魏雅薇復(fù)變函數(shù)論第四章ppt課件

1、第四章第四章378700000解析函數(shù)解析函數(shù)冪級數(shù)表示法冪級數(shù)表示法解析函數(shù)冪級數(shù)的表示法1復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)2 冪級數(shù)冪級數(shù)3Taylor 級數(shù)級數(shù)4函數(shù)的零點函數(shù)的零點南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇復(fù)變項級數(shù)復(fù)變項級數(shù)1 1 復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限2 2 復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇復(fù)數(shù)列的極限復(fù)數(shù)列的極限稱稱 為復(fù)數(shù)列為復(fù)數(shù)列, 簡稱簡稱 (1,2,3,)nnnaibn 為數(shù)列為數(shù)列, 記為記為 .n 定義定義 設(shè)設(shè) 是數(shù)列，是數(shù)列， 是常數(shù)是常數(shù). n aib 假如假如e 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng)nN 時時, 不等不等式式 n成立成立,

2、則稱當(dāng)則稱當(dāng)n時時, 收斂于收斂于 na, 或稱或稱 是是 的極限的極限, 記作記作 n lim,nn 或或 .nn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系.lim,limbbaannnn 222()(),()()nnnnnaaaai bbaabb.limaann 即即.limbbnn 同理同理定理定理limnn 的充分必要條件是的充分必要條件是 證明證明 假如假如 那么那么 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N,0, lim,nn 從而有從而有()().nnaibaib 使得當(dāng)使得當(dāng)nN 時時, 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇.2,2 bbaann從而有從而

3、有()().nnnnnaai bbaabb該結(jié)論說明該結(jié)論說明: : 判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別判別復(fù)數(shù)列的斂散性可轉(zhuǎn)化為判別兩個實數(shù)列的斂散性兩個實數(shù)列的斂散性.反之反之, 假如假如 那么那么lim, lim,nnnnaabb 0, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N, 使得當(dāng)使得當(dāng)nN 時時, 所以所以lim.nn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇ninenz )11()1( 因為因為下列數(shù)列是否收斂下列數(shù)列是否收斂, 如果收斂如果收斂, 求出其極限求出其極限.;)11()1(ninenz .sin)11(nnyn ,cos)11(nnxn 所所以以而而. 0lim,1lim nnnnyx解解 例例

4、),sin)(cos11(ninn .cos)2(innzn ,收斂收斂數(shù)列數(shù)列.1lim nnz且且)2(2)(cosnnneeninnz 由于由于,時時當(dāng)當(dāng) n所以數(shù)列發(fā)散所以數(shù)列發(fā)散., nz南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇復(fù)數(shù)項級數(shù)復(fù)數(shù)項級數(shù) nnn 211為復(fù)數(shù)項級數(shù)為復(fù)數(shù)項級數(shù). .稱稱nnkknS 211為該級數(shù)的前為該級數(shù)的前 n 項部分和項部分和.設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)列是復(fù)數(shù)列, 則稱則稱 nnnaib 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇級數(shù)收斂與發(fā)散的概念級數(shù)收斂與發(fā)散的概念定義定義 如果級數(shù)如果級數(shù) nnn 211的部分和數(shù)列的部分和數(shù)列 收斂于復(fù)數(shù)收斂于復(fù)數(shù) S, 則稱級數(shù)收斂則稱級

5、數(shù)收斂, nS這時稱這時稱S為級數(shù)的和為級數(shù)的和, 并記做并記做 1.nnS 假如假如 不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散不收斂，則稱級數(shù)發(fā)散. nS南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系復(fù)數(shù)項級數(shù)與實數(shù)項級數(shù)收斂的關(guān)系定理定理 級數(shù)級數(shù) 收斂的充要收斂的充要11()nnnnnaib 條件是條件是 都收斂都收斂, 并且并且 11, nnnnab111.nnnnnnaib 證明由證明由11:,nnnkknnkkSaibAiB 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇及復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系即可得證。及復(fù)數(shù)列收斂與實數(shù)列收斂的關(guān)系即可得證。說明說明 復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題復(fù)數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩

6、個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題兩個實數(shù)項級數(shù)的收斂問題 定理定理 級數(shù)級數(shù) 收斂的充要條件為：對任意收斂的充要條件為：對任意1nn 的的 存在正整數(shù)存在正整數(shù)N,當(dāng)當(dāng)nN 且且p為任意正整數(shù)時，為任意正整數(shù)時，由柯西收斂準(zhǔn)則由柯西收斂準(zhǔn)則012|nnn p 當(dāng)當(dāng)p=1時，則有時，則有 ， 即收斂級數(shù)的通項即收斂級數(shù)的通項必趨于零。必趨于零。1|n級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件lim0.nn 推論推論 如果級數(shù)如果級數(shù) 收斂收斂, 那么那么 1nn 證明由定理及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要證明由定理及實數(shù)項級數(shù)收斂的必要條件條件 知知, lim0, lim0nnnnablim0.nn 重要結(jié)論重要結(jié)論:

7、: 發(fā)散發(fā)散. .1lim0nnnn 于是在判別級數(shù)的斂散性時于是在判別級數(shù)的斂散性時, 可先考察可先考察lim0.nn ?南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇解解 因為級數(shù)因為級數(shù)2111 nnnbn 收斂收斂, 所以原復(fù)數(shù)項級數(shù)發(fā)散所以原復(fù)數(shù)項級數(shù)發(fā)散. 例例 級數(shù)級數(shù) 是否收斂是否收斂?111ninn 111nnnan 發(fā)散發(fā)散, 而級數(shù)而級數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù)非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù). .定義定義 設(shè)設(shè) 是復(fù)數(shù)項級數(shù)是復(fù)數(shù)項級數(shù), 假如假如1nn 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂, 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 絕對收斂絕對收斂. 1nn 1nn 絕對收斂級

