不等式數列極限數學歸納法復習資料

1、 不等式、數列、極限與數學歸納法湖南省常德市一中 曹繼元不等式、數列是高中數學的主干知識，也是高考的重點內容之一，每年都有與此相關的大題。其中，選擇題和填空題一般以考查基礎知識、基本方法為主，而解答題以考查數學思想方法、思維能力、以及創(chuàng)新意識為主。總體看來，本節(jié)內容對運算能力和邏輯推理能力有較高的要求。預測今年高考關于這一部分的內容, 仍然是以考能力為主，穩(wěn)中有變，“小”中有新。與往年一樣，可能出現(xiàn)基本題型、 綜合題型、 應用題型等，個別題型還將會命出新意，把不等式、數列知識和現(xiàn)實生活、市場經濟、理化生知識等緊密結合起來，甚至還會出現(xiàn)有較新創(chuàng)意的應用型題目。因此，我們必須引起高度重視。1.不等

2、式.1.1 近三年湖南省高考考查情況統(tǒng)計年 代 客 觀 題題 號主 觀 題（不等式）試 題總分2004年文科第1,3,7,12 題21已知曲線C1：y=x3(x0)與曲線C2:y=2x3+3x(x0)交于O，A,直線x=t(0<t<1)與曲線C1,C2分別交于B，D.（）寫出四邊形ABOD的面積S與t的函數關系式S=f(t);（）討論f(t)的單調性，并求f(t) 的最大值.32分2004年理科第6,7,9,12 題20.已知函數，其中為自然對數的底數。討論函數的單調性；求函數在區(qū)間上的最大值。22.第三問：比較與的大小。32分2005年文科第 6 題第16題第（2）問：已知數列為

3、等差數列，且（）證明第19題第（2）問設，點P（，0）是函數的圖象的一個公共點，兩函數的圖象在點P處有相同的切線.（）用表示a，b，c；（）若函數在（1，3）上單調遞減，求的取值范圍.31分2005年理科第 4,8 題第20題第（3）問：自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*，且x10.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.（）設a2，b1，為保證對任意x1（0,2），都有xn0，nN*，則捕撈強度b

4、的 最大允許值是多少？證明你的結論.第21題：已知函數f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0.（）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（）設函數f(x)的圖象C1與函數g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.29分2006年文科第 1,13 題第19題.已知函數.（）討論函數的單調性；（）若曲線上兩點A、B處的切線都與y軸垂直，且線段AB與x軸有公共點，求實數a的取值范圍.第20 題第（2）問.在m（m2）個不同數的排列P1P2Pn中，若1ijm時PiPj（即前面某

5、數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數.（）求a4、a5，并寫出an的表達式；（）令，證明：，n=1,2,.37分2006年理科2006年理科第 1,8,12 題第 1,8,12 題第19題 已知函數, 數列滿足: , 證明 () ; () .第20題對1個單位質量的含污物體進行清洗, 清洗前其清潔度(含污物體的清潔度定義為: 為, 要求清洗完后的清潔度為. 有兩種方案可供選擇, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分兩次清洗. 該物體初次清洗后受殘留水等因素影響, 其質量變?yōu)? 設

6、用單位質量的水初次清洗后的清潔度是, 用單位質量的水第二次清洗后的清潔度是, 其中是該物體初次清洗后的清潔度. ()分別求出方案甲以及時方案乙的用水量, 并比較哪一種方案用水量較少; ()若采用方案乙, 當為某固定值時, 如何安排初次與第二次清洗的用水量, 使總用水量最小? 并討論取不同數值時對最少總用水量多少的影響. 43分1.2 近三年考查情況分析 從近三年的高考湖南卷來看，雖然每年都有幾道不等式的題，但大都是將不等式融入其它知識之中。一般來講，選擇題、填空題主要考查不等式性質、簡單不等式的解法、函數最值的運用。解答題主要考查與不等式有關的基礎知識、基本方法，以及運用相關知識去分析問題和解

7、決問題的能力。 不等式作為工具知識，在高中數學的各個分支中都有廣泛的應用。如確定函數的定義域、值域，確定函數的最值，確定集合的子集關系，確定方程的解等，無一不與不等式有著密切的關系。而不等式中往往蘊含有多種數學思想方法，如等價轉化、分類討論、數形結合、函數方程的思想方法，極易使得不等式與其它知識融會交融，體現(xiàn)“在知識交匯處設計命題”的特點，符合“多考一點想，少考一點算”的命題理念，也能有效的測試考生的“邏輯思維能力、運算能力、以及分析問題和解決問題的能力”。所以，我們復習時，要以此為重點，強化訓練，提高能力。1.3 今年考情預測不等式仍將是高考數學的重點內容之一。選擇題、填空題的難度不會增大，

