勢(shì)阱中粒子的能量用駐波思想求解一維無限深勢(shì)阱中粒子的能量: 因?yàn)閯?shì)阱中因?yàn)閯?shì)阱中 U(x)=0， E = EK 用薛定諤方程簡(jiǎn)單分析得：用薛定諤方程簡(jiǎn)單分析得：0)()0( a Phnna22 井井寬寬：代代入入將將 2h n=1,2,3, 由駐波條件得，由駐波條件得，anhP2 22224ahnP 2222nmaE 222282mahnmpEEK 能量是量子化的。能量是量子化的。與求解態(tài)薛定諤方程得到的能量公式一致。與求解態(tài)薛定諤方程得到的能量公式一致。 例例2 一維無限深勢(shì)阱中粒子的定態(tài)一維無限深勢(shì)阱中粒子的定態(tài)波函數(shù)為波函數(shù)為求求: 粒子處于粒子

30、處于基態(tài)基態(tài)和處于和處于第一激發(fā)態(tài)第一激發(fā)態(tài)時(shí)，時(shí)， x 在（在（0 a/3）之間找到粒子的之間找到粒子的概率概率。xanax sin2)( n=1,2,3,.解：解：2asinxa2dx3a0()=2acos2xadx3a0121+=1ax2asinxa2()3a0=0.19=1aa32a32.當(dāng)當(dāng)n=1（基態(tài)）時(shí)（基態(tài)）時(shí)a3x =0在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W1 為：為：x =xanax sin2)( dxxanadxxdWdx 22sin2)( 區(qū)區(qū)間間概概率率：在在+=1ax4asinxa43a0=0.264=1aa34a32.2asin2xa2dx3a0=1acosdx3

31、a01()4xaa30在在中找到粒子的概率中找到粒子的概率W2為：為：處于第一激發(fā)態(tài)，即處于第一激發(fā)態(tài)，即n=2 時(shí)的狀態(tài)時(shí)的狀態(tài) 例題例題3 一個(gè)質(zhì)子在一維無限深勢(shì)阱中，一個(gè)質(zhì)子在一維無限深勢(shì)阱中，阱寬阱寬a =10-14m。 (1)質(zhì)子的質(zhì)子的最低能量最低能量有多大有多大? (2)由由n =2態(tài)躍遷到態(tài)躍遷到n =1態(tài)態(tài)時(shí)，質(zhì)子放出時(shí)，質(zhì)子放出 多大能量的光子多大能量的光子? 解：解：Phnna22 anhP2 222282mahnmpEEK （2） n=2 1時(shí)：時(shí)：EE2=E18ma23h2=3(6.6310-34)2=9.8710-13 (J)=81.6710-2710-28(6.6

32、310-34)2=3.2910-13 (J)=81.6710-2710-28（1）最小能量為）最小能量為 (n=1時(shí)時(shí))：2222182mahmpEEK 兩種不同金屬材料連接在一起，其接觸面將形成勢(shì)壘，兩種不同金屬材料連接在一起，其接觸面將形成勢(shì)壘，勢(shì)壘高度為勢(shì)壘高度為U0 0。并設(shè)粒子的總能量并設(shè)粒子的總能量En n 勢(shì)壘高度勢(shì)壘高度U0 0。例如：例如： 衰變，衰變， 用經(jīng)典力學(xué)來研究，粒子不能夠穿透勢(shì)壘。在用經(jīng)典力學(xué)來研究，粒子不能夠穿透勢(shì)壘。在勢(shì)壘中無電流產(chǎn)生。勢(shì)壘中無電流產(chǎn)生。 實(shí)驗(yàn)證明，能量低于勢(shì)壘高度的自由電子也能實(shí)驗(yàn)證明，能量低于勢(shì)壘高度的自由電子也能穿透勢(shì)壘進(jìn)入另一金屬區(qū)穿透