8、數(shù)的性質(zhì)絕對收斂級數(shù)的性質(zhì)定理定理 若級數(shù)若級數(shù) 絕對收斂絕對收斂, 則它收斂則它收斂, 1nn 并且并且11.nnnn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇證明證明 由于由于 而而22,nnnnnabab 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂, 由正項級數(shù)收斂的比較判別法由正項級數(shù)收斂的比較判別法,1nn 知知 和和 收斂收斂. 從而從而 和和 絕絕對對 1nna 1nnb 1nna 1nnb 收斂收斂, 故收斂故收斂. 因此級數(shù)因此級數(shù) 收斂收斂.1nn 因為因為 所以所以11,nnkkkk 1111limlim.nnkkkknnkkkk 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇補(bǔ)充補(bǔ)充 因為因為 所以所以22,nnnnn

9、abab 221111.nnnnkkkkkkkkkabab 綜上可得綜上可得: :因而因而, 假如假如 和和 都絕對收斂時都絕對收斂時, 也也 1nna 1nnb 1nn 絕對收斂絕對收斂. 1nn 絕對收斂絕對收斂 和和 都絕對收斂都絕對收斂. 1nna 1nnb 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇都收斂都收斂, 故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂. 但是級數(shù)但是級數(shù)條件收斂條件收斂, 所以原級數(shù)非絕對收斂所以原級數(shù)非絕對收斂, 是條件收斂的是條件收斂的.解解 因為因為例例 級數(shù)級數(shù) 是否絕對收斂是否絕對收斂? ? 1( 1)1 2nnnin 11( 1)1, 2nnnnn 1( 1)nnn 南開大學(xué)南開

10、大學(xué) 魏雅薇魏雅薇定理定理 設(shè)設(shè) 是收斂數(shù)列，則其有界是收斂數(shù)列，則其有界, 即即 n 存在存在M0, 使得使得 (1,2,3,).nM n 定理定理 設(shè)設(shè) 和和 都是絕對收斂級數(shù)都是絕對收斂級數(shù), 1nn 1nn 令令 1221 (1, 2, 3,),nnnnn 那么那么(柯西積柯西積)級數(shù)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂, 并且并且 1nn 111.nnnnnn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項函數(shù)項級數(shù)級數(shù)一致收斂一致收斂的復(fù)函數(shù)的復(fù)函數(shù)項級數(shù)項級數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇為復(fù)變函數(shù)項級數(shù)為復(fù)變函數(shù)項級數(shù). . 121( )( )( )( )nnnfzf zfzfz

11、)()()()(21zfzfzfzSnn 為該級數(shù)前為該級數(shù)前n n項的部分和項的部分和. .設(shè)設(shè) 是定義在區(qū)域是定義在區(qū)域D上的復(fù)變函數(shù)列上的復(fù)變函數(shù)列, ( )nfz稱稱函數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 )()()()(21zfzfzfzSn稱為該級數(shù)在區(qū)域稱為該級數(shù)在區(qū)域D上的和函數(shù)上的和函數(shù).如果對如果對 級數(shù)級數(shù) 收斂收斂, 即即 0,zD 01()nnfz 00lim()(),nnSzS z 則稱級數(shù)則稱級數(shù) 在在 點收斂點收斂, 且且 是級數(shù)和是級數(shù)和. 1( )nnfz 0z0()S z如果級數(shù)如果級數(shù) 在在D內(nèi)處處收斂內(nèi)處處收斂, 則稱其在則稱其在 1( )

12、nnfz 區(qū)域區(qū)域D內(nèi)收斂內(nèi)收斂. 此時級數(shù)的和是函數(shù)此時級數(shù)的和是函數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù)一致收斂的復(fù)函數(shù)項級數(shù) 定義定義: : 如果任給如果任給 可以找到一個只與可以找到一個只與 有關(guān)有關(guān), ,而與而與z z無關(guān)的正整數(shù)無關(guān)的正整數(shù) , ,使得當(dāng)使得當(dāng)時時, ,有有0,nN zE)(NN .| )()(|1zfzfnkk那么我們說級數(shù)那么我們說級數(shù) 在在E E上一致收斂于上一致收斂于f(z).f(z).1( )nnfz南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 和實變函數(shù)項級數(shù)和序列一樣，我們也有和實變函數(shù)項級數(shù)和序列一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：相應(yīng)的柯西一致

13、收斂原理：柯西一致收斂原理復(fù)變函數(shù)項級數(shù)）：復(fù)變函數(shù)柯西一致收斂原理復(fù)變函數(shù)項級數(shù)）：復(fù)變函數(shù)項級數(shù)項級數(shù) 在在E E上一致收斂的必要與充分條件是上一致收斂的必要與充分條件是：任給：任給 , ,可以找到一個只與可以找到一個只與 有關(guān)，而與有關(guān)，而與z z無無關(guān)的正整數(shù)關(guān)的正整數(shù) , ,使得當(dāng)使得當(dāng)p=1,2,3,p=1,2,3,時，有時，有0)(NN EzNn,.| )(.)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 設(shè)在復(fù)平面點集設(shè)在復(fù)平面點集E E上上,.)2 , 1)(nzfn有定義，并且設(shè)有定義，并且設(shè).21naaa是一個收斂的正項級數(shù)是一個收斂的正項級數(shù)

14、. .設(shè)在設(shè)在E E上，上，1( )nnfz,.),2 , 1( | )(|nazfnn那么級數(shù)那么級數(shù) 在在E E上絕對收斂且一致收斂。上絕對收斂且一致收斂。南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法M-M-判別法）判別法） 設(shè)設(shè) 的各項的各項fn(z)(n=1,2,),fn(z)(n=1,2,),在復(fù)平面點集在復(fù)平面點集E E上連續(xù)，并且上連續(xù)，并且一致收斂于一致收斂于f(z) , f(z) , 那么那么f(z) f(z) 在在E E上連續(xù)上連續(xù). .)(zfn南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇與數(shù)學(xué)分析中平行的定理與數(shù)學(xué)分析中平行的定理)(zfn在