8、重在基礎知識、基本方法的考查，但命題角度會有所變化，設問方式會有所創(chuàng)新，考查內容主要分布在不等式的性質、簡單不等式的解法、不等式與集合、不等式與函數、不等式與方程等知識點中。解答題仍將以能力考查為主，重在考查代數推理能力，常以高中代數的主要內容（函數、方程、不等式、數列、導數、極限、數學歸納法）以及交叉綜合內容為知識背景設計問題，主要考查含參數不等式的解法、均值不等式的運用、取值范圍的求法等知識點，不排除應用題中直接涉及不等式相關知識的可能。以不等式為中心設計函數、方程、不等式的綜合題的可能性仍然較大，特別是含絕對值的函數、二次函數、指數函數、對數函數的問題，要注意轉化為方程的問題或者是不等式

9、的問題。不等式的證明方法仍將以“先分析再綜合、先比較再綜合”的方法為主，充分體現(xiàn)由知識立意轉變?yōu)槟芰α⒁獾拿}方向，加大對推理論證能力的考查，重點檢測學生的邏輯思維能力和綜合素質。1.4 題型分析與求解策略關于解不等式。盡管不會出現(xiàn)單純解不等式的題，但求解不等式的過程仍然會體現(xiàn)在其它的解題之中。我們要盡快的通過等價變形，靈活、準確的解出不等式來。特別是“不等式的解的區(qū)間的邊界點問題的討論”、“解含參數的不等式”和“已知不等式的解的集合，求參數的值或范圍”的題型要引起高度注意。例1.若關于x的不等式的解集為，且,則的取值范圍是（ ）分析：，即，得。選B.例2.若,則不等式的解集為的充要條件是（

10、）A. B. C.且 D. 且分析：的解集為的充要條件是：對恒成立，所以，化簡得D.例3. 若不等式 對恒成立，則實數的取值范圍是（ ）A B C D 分析：當底數時，需,對恒成立，那么，分離參數與變量后，就成了：，再要大于它的最大值，令，求得，所以；同理，當底數時，需,對恒成立，求得。綜上所述，選C。例4. 設若,且,則的取值范圍是（ ）A B C D分析：從圖象來看，有，即，故選A.例5.若關于x的不等式的解集為，,則的取值范圍是（ ）A. B. C. D.分析：從邊界點來看，需，解得，故選D.關于證明不等式。盡管證明不等式的方法有很多，但我們首先要重點掌握好分析法、比較法、綜合法、放縮法

11、等多種基本方法的靈活運用，在此基礎上。再適時選擇換元法、反證法、數學歸納法、導數法、函數的單調性法、判別式法等其它方法。在分析要證的不等式時，要先進行有效合理的變形，抓住要害，給出證明。例6.設是銳角三角形，求證：。分析：從對稱性考慮，先證：.在銳角三角形中，,;同理有,，三式相加，得證。關于不等式的應用。我們要重點掌握：在等式條件下或不等式條件下求取值范圍（或最值）的方法；應用均值不等式求最值的方法；應用不等式的相關知識，求解子集問題和函數中的單調性問題；方程的根的范圍問題等。例7. 已知集合A，B. （1）當a2時，求AB； （2）求使BA的實數a的取值范圍.解：（1）當a2時，A（2，7

12、），B（4，5） AB（4，5）（2）若，則 B=,BA成立；若，則 B（2a，a21），當a時，A（3a1，2）要使BA，必須，此時a1； 當a時，A，使BA的a不存在； 當a時，A（2，3a1），要使BA，必須，此時1a3. 綜上可知，使BA的實數a的取值范圍為1，31 。例8. 已知函數是定義在上的增函數，設函數。（1）若關于x的方程：有解，求實數的取值范圍；（2）解不等式：。分析：（1）由是定義在上的增函數，得也是定義在上的增函數，且，有解，即有解，求得。（2）由已知式得，所以，得。例9.若關于的不等式在內有解，求實數的取值范圍。分析： 設，則不等式內無解的充要條件是，求得，取其補集得

