華僑大學(xué)-概率論ch73區(qū)間估計(jì)ppt課件

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第三節(jié)第三節(jié) 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義置信區(qū)間的求法置信區(qū)間的求法 引言引言 前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì)前面，我們討論了參數(shù)點(diǎn)估計(jì). 它是用樣本算它是用樣本算得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù)得的一個(gè)值去估計(jì)未知參數(shù). 但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅但是，點(diǎn)估計(jì)值僅僅是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似是未知參數(shù)的一個(gè)近似值，它沒有反映出這個(gè)近似值的誤差范圍，使用起來把握不大值的誤差范圍，使用起來把握不大. 區(qū)間估計(jì)正好區(qū)間估計(jì)正好彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷彌補(bǔ)了點(diǎn)估計(jì)的這個(gè)缺陷 .一、一、 置信區(qū)間定義置信區(qū)間定義 滿足滿足設(shè)設(shè) 是是 一個(gè)待估參數(shù)，給定一個(gè)待估

2、參數(shù)，給定, 0 X1,X2,Xn確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量確定的兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量則稱區(qū)間則稱區(qū)間 是是 的置信水平置信度的置信水平置信度 )為為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 1和和 分別稱為置信下限和置信上限分別稱為置信下限和置信上限. 若由樣本若由樣本1P 12(,)n XXX 12(,)n XXX () ( , ) 這里有兩個(gè)要求這里有兩個(gè)要求:可見，可見， 對(duì)參數(shù)對(duì)參數(shù) 作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)作區(qū)間估計(jì)，就是要設(shè)法找出兩個(gè)只依賴于樣本的界限只依賴于樣本的界限(構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量). 一旦有了樣本，就把一旦有了樣本，就把 估計(jì)在區(qū)間估計(jì)在區(qū)間 內(nèi)內(nèi) . 12(,)n XXX 12(,)n XXX

3、() ( , ) 可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是可靠度與精度是一對(duì)矛盾，一般是在保證可靠度的條件下盡可能提高在保證可靠度的條件下盡可能提高精度精度.1. 要求要求 以很大的可能被包含在區(qū)間以很大的可能被包含在區(qū)間 內(nèi)，就是說，概率內(nèi)，就是說，概率 要盡可能大要盡可能大 .即要求估計(jì)盡量可靠即要求估計(jì)盡量可靠. ( , ) P 2. 估計(jì)的精度要盡可能的高估計(jì)的精度要盡可能的高. 如要求區(qū)間長(zhǎng)度如要求區(qū)間長(zhǎng)度 盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則盡可能短，或能體現(xiàn)該要求的其它準(zhǔn)則. 關(guān)于定義的說明關(guān)于定義的說明.) ,( , , , 是是隨隨機(jī)機(jī)的的而而區(qū)區(qū)間間沒沒有有隨隨機(jī)機(jī)性性但但它它是是一一

4、個(gè)個(gè)常常數(shù)數(shù)雖雖然然未未知知被被估估計(jì)計(jì)的的參參數(shù)數(shù) : 1),(),(2121的的本本質(zhì)質(zhì)是是因因此此定定義義中中下下表表達(dá)達(dá)式式 nnXXXXXXP). ,(1 ,1 ) ,( 的的概概率率落落入入隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間以以而而不不能能說說參參數(shù)數(shù)的的真真值值的的概概率率包包含含著著參參數(shù)數(shù)以以隨隨機(jī)機(jī)區(qū)區(qū)間間 : 1),(),(2121還可以描述為還可以描述為另外定義中的表達(dá)式另外定義中的表達(dá)式 nnXXXXXXP若反復(fù)抽樣多次若反復(fù)抽樣多次(各次得到的樣本容量相等各次得到的樣本容量相等,都是都是n) ), ,( 間間每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)每個(gè)樣本值確定一個(gè)區(qū)按伯努利大數(shù)定理按伯努利大數(shù)定理,