15、在E E上上定理定理 設(shè) 級 數(shù)設(shè) 級 數(shù) 的 各 項的 各 項fn(z)(n=1,2,),fn(z)(n=1,2,), 在簡單曲線在簡單曲線C C上連續(xù)，并且級數(shù)上連續(xù)，并且級數(shù) )(zfn1( )( ).nCCnfz dzf z dz南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇定理定理)(zfn在在C C上一致收斂于上一致收斂于f(z),f(z),那么在那么在C C上可以逐項積分上可以逐項積分注解注解1 1、在研究復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)的問題、在研究復(fù)變函數(shù)項級數(shù)的逐項求導(dǎo)的問題時，我們一般考慮解析函數(shù)項級數(shù)；時，我們一般考慮解析函數(shù)項級數(shù)；南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇注解注解2 2、我們主要用摩勒

16、拉定理及柯西公式來研究和、我們主要用摩勒拉定理及柯西公式來研究和函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。內(nèi)閉一致收斂：內(nèi)閉一致收斂： 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )(1,2,.)nfzn )(zfn南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇定義在復(fù)平面定義在復(fù)平面C C上的上的區(qū)域區(qū)域D D內(nèi)，如果級數(shù)內(nèi)，如果級數(shù)在在D D內(nèi)任一有界閉區(qū)域內(nèi)任一有界閉區(qū)域上一致收斂于上一致收斂于f(z)f(z)，那么此級數(shù)在那么此級數(shù)在D D中內(nèi)閉一致收斂于中內(nèi)閉一致收斂于f(z)f(z)。定理：定理：級數(shù)級數(shù) 在圓內(nèi)在圓內(nèi)K: |z - a|R內(nèi)閉一致收斂內(nèi)閉一致收斂)(zfn的充要條件為：對任意正數(shù)的充要條件為：對任意正數(shù)r

17、, 只要只要r0,使得閉圓使得閉圓0:|rKzzr全含于全含于D內(nèi)。若內(nèi)。若C為為D內(nèi)任一內(nèi)任一周線，由柯西定理周線，由柯西定理( )0,1,2,.nCfz dzn, 0)()(1nCnCdzzfdzzf再由于再由于z0z0是是D D內(nèi)任意一點，因此內(nèi)任意一點，因此f (z)f (z)在在D D內(nèi)解析。內(nèi)解析。 其次，設(shè)其次，設(shè) 的邊界即圓的邊界即圓K K也在也在D D內(nèi)，于是內(nèi)，于是南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇且且 在在D D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z), f(z), 并且并且)(zfn( )(1,2,.)nfzn 是連續(xù)的，從而是連續(xù)的，從而f(z)在閉圓在閉圓rK連續(xù)，

18、并且連續(xù)，并且于是根據(jù)摩勒拉定理，可見于是根據(jù)摩勒拉定理，可見f (z)f (z)在在 內(nèi)解析。內(nèi)解析。rKrK()010!( )(),2()kkKkfzfzdzizz()010( )!(),1, 2,.2()knnkKfzkfzdzkizz對于對于 一致收斂于一致收斂于 。Kz10)()(kzzzf11100( )!( )!,2()2()nkkKKnfzkf zkdzdzizzizz也就是也就是,.)3 , 2 , 1( , )()(1)()(kzfzfnknk南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇110)()(nknzzzf由逐項可積定理，由逐項可積定理， 我們有我們有冪級數(shù)冪級數(shù)1 1 冪級數(shù)的

19、概念冪級數(shù)的概念2 2 冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性3 3 冪級數(shù)的性質(zhì)冪級數(shù)的性質(zhì)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇20120()()()nnnc zacc zac za 20121,nnnnnc zcc zc zc z 這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù)這類函數(shù)項級數(shù)稱為冪級數(shù).當(dāng)當(dāng) 或或 時時,110( )()nnnfzczz 11( )nnnfzcz 或或 的特殊情形的特殊情形00z 函數(shù)項級數(shù)的形式為函數(shù)項級數(shù)的形式為(),nncza 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇冪級數(shù)的概念冪級數(shù)的概念定理定理 (Abel定理定理)若級數(shù)若級數(shù) 在在 0nnnc z 10z 處收斂，則當(dāng)處收斂，則當(dāng) 時時, 級

20、數(shù)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂0nnnc z 1zz 若級數(shù)若級數(shù) 在在 處發(fā)散，則當(dāng)處發(fā)散，則當(dāng) 時時, 0nnnc z 2z2zz 0nnnc z 發(fā)散發(fā)散. 冪級數(shù)的斂散性冪級數(shù)的斂散性南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇且內(nèi)閉一致收斂且內(nèi)閉一致收斂; 級數(shù)級數(shù)因而存在正數(shù)因而存在正數(shù)M, 使得使得1 (1,2,3,). nnc zM n 當(dāng)當(dāng) 時時, 記記 于是于是,1zz 1 1 , zqqz11.nnnnnnnzc zc zMqz 由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知, 收斂收斂, 因而因而0nnnc z 證明證明 若級數(shù)若級數(shù) 收斂收斂, 那么那么 10nnnc z 1lim0.

21、nnnc z 級數(shù)級數(shù) 絕對收斂絕對收斂. 0nnnc z 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇其余的結(jié)論用反證法易得其余的結(jié)論用反證法易得.其次，在其次，在 內(nèi)的任一閉圓內(nèi)的任一閉圓1:|(0|)rKzrrz上的一切點，有上的一切點，有11|nnnnzrc zMMzz由正項級數(shù)的比較判別法知由正項級數(shù)的比較判別法知, 級數(shù)級數(shù) 在閉圓在閉圓0nnnc z rK上一致收斂上一致收斂. 從而有級數(shù)從而有級數(shù) 絕對收斂且內(nèi)閉絕對收斂且內(nèi)閉0nnnc z 一致收斂。一致收斂。1zz 2. 收斂圓與收斂半徑收斂圓與收斂半徑（1對所有的復(fù)數(shù)都收斂對所有的復(fù)數(shù)都收斂.例如例如, 級數(shù)級數(shù) nnnzzz2221對