13、。例10. 已知均為正數，且，試探求的取值范圍，使得不等式 對任意的正數均不成立。分析：由，余同，得，所以，。1.5 典型題訓練：1.若關于x的不等式 對一切恒成立，則實數的取值范圍是（ D ）A B C D2.若實數滿足條件 ，則點恒在（ D ）A. 直線的右上方 B. 直線的右上方C. 直線的左下方 D. 直線的左下方3.若實數滿足條件，則恒有（ B ）A. B. C. D. 4.若的角A所對的邊之長為 ，且 ， 則的面積的最大值為（ D ）A. 2 B. 1 C. D.5.若函數存在最大值，則實數的取值范圍是（ B ）A. B. C. D.且6. 設、，且，則（ ）A B C D7.給出

14、命題：若：，則。命題：若，則。（1）證明命題；（2）將命題和命題推廣為一個含有n元的命題，并證明之。略證：若，則原不等式已成立；若，設函數，則，又函數是開口向下的二次函數，故，即得。8.已知均為正數，且，問：是否存在常數，使得不等式 對任意的正數均成立？證明略。2.數列、極限、數學歸納法.2.1 近三年湖南省高考考查情況統(tǒng)計年 代客 觀 題題 號主 觀 題（數列、極限）試 題總分2004年文科第11 題20.已知數列an是首項為a且公比q不等于1的等比數列，Sn是其前n項的和，a1,2a7,3a4 成等差數列.（I）證明 12S3,S6,S12-S6成等比數列；（II）求和Tn=a1+2a4+

15、3a7+na3n-2.17分2004年理科第8,11,16 題22.直線與相交于點P。直線與x軸交于點P1，過點P1作x軸的垂線交直線于點Q1，過點Q1作y軸的垂線交直線于點P2，過點P2作x軸的垂線交直線于點Q2，這樣一直作下去，可得到一系列點P1，Q1，P2，Q2，。點Pn（n=1,2,）的橫坐標構成數列。（1）證明：（2）求數列的通項公式；（3）比較與的大小。28分2005年文科第5，12題第16題第（2）問：已知數列為等差數列，且（）求數列的通項公式；（）證明21分2005年理科第 3,6 題第20題：自然狀態(tài)下的魚類是一種可再生資源，為持續(xù)利用這一資源，需從宏觀上考察其再生能力及捕撈

16、強度對魚群總量的影響. 用xn表示某魚群在第n年年初的總量，nN*，且x10.不考慮其它因素，設在第n年內魚群的繁殖量及捕撈量都與xn成正比，死亡量與xn2成正比，這些比例系數依次為正常數a，b，c.（）設a2，b1，為保證對任意x1（0,2），都有xn0，nN*，則捕撈強度b的 最大允許值是多少？證明你的結論.第21題：已知函數f(x)lnx，g(x)ax2bx，a0.（）若b2，且h(x)f(x)g(x)存在單調遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（）設函數f(x)的圖象C1與函數g(x)圖象C2交于點P、Q，過線段PQ的中點作x軸的垂線分別交C1，C2于點M、N，證明C1在點M處的切線與C2在點N

17、處的切線不平行.24分2006年文科第 11 題第20 題第（2）問.在m（m2）個不同數的排列P1P2Pn中，若1ijm時PiPj（即前面某數大于后面某數），則稱Pi與Pj構成一個逆序. 一個排列的全部逆序的總數稱為該排列的逆序數. 記排列的逆序數為an，如排列21的逆序數，排列321的逆序數.（）求a4、a5，并寫出an的表達式；（）令，證明：，n=1,2,.19分2006年理科第 2 題第19題已知函數, 數列滿足: , 證明 () ; () . 19分2.2 近三年考查情況分析 考查的主要內容有：等差數列、等比數列的基本知識（通項公式、前n項的和）與基本方法；將等差數列、等比數列等其它

18、知識綜合運用于實際生活之中；遞推數列中所蘊含的不等式求證問題；求簡單的數列極限（分式、根式、和式、抽象式等）；數學歸納法的穿插運用； 從考查的題型來看，數列一般為“一大一小”，即一個客觀題和一個主觀題，其它的題往往與數列知識有關?？陀^題主要考查數列的基礎知識和基本方法，有“小、巧、活”等特點，解法上有優(yōu)有寡，一般運用數列的有關性質進行計算較為簡便；主觀題主要考查與的大小關系，它往往與函數、不等式、向量、解析幾何、三角等知識綜合起來，考查等價轉化、分類討論、函數方程等數學思想方法，難度在中等以上，對學生的綜合素質有較高要求。2.3 今年考情預測數列、極限是高中數學的重要內容，也是初等數學與高等數