33、勢(shì)壘進(jìn)入另一金屬區(qū).四、一維勢(shì)壘、隧道效應(yīng)四、一維勢(shì)壘、隧道效應(yīng)(一維散射問題一維散射問題) )(1x)(2x)(3x粒子在圖中三個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為粒子在圖中三個(gè)區(qū)域的波函數(shù)分別為),(1x),(2x。)(3xmoanE0UU(x)一維方勢(shì)壘是指粒子受到勢(shì)能為一維方勢(shì)壘是指粒子受到勢(shì)能為 ), 0( 0)0( )(0axxaxUxU的作用，的作用，稱為一維方勢(shì)壘稱為一維方勢(shì)壘。0U)(xUaIIIxIIIOE0UE )0(0121212xkdxd)0(0222222axkdxd )(0323232axkdxd 2212mEk 2022)(2EUmk 在三個(gè)區(qū)域內(nèi)的在三個(gè)區(qū)域內(nèi)的波函數(shù)波函數(shù)滿

34、足的滿足的方程方程分別為：分別為：2232mEk xikxikeAeA11211 0U)(xUaIIIxIIIOxkxkBeBe222 )(131axikeC 入射波入射波反射波反射波透射波透射波 考慮粒子是從考慮粒子是從 I 區(qū)入射，在區(qū)入射，在 I 區(qū)中有入射波區(qū)中有入射波反射波；粒子從反射波；粒子從I 區(qū)經(jīng)過區(qū)經(jīng)過II 區(qū)穿過勢(shì)壘到區(qū)穿過勢(shì)壘到 III 區(qū)，區(qū)，在在III 區(qū)只有透射波。區(qū)只有透射波。粒子在處的幾率要大粒子在處的幾率要大于在處出現(xiàn)的幾率。于在處出現(xiàn)的幾率。0 xax )0()0(21 )()(32aa 0201|)(|)( xxdxxddxxd axaxdxxddxxd

35、|)(|)(32 根據(jù)波函數(shù)根據(jù)波函數(shù)單值、連續(xù)單值、連續(xù)的標(biāo)準(zhǔn)條件的標(biāo)準(zhǔn)條件2123| )0(| )(| aP ) 02exp()2exp(| ) 0(| )(|222222kBakBa ) )(22exp()2exp(02EUmaak 透射系數(shù)：透射系數(shù)： 可見，可見，a、m及及(U0-E ) 值越小值越小，粒子的透射，粒子的透射系數(shù)系數(shù)P 越大。越大。 當(dāng)當(dāng) U0 - E=5eV ，勢(shì)壘的寬度約，勢(shì)壘的寬度約50nm 以上時(shí)，透射以上時(shí)，透射系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上（幾乎為零），隧道效應(yīng)實(shí)際系數(shù)會(huì)小六個(gè)數(shù)量級(jí)以上（幾乎為零），隧道效應(yīng)實(shí)際上已經(jīng)沒有意義了。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)趨于一致了。上已

36、經(jīng)沒有意義了。量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)趨于一致了。 , ,并已廣并已廣泛應(yīng)用。例如泛應(yīng)用。例如, , 粒子從放射性核中釋放出來、場(chǎng)致電粒子從放射性核中釋放出來、場(chǎng)致電子發(fā)射及半導(dǎo)體和超導(dǎo)體的隧道器件等都是隧道效應(yīng)的子發(fā)射及半導(dǎo)體和超導(dǎo)體的隧道器件等都是隧道效應(yīng)的結(jié)果結(jié)果如利用隧道效應(yīng)已研制成了隧道二極管和掃描隧如利用隧道效應(yīng)已研制成了隧道二極管和掃描隧道顯微鏡道顯微鏡（簡(jiǎn)稱（簡(jiǎn)稱STM.STM.是研究材料表面結(jié)構(gòu)的重要工是研究材料表面結(jié)構(gòu)的重要工具具) ) 。 隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)： 粒子能穿透比其能粒子能穿透比其能量量 E 更大的于勢(shì)壘高更大的于勢(shì)壘高度度 U0 的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。 ( EU0 ) 電子逸出金屬表面的模型電子逸出金屬表面的模型隧道效應(yīng)隧道效應(yīng)m振子質(zhì)量，振子質(zhì)量， 固有頻率，固有頻率，x位移位移