22、任意固定的對任意固定的z, 從某個從某個n開始開始, 總有總有,21 nz于是有于是有,21nnnnz 故該級數(shù)對任意的故該級數(shù)對任意的z均收斂均收斂.（2） 對所有的復(fù)數(shù)，除對所有的復(fù)數(shù)，除 z=0 外都發(fā)散外都發(fā)散.例如，級數(shù)例如，級數(shù) nnznzz2221, 0 時時當(dāng)當(dāng) z通項不趨于零通項不趨于零, 故級數(shù)發(fā)散故級數(shù)發(fā)散.對于一個冪級數(shù)對于一個冪級數(shù) , 其收斂的情況有三種其收斂的情況有三種: 0nnnzcxyo. .R收斂圓收斂圓收斂半徑收斂半徑冪級數(shù)冪級數(shù) 0nnnzc的收斂范圍是以原點為中心的圓域的收斂范圍是以原點為中心的圓域. （3既存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù)既存在使級數(shù)收斂的復(fù)數(shù)

23、, 也存在使級數(shù)也存在使級數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù)發(fā)散的復(fù)數(shù) . 由阿貝爾定理，由阿貝爾定理， zzcnnn0 在在圓圓周周外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓周周 z, 0內(nèi)內(nèi)絕絕對對收收斂斂在在圓圓周周Rzzcnnn 外外發(fā)發(fā)散散在在圓圓周周Rz 則存在正數(shù)則存在正數(shù)R，, 內(nèi)絕對收斂內(nèi)絕對收斂答案答案:. 0為為中中心心的的圓圓域域是是以以zz 冪級數(shù)冪級數(shù) 00)(nnnzzc的收斂范圍是何區(qū)域的收斂范圍是何區(qū)域?問題問題1: 在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散, 不能作出不能作出一般的結(jié)論一般的結(jié)論, 要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.注意注意問題問題2: 冪級數(shù)在收斂圓周上的

24、斂散性如何冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形收斂半徑根據(jù)前面所述的三種情形, 分別分別, 0, . R規(guī)定為規(guī)定為例如例如, 級數(shù)級數(shù): 0200nnnnnnnznzz1, 1 zR收收斂斂圓圓周周均均為為收斂圓周上無收斂點收斂圓周上無收斂點;,1在在其其它它點點都都收收斂斂發(fā)發(fā)散散在在點點 z在收斂圓周上處處收斂在收斂圓周上處處收斂.南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 討論級數(shù)討論級數(shù) 和和 的收斂性的收斂性. 1nnzn 21nnzn 解級數(shù)解級數(shù) 在在 點收斂點收斂, 但在但在 1nnzn 1z 1z 1nnzn 1.R 因此級數(shù)因此級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑

25、點點, 級數(shù)級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 1nnzn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇顯然顯然, 級數(shù)級數(shù) 在在 上處處絕對收斂上處處絕對收斂 . 21nnzn 1z 但當(dāng)?shù)?dāng) 時時, 1 (0)z 2(1)lim.nnn 因此當(dāng)因此當(dāng) 時時, 級數(shù)級數(shù) 發(fā)散發(fā)散. 1z 21nnzn 因為因為 是任意的是任意的, 故當(dāng)故當(dāng) 時時, 級數(shù)級數(shù) 0 1z 21nnzn 處處發(fā)散處處發(fā)散. 1.R 所以所以, 收斂半徑為收斂半徑為南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇解解2111(1).1nnnzSzzzzz 1 z1lim1nnSz 級數(shù)級數(shù) 0nnz收斂收斂,1 z0lim nnz級數(shù)級數(shù) 0nnz發(fā)散發(fā)散.絕對收

26、斂絕對收斂, 且有且有在在 內(nèi)內(nèi), 級數(shù)級數(shù)1z 0nnz例例 求級數(shù)求級數(shù) 的和函數(shù)與收斂半徑的和函數(shù)與收斂半徑. .0nnz 所以收斂半徑所以收斂半徑1,R 11.1nnzz 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇收斂半徑的計算方法收斂半徑的計算方法( (一一) )(3) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 .1 R0 1lim,nnncc ;R (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 0 0;R (2) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 定理定理 (比值法比值法)設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 假如假如0.nnnc z 那那么么南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇收斂半徑的計算方法收斂半徑的計算方法( (二二) )(3) 當(dāng)

27、當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 .1 R0 lim,nnnc ;R (1) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 0 0;R (2) 當(dāng)當(dāng) 時時, 收斂半徑收斂半徑 定理定理 (根值法根值法)設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù) 假如假如0.nnnc z 那那么么南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例求下列冪級數(shù)的收斂半徑求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1) 13nnnz(并討論在收斂圓周上的情形并討論在收斂圓周上的情形)(2) 1)1(nnnz(并討論并討論2,0 z時的情形時的情形)或或nnncR1lim 解解 (1)1lim nnnccR3)1(limnnn , 1 . 1lim3 nnn所以收斂半徑所以收斂半徑, 1 R即原級

28、數(shù)在圓即原級數(shù)在圓1 z內(nèi)收斂內(nèi)收斂, 在圓外發(fā)散在圓外發(fā)散, 收斂的收斂的p級數(shù)級數(shù) ).13( p所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周在圓周1 z上上, 級數(shù)級數(shù) 13131nnnnnz 本例中在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點本例中在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點, 也有級數(shù)的發(fā)散點也有級數(shù)的發(fā)散點.,0時時當(dāng)當(dāng) z原級數(shù)成為原級數(shù)成為,1)1(1 nnn交錯級數(shù)交錯級數(shù), 收斂收斂.,2時時當(dāng)當(dāng) z發(fā)散發(fā)散.原級數(shù)成為原級數(shù)成為,11 nn調(diào)和級數(shù)，調(diào)和級數(shù)，(2)nnccRnnnn1limlim1 ,1 incncos 因為因為1lim nnnccR所以收斂

29、半徑為所以收斂半徑為 0)(cosnnzin例例求冪級數(shù)求冪級數(shù) 的收斂半徑的收斂半徑:解解),(21nnee .1e 11lim nnnnneeee1221lim nnneee冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)冪級數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)1.1.冪級數(shù)的有理運(yùn)算冪級數(shù)的有理運(yùn)算.,)(,)(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設(shè)設(shè),)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf Rz ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz ),min(21rrR 2. 冪級數(shù)的代換冪級數(shù)的代換(復(fù)合復(fù)合)運(yùn)算運(yùn)算如果當(dāng)如果當(dāng)rz 時時,)(0 nnn