19、學的重要銜接點。所以，估計今年高考仍將會以數列內容單獨命一個大題，且難度仍將在中等以上；從近幾年的情況來看，近三年高考中總是以遞推關系為主，今年也許會轉轉向，直接以等差數列或等比數列為主，重點考查數列中的某些等量關系或不等量關系，或者是存在性問題等。數學歸納法是證明與正整數有關的命題的一種有效方法。特別是“試驗猜想證明”的解題途徑又是進行研究性學習的最好方法之一，因此，我們在證明有關命題時，要注意靈活選擇數學歸納法或其它相關的方法；極限題一般都會以小題或小問出現(xiàn)，不會很難，但要注意極限與導數之間的聯(lián)系。2.4 題型分析與求解策略等差數列、等比數列的判斷方法；數列中的第幾項、前n項的和的求法；例

20、11.已知數列an是等比數列，Sn是其前n項的和，a1,a7,a4成等差數列，求證：2S3,S6,S12-S6成等比數列。證明：設等比數列的公比為，成等差數列，即，或，即或（1）當時，成等比數列（2）當時，即時，成等比數列。例12.設等差數列滿足：。設數列的前項之和為，滿足.(1)求；(2)是否存在一個最小正整數,使得當時，恒成立？若存在，求出這個的值；若不存在，請說明理由?！窘狻?1)設等差數列的公差為，則；又由，得，所以，數列是公比為的等比數列，。(2) 若存在一個最小正整數,使得當時，恒成立，則由，知數列是一個遞增數列，因此，只需恒成立即可。而，。當時，當時，當時，當時，當時，。由此猜想

21、：取時，有恒成立。證法一：（導數法）設輔助函數，當時，因此，函數在區(qū)間上是增函數，所以，時，又時，已成立。故存在一個最小正整數,使得當時，恒成立。證法：（數學歸納法）時，已成立；假設時，不等式成立，即，那么，時，而當時，所以，即時，不等式成立。故綜合，得取時，有恒成立。綜上所述，存在一個最小正整數,使得當時，恒成立。遞推數列的通項公式的求法，以及在遞推數列中的大小關系的證明；例13.已知數列中，且. （1）求證數列是等差數列； （2）求數列中的最大項與最小項，并說明理由； （3）記解答：（1）bn是首項為，公差d=1的等差數列 （2）由（1）得 設函數 在區(qū)間內f(x)為減函數 當x3時，f(

22、x)f(3)=1；當x4時，f(x)f(4)=3,且f(x)=1. an的最小值為a3=1，最大值為a4=3.法2：an=1+. 當n3時，=a1>a2>a3=1, 當n4時，3=a4>a5>a6>>an>1. an的最小值為a3=1，最大值為a4=3. （3） 。數列在其它數學知識中的廣泛應用；例14.在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列。求點的坐標；設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：。設，等差數列的任一項，其中是中的

23、最大數，求的通項公式。解：（1），（2）的對稱軸垂直于軸，且頂點為.設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=。（3），T中最大數.設公差為，則，由此得例15.已知函數的定義域為，且同時滿足：；恒成立；若，則有（1）試求函數的最大值和最小值；（2）試比較與的大小N）；（3）某人發(fā)現(xiàn)：當x=(nÎN)時，有f(x)<2x+2.由此他提出猜想：對一切xÎ(0,1,都有，請你判斷此猜想是否正確，并說明理由解: (1)設0x1<x21,則必存在實數tÎ(0,1),使得x2=x1+t, 由條件得,f(x2)=f(x1+t)³f(x1)+f(t)-2,

24、 f(x2)-f(x1)³f(t)-2, 由條件得, f(x2)-f(x1)³0, 故當0x1時,有f(0)f(x)f(1). 又在條件中,令x1=0,x2=1,得f(1)³f(1)+f(0)-2,即f(0)2,f(0)=2, 故函數f(x)的最大值為3,最小值為2. (2)解:在條件中,令x1=x2=,得f()³2f()-2,即f()-2f()-2, 故當nÎN*時，有f()-2f()-2f()-2···f()-2=, 即f()+2. 又f()=f(1)=32+, 所以對一切nÎN,都有f()+2. (3)對一切xÎ(0,1,都有.對任意滿足xÎ(0,1，總存在n(nÎN),使得 <