30、zazf又設(shè)在又設(shè)在Rz 內(nèi)內(nèi))(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那么當(dāng)那么當(dāng)Rz 時時, 0.)()(nnnzgazgf說明說明: 此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù)此代換運(yùn)算常應(yīng)用于將函數(shù)展開成冪級數(shù). 00)(nnnzzc定理定理設(shè)冪級數(shù)設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為的收斂半徑為,R那么那么(2)(zf在收斂圓在收斂圓Rzz 0內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項求導(dǎo)得到級數(shù)逐項求導(dǎo)得到, .)()(110 nnnzznczf即即是收斂圓是收斂圓Rzz 0內(nèi)部的解析函數(shù)內(nèi)部的解析函數(shù) . 00)()( nnnzzczf它它的的和和函函數(shù)數(shù)(1)3. 復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)復(fù)變冪級數(shù)

31、在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)(3)(zf在收斂圓內(nèi)可以逐項積分在收斂圓內(nèi)可以逐項積分, 00.,d)(d )(nCnnCRazCzzzczzf 010.)(1d)( nnnCzznczzf或或簡言之簡言之: 在收斂圓內(nèi)在收斂圓內(nèi), 冪級數(shù)的和函數(shù)解析冪級數(shù)的和函數(shù)解析; 冪級數(shù)可逐項求導(dǎo)冪級數(shù)可逐項求導(dǎo), , 逐項積分逐項積分. .(常用于求和函數(shù)常用于求和函數(shù))即即例例 把函數(shù)把函數(shù) 表示成形如表示成形如bz 1 0)(nnnazc的冪級數(shù)的冪級數(shù), 其中其中a與與b是不相等的復(fù)常數(shù)是不相等的復(fù)常數(shù) . bz1)()(1abaz 11.1zababa 代數(shù)變形代數(shù)變形 , 使其分母中出現(xiàn)使其分母中出現(xiàn))

32、(az 湊出湊出)(11zg 解解 把函數(shù)把函數(shù) 寫成如下的形式寫成如下的形式:bz 1南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇211.1nzazazazababababa 2231111()()()()zazazbbababa 11().()nnzaba 當(dāng)當(dāng) 即即 時時,1,zaba zaRba所以所以南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 求求 的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù). . 11)12(nnnz112111(21) .121(12 )(1)2nnnzzzzzz 解解 因為因為 所以所以1121limlim2,21nnnnnncc 1.2R 111112222.12nnnnnnzzz 當(dāng)當(dāng)

33、 時時,12z 又因為又因為 從而從而, 111 1 ,1nnzzz 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 求求 的收斂半徑與和函數(shù)的收斂半徑與和函數(shù). . 0)1(nnzn利用逐項積分得利用逐項積分得100000(1)d(1)d.1zznnnnnnznzznzzzz 所以所以 201(1) 1 .1(1)nnznzzzz 解解 因為因為 所以所以12limlim1,1nnnncncn 1.R 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇Taylor級數(shù)級數(shù)1 Taylor 級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理 2 將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成Taylor級數(shù)級數(shù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇實函數(shù)在一點的鄰域內(nèi)展開成實函數(shù)

34、在一點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)是級數(shù)是非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)非常重要的問題，它是表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具以及進(jìn)行數(shù)值計算的一種工具. 對于復(fù)變函數(shù)對于復(fù)變函數(shù), 我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂我們已經(jīng)知道冪級數(shù)在收斂圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù)圓域內(nèi)收斂于解析函數(shù). 在本節(jié)我們將證明解析在本節(jié)我們將證明解析函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)函數(shù)在解析點的某鄰域內(nèi)一定能夠展開成冪級數(shù)Taylor級數(shù)級數(shù). 這是解析函數(shù)的重要特征這是解析函數(shù)的重要特征. Taylor級數(shù)展開定理級數(shù)展開定理南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇為了證明為了證明Taylor展開定

35、理展開定理, 我們首先介紹下面我們首先介紹下面一個關(guān)于逐項積分的引理一個關(guān)于逐項積分的引理.引理引理 設(shè)設(shè) 都是在分段光滑都是在分段光滑 ( ) 0,1,2,nfzn (或可求長或可求長)曲線曲線C上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 且級數(shù)且級數(shù) 0( )nnfz 在在C上收斂于函數(shù)上收斂于函數(shù) ( ).f z如果存在收斂的正項如果存在收斂的正項級數(shù)級數(shù) 0,nnM 使得在使得在C上上,( ) (0,1,2,),nnfzMn 那么那么 是是C上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), 且且 ( )f z0( )d( )d .nCCnf zzfzz 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇R為為 到到D邊界的距離邊界的距離0z定

36、理定理 (Taylor展開定理展開定理) 設(shè)設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域D)(zf內(nèi)解析內(nèi)解析, ,0z為為D內(nèi)的一點內(nèi)的一點,)()(00 nnnzzczf 0, 1, 2,.n D0z.R(D是全平面時是全平面時, R=+), 那么那么 在在 內(nèi)內(nèi)可可0zzR ( )f z可展開為冪級數(shù)可展開為冪級數(shù) 其中其中( )01()!nncfzn 系數(shù)系數(shù)cn按上述表示的冪級數(shù)稱為按上述表示的冪級數(shù)稱為( )f z在在 點的點的Taylor級數(shù)級數(shù). 0z南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇1( )( )d .2Cff ziz Dz.r0z.C. R證明證明 對對 內(nèi)任意一點內(nèi)任意一點z,z,0zzR 存在存在 r

37、0, 使得使得 并且并且 ,rR 0.zzr 以以z0為圓心為圓心, r為半徑為半徑0:.Czr 作正向圓周作正向圓周由由Cauchy積分公式積分公式 因為當(dāng)因為當(dāng) 時時,C 00,zzzr 于是類似于前例于是類似于前例南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇000001111()()1zzzzzzzz 01001() .()nnnzzz 01001( )( )()d .2()nnncff zzziz 從而從而下面證明積分號下的級數(shù)可在下面證明積分號下的級數(shù)可在C上逐項積分上逐項積分. 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇因為因為 是是 D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), 所以所以 在在C( )f z( )f z上

38、有界上有界, 即存在即存在 使得當(dāng)使得當(dāng) 時時, 0,M C ( ).fM 因而因而, 當(dāng)當(dāng) , 在在 上上, 0:Czr 001000( )( )()2()2nnnfzzfzzizzz ,22nnMMqrrr 其中其中, 1.qr 前面積分號下的級數(shù)可在前面積分號下的級數(shù)可在C上逐項積分上逐項積分.記記 則由引理則由引理 ,2nnMMqr 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇0zzr 再根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式再根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)公式 01001( )( )()d2()nnncff zzziz 01001( )d()2()nnncfzziz ( )000()() .!nnnfzzzn 此定理此定理 給出了函數(shù)在

39、給出了函數(shù)在 z0點的鄰域內(nèi)展開成點的鄰域內(nèi)展開成Taylor級數(shù)的公式級數(shù)的公式, 同時給出了展開式的收斂半同時給出了展開式的收斂半徑徑R=|z0-a|, 其中其中a 是離是離z0最近的最近的 f (z)的奇點的奇點.南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇Taylor展開式的惟一性定理展開式的惟一性定理定理定理 設(shè)設(shè) ( )f z是是 D上的解析函數(shù)上的解析函數(shù), 0z是是 D內(nèi)的點，且在內(nèi)的點，且在 0zzR 內(nèi)可展成冪級數(shù)內(nèi)可展成冪級數(shù)00( )() ,nnnf zczz 則這個冪級數(shù)是則這個冪級數(shù)是 ( )f z在在0z點的點的Taylor級數(shù)，即級數(shù)，即( )0() (0,1, 2,).!n

40、nfzcnn 注注 這個定理為把函數(shù)展開成這個定理為把函數(shù)展開成Taylor級數(shù)的間接級數(shù)的間接方法奠定了基礎(chǔ)方法奠定了基礎(chǔ).南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇說明說明:1.由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要由泰勒定理，復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實函數(shù)時弱比實函數(shù)時弱; ; , , )( . 200zRzRDzf 即即之間的距離之間的距離到最近一個奇點到最近一個奇點等于等于冪級數(shù)的收斂半徑冪級數(shù)的收斂半徑則則內(nèi)有奇點內(nèi)有奇點在在如果如果yxz0 O O )(在在收收斂斂圓圓內(nèi)內(nèi)解解析析，因因為為zf可可以以擴(kuò)擴(kuò)大大則則收收斂斂半半徑徑還還不不可可能能在在收收斂斂圓圓外外，否否又又因因

41、為為奇奇點點 不可能在收斂圓內(nèi)不可能在收斂圓內(nèi)故奇點故奇點 只能在收斂圓周上只能在收斂圓周上因此奇點因此奇點 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 4. 由泰勒定理及冪級數(shù)的性質(zhì)得由泰勒定理及冪級數(shù)的性質(zhì)得:函數(shù)在一點解析的函數(shù)在一點解析的充要條件是它在該點的鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)充要條件是它在該點的鄰域內(nèi)可以展開為冪級數(shù)(解析的第四個充要條件解析的第四個充要條件)0zR( )f z若函數(shù)有有限個奇點，0( )Rzf z的 就等于從 到的最近一個奇點0( )f zz那么在 的泰勒展開式成立0.Rz之間的距離，即南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇將函數(shù)展開成將函數(shù)展開成TaylorTaylor級數(shù)級數(shù)將函

42、數(shù)展開為將函數(shù)展開為TaylorTaylor級數(shù)的方法級數(shù)的方法: :1. 直接方法直接方法; 2. 間接方法間接方法.1. 直接方法直接方法 ( )01()0,1,2,!nncfznn由由Taylor展開定理計算級數(shù)的系數(shù)展開定理計算級數(shù)的系數(shù)然后將函數(shù)然后將函數(shù) f (z)在在z0 展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù).南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 求求( )zf ze 在在0z 的的Taylor展開式展開式.( )( )00(0)()1,nznzzzfee 所以它在所以它在 0z 處的處的Taylor級數(shù)為級數(shù)為( )00(0)!nnznnnfzeznn 21,2!nzzzn 并且收斂半徑并且

43、收斂半徑.R 解解 因為因為( )zf ze 在復(fù)平面上解析，且在復(fù)平面上解析，且 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇2. 間接方法間接方法 借助于一些已知函數(shù)的展開式借助于一些已知函數(shù)的展開式 , 結(jié)合解析結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)的性質(zhì), 冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì) (逐項求導(dǎo)逐項求導(dǎo), 逐項逐項積分等積分等)和其它的數(shù)學(xué)技巧和其它的數(shù)學(xué)技巧 (代換等代換等) , 求函數(shù)的求函數(shù)的Taylor展開式展開式.間接法的優(yōu)點間接法的優(yōu)點: : 不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑 , 因而比直因而比直接展開更為簡潔接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛使用范圍也更為廣泛 .南開大學(xué)南開

44、大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 利用利用00111cos( )(),22!iziznnnneeziziznn 22420( 1)cos1( 1),(2 )!2!4!(2 )!nnnnnzzzzznn 并且收斂半徑并且收斂半徑.R 同理同理210( 1)sin(21)!nnnzzn 3521( 1) .3!5!(21)!nnzzzzzn 本例利用直接方法也很簡單本例利用直接方法也很簡單以及以及可得可得 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 201 .!2!nnznzzzezznn 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 例例 求求 21( )(1)f zz 在在0z 點鄰域內(nèi)點鄰域內(nèi) 的的Taylor級數(shù)級數(shù)

45、. 解解11z 是是( )f z的惟一奇點的惟一奇點, 且且 101,z 故收斂半徑故收斂半徑1.R 在在逐項求導(dǎo)，逐項求導(dǎo)， 221123( 1) (1) 1 .(1)nnzznzzz 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇 01 1 .1nnzzz 中，用中，用z替換替換-z, 那么那么 例例 將將 221( )1f zz 展開為展開為z的冪級數(shù)的冪級數(shù). 201( 1) (1) 1 ,(1)nnnn 令令 那么那么 2,z 22201( 1) (1)(1)nnnnzz 242123( 1) (1) 1 .nnzznzz 解解 根據(jù)前例，根據(jù)前例， 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 求對數(shù)函數(shù)求

46、對數(shù)函數(shù) 的主值的主值 在在z=0點點的的Taylor級數(shù)級數(shù). 負(fù)實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析負(fù)實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因為因為 1ln(1),1zz 并且由并且由 有有 211( 1) 1 ,1nnzzzzz 解解 函數(shù)函數(shù) n(1)Lz 在復(fù)平面中割去從點在復(fù)平面中割去從點-1沿沿 11 1 .1nnzzz 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇n(1)Lz 所以所以 ln(1) z 根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì) ，把上式逐項積分，得，把上式逐項積分，得10( 1)ln(1)1nnnzzn 231( 1) 1 .23nnzzzzzn 21( 1) 1 .nnzzzz 1

47、 Ro1 1xy南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇例例 求一般冪函數(shù)求一般冪函數(shù) (1) z (a為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù))的主值的主值 ln(1)( ), (0)1zf zef 在在z=0點的點的Taylor展開式展開式. 實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析實軸向左的射線的區(qū)域內(nèi)解析. 1 Ro1 1xy因此在因此在 內(nèi)內(nèi), 1z 可展開為可展開為z的冪級數(shù)的冪級數(shù). ( )f z根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則, 按照直接方法展開如下按照直接方法展開如下:解解 顯然顯然, ( )f z在復(fù)平面中割去從點在復(fù)平面中割去從點-1沿負(fù)沿負(fù)南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇ln(1)(1)ln(1)1( ),1zzf

48、zeez (2)ln(1)( )(1),zfze ( )()ln(1)( )(1)(1),nnzfzne 令令z=0, 有有 (0)1,(0),(0)(1),fff ( )(0)(1)(1), nfn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇于是于是(1) z (1)(1)!nnzn 23(1)(1)(2)12!3!zzz 1 .z 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇1111( )111,111(1)2212zf zzzzz 例例 將函數(shù)將函數(shù) ( )1zf zz 在在01z 處展開處展開 成成Taylor級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍級數(shù)，并指出該級數(shù)的收斂范圍. 10011(1)( )1( 1)1( 1)

49、.222nnnnnnnzzf z 當(dāng)當(dāng) 即即 時時,11,2z 12z 解解南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇常見函數(shù)的常見函數(shù)的Taylor展開式展開式20(1)1,2!nnznzzzeznn 201(2)1,1nnnzzzzz 201(3)1( 1)( 1),1nnnnnzzzzz 3521(4)sin( 1),3!5!(21)!nnzzzzzn )1( z)1( z)( z)( z南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇242(5)cos1( 1),2!4!(2 )!nnzzzzn )( z231(6) ln(1)( 1),231nnzzzzzn 011)1(nnnnz)1( z23(1)(1)(2)

50、(7)(1)12!3!zzzz ,!)1()1( nznn )1( z南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇函數(shù)的零點函數(shù)的零點1 函數(shù)的零點函數(shù)的零點2 最大模原理最大模原理南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇函數(shù)的零點函數(shù)的零點定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z)在區(qū)域在區(qū)域 D內(nèi)的一點內(nèi)的一點z0的值的值為零，則稱為零，則稱z0為函數(shù)為函數(shù)f (z)的零點的零點. 定義定義 如果函數(shù)如果函數(shù)f (z)在其零點在其零點z0的某個鄰域的某個鄰域 00(, ) B zzzz 內(nèi)解析，并且在該鄰域內(nèi)內(nèi)解析，并且在該鄰域內(nèi)沒有其他零點沒有其他零點, 則稱則稱z0為為f (z)的孤立零點的孤立零點. 在本段中在本段中

51、, 我們將介紹解析函數(shù)的零點概念我們將介紹解析函數(shù)的零點概念, 并并證明零點的孤立性以及解析函數(shù)的惟一性定理證明零點的孤立性以及解析函數(shù)的惟一性定理.南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇定義定義 如果解析函數(shù)如果解析函數(shù)f (z)在點在點z0的鄰域內(nèi)的鄰域內(nèi) 可以表示為可以表示為 0( )()( ),mf zzzz 其中其中 ( ) z 在點在點z0解析解析, 且且 0()0, 1,zm 則稱則稱z0 為為f (z)的的m級零點級零點. 設(shè)設(shè)z0是函數(shù)是函數(shù)f (z)的孤立零點的孤立零點, 那么根據(jù)那么根據(jù)f (z)在在 z0點的點的Taylor展開式可知展開式可知, 存在正整數(shù)存在正整數(shù)m, 使得

52、使得 0( )()( ),mf zzzz 其中其中 ( ) z 在點在點z0解析解析, 且且 0()0.z 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇m 級零點的判別方法級零點的判別方法證明證明 (必要性必要性)0z假如假如為為的的m級零點級零點,)(zf( )()00()0,(0,1,2,1); ()0.nmfznmfz定理定理 不恒為零的解析函數(shù)不恒為零的解析函數(shù)f (z)以以z0為為m級級 零點的充分必要條件是零點的充分必要條件是 則存在則存在 0z的一個的一個d 鄰域鄰域 0(, ),B z 使得在該鄰域內(nèi)使得在該鄰域內(nèi) 0( )()( ),mf zzzz 其中其中 解析解析, ( ) z 0()

53、0.z 設(shè)設(shè) 在在 ( ) z 0(, )B z 中展開中展開 成成Taylor級數(shù)為級數(shù)為 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇000()( )()()1!zzzzz ( )000()() ,!nnzzzzzn 那么那么0( )()( )mf zzzz 10000()()()()1!mmzzzzzz ( )000()() .!nm nzzzzzn 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇根據(jù)根據(jù) , 這就是這就是f (z)在在 0zz 中的中的TaylorTaylor展開式，由此可見展開式，由此可見(1)000()()()0, mf zfzfz ()00()()!0.mfzz m (充分性充分性) 因為因為

54、f (z)在點在點z0解析解析, 由由 存在存在z0的鄰域的鄰域 00(, ) ,B zzzz 使得使得f (z)在在該鄰域內(nèi)可展開成該鄰域內(nèi)可展開成Taylor級數(shù)級數(shù). 由已知條件知由已知條件知, 該該級數(shù)為級數(shù)為南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇()(1)10000()()( )()()!(1)!mmmmfzfzf zzzzzmm ()(1)0000()()()()!(1)!mmmfzfzzzzzmm 0.zz 顯然方括號內(nèi)冪級數(shù)在顯然方括號內(nèi)冪級數(shù)在 0zz 內(nèi)收斂，設(shè)內(nèi)收斂，設(shè) ()(1)0000()()( )() ,!(1)!mmfzfzzzzzzmm 于是于是南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇

55、魏雅薇( ) z 在在0zz 內(nèi)解析內(nèi)解析, 且且 ()00()()0,!mfzzm 所以所以f (z)在在 0(, )B z 內(nèi)可表示為內(nèi)可表示為0( )()( ),mf zzzz 所以由所以由 知，知，z0是是f (z)的的m級零點級零點 . 例例z=0是是5級零點級零點,解解225)1()( zzzf的零點及級數(shù)的零點及級數(shù) .求求iz 是是2級零點級零點.南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇定理定理 不恒為零的解析函數(shù)的零點必是不恒為零的解析函數(shù)的零點必是孤立零點孤立零點. 證明設(shè)證明設(shè)z0為函數(shù)為函數(shù)f (z)的的m級零點級零點, 于是存在于是存在 z0的一個鄰域的一個鄰域 01(,),B

56、 z 使得當(dāng)使得當(dāng) 時時, 01(,)zB z 0( )()( ),mf zzzz 其中其中 ( ) z 在點在點z0解析解析, 且且 0()0.z 從而從而 ( ) z 在點在點z0處連續(xù)處連續(xù), 并且根據(jù)命題：并且根據(jù)命題：南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇“設(shè)復(fù)變函數(shù)設(shè)復(fù)變函數(shù) f (z)在點在點 z0 連續(xù)，并且連續(xù)，并且f (z0)0, 則存在則存在 z0的某個鄰域，使的某個鄰域，使 f (z)在此鄰在此鄰域域內(nèi)恒不為內(nèi)恒不為0.” 可知可知南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇存在存在z0的鄰域的鄰域 02(,),B z 使得在使得在 內(nèi)內(nèi), 函數(shù)函數(shù) 02(,)B z 恒不為零，所以恒不為零

57、，所以f (z)在鄰域在鄰域 ( ) z 012(, ) min(,)B z 內(nèi)，除內(nèi)，除z0外無其他零點，即外無其他零點，即z0是是f (z)的孤立零點的孤立零點. 這是解析函數(shù)又一個特性，這是解析函數(shù)又一個特性， 對于實可微函數(shù)對于實可微函數(shù), 其其零點不一定是孤立的，例如函數(shù)零點不一定是孤立的，例如函數(shù) 21sin,0( )0,0 xxf xxx 在零點在零點x=0處可微，但是處可微，但是 1 1, 2,nxnn 也是也是f (z)的零點，且的零點，且 lim0.nnx 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇推論推論1 設(shè)設(shè)f (z)在區(qū)域在區(qū)域 K:|z-z0|R內(nèi)解析，內(nèi)解析， nz是是f

58、(z)在在K內(nèi)的一列互異的零點內(nèi)的一列互異的零點. 假如假如 0lim,nnzzD 那那么么f (z)在在K內(nèi)恒為零內(nèi)恒為零. 推論推論2 (解析函數(shù)的惟一性定理解析函數(shù)的惟一性定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f (z) 與與g(z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)解析，內(nèi)解析， nz是是D內(nèi)互異的點列內(nèi)互異的點列, 且且0lim.nnzzD如果對一切如果對一切n, 都有都有 ()(),nnf zg z 則在則在D內(nèi)恒有內(nèi)恒有 ( )( ).f zg z 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇這是解析函數(shù)又一個非常重要的特性這是解析函數(shù)又一個非常重要的特性: 定義在定義在區(qū)域區(qū)域 D內(nèi)的兩個解析函數(shù)，只要在內(nèi)的兩個解析函數(shù)，只要

59、在D內(nèi)的某一部分內(nèi)的某一部分 (子區(qū)域或孤段子區(qū)域或孤段)上的值相等，則它們在整個區(qū)域上的值相等，則它們在整個區(qū)域 D 上的值相等上的值相等. 對于實可微函數(shù)而言對于實可微函數(shù)而言, 不具有這樣的不具有這樣的性質(zhì)性質(zhì).南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇1 z是是)(zf的的1級零點級零點 .21(1)330,zfz 所以可見所以可見解解 (1) 由于由于例例 求以下函數(shù)的零點及級數(shù)求以下函數(shù)的零點及級數(shù):3(1) ( )1;f zz (2) ( )1cos .f zz 只有一個零點只有一個零點?(2) 顯然，顯然， 2 (0,1,2,)kzkk 是是 f (z) 的零點的零點. 由于由于 2(2)

60、0,(2)sin0,zkfkfkz 2(2)cos10,zkfkz 所以所以 2 (0,1,2,)kzkk 是是 f (z)的的2級零點級零點. 南開大學(xué)南開大學(xué) 魏雅薇魏雅薇111(1) 0, ;2122ffnnn 例例 是否存在著在原點解析且滿足下列是否存在著在原點解析且滿足下列1(2) .1nfnn 條件之一的函數(shù)條件之一的函數(shù)f (z), 其中其中 1,2,3,n 解解 (1) 由于由于 121n 及及12n 都以都以0為極限，為極限， 由由 , ( )f zz 是在原點解析并是在原點解析并滿足滿足 1122fnn 的唯一函數(shù)的唯一函數(shù). 但是此函數(shù)不滿足但是此函數(shù)不滿足 南開大學(xué)南開