5、在這樣多的區(qū)間中在這樣多的區(qū)間中, .%100 ,)%1(100 不不包包含含的的約約占占真真值值的的約約占占包包含含 , 的的真真值值的的真真值值或或不不包包含含每每個(gè)個(gè)這這樣樣的的區(qū)區(qū)間間或或包包含含 例如例如 , 1000 0.01, 次次反反復(fù)復(fù)抽抽樣樣若若 .10 1000 個(gè)個(gè)真真值值的的約約為為個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間中中不不包包含含則則得得到到的的 在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn)在求置信區(qū)間時(shí)，要查表求分位點(diǎn).二、置信區(qū)間的求法二、置信區(qū)間的求法()1P aXb (),2P Xb()12P Xa 設(shè)設(shè) , 對(duì)隨機(jī)變量對(duì)隨機(jī)變量X，稱滿，稱滿足足的點(diǎn)的點(diǎn) 為為X的概率分布的上的概率分布的上

6、分位點(diǎn)分位點(diǎn). x01()P Xx 定義定義()1P Xx()1P aXb 假設(shè)假設(shè) X 為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量 , 則有則有12,ax 2.bx (),3P Xb2()13P Xa所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為122(,)xx 所求置信區(qū)間為所求置信區(qū)間為1 23,ax 3.bx 1 233(,)xx 由此可見，置由此可見，置信水平為信水平為 的置信區(qū)間是的置信區(qū)間是不唯一的。不唯一的。1 N(0, 1)求參數(shù)求參數(shù) 的置信度為的置信度為 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 例例1 設(shè)設(shè)X1,Xn是取自是取自 的樣本，的樣本， ,2已知 ),(2 N 1nXU 取明確問題明確問題,是求什么是求什

7、么參數(shù)的置信區(qū)間參數(shù)的置信區(qū)間?置信水平是多少？置信水平是多少？尋找未知參尋找未知參數(shù)的一個(gè)良數(shù)的一個(gè)良好估計(jì)好估計(jì).選選 的點(diǎn)估計(jì)為的點(diǎn)估計(jì)為 , ,X解解 尋找一個(gè)待估參數(shù)和尋找一個(gè)待估參數(shù)和統(tǒng)計(jì)量的函數(shù)統(tǒng)計(jì)量的函數(shù) ，要求，要求其分布為已知其分布為已知.有了分布，就可以求出有了分布，就可以求出U取值于任意區(qū)間的概率取值于任意區(qū)間的概率.,1 對(duì)給定的置信水平對(duì)給定的置信水平查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得2,z對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平, 根據(jù)根據(jù)U的分布，確定一的分布，確定一個(gè)區(qū)間個(gè)區(qū)間, 使得使得U取值于該區(qū)間的概率為置信水平取值于該區(qū)間的概率為置信水平.2|1XPzn 使使為

8、什么為什么這樣取？這樣取？ ,1/2/ znXP,1 2/2/ znXznXP即即 分分位位點(diǎn)點(diǎn)的的定定義義知知由由標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上 ., 1 2/2/ znXznX的置信區(qū)間的置信區(qū)間的一個(gè)置信水平為的一個(gè)置信水平為于是得于是得這樣的置信區(qū)間常寫成這樣的置信區(qū)間常寫成.2/ znX其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為其置信區(qū)間的長(zhǎng)度為. 22/ zn 從例從例1解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間解題的過程，我們歸納出求置信區(qū)間的一般步驟如下的一般步驟如下:1. 明確問題明確問題, 是求什么參數(shù)的置信區(qū)間是求什么參數(shù)的置信區(qū)間? 置信水平置信水平 是多少是多少? 12. 尋找參數(shù)尋找參數(shù) 的一個(gè)良

9、好的點(diǎn)估計(jì)的一個(gè)良好的點(diǎn)估計(jì) 3. 尋找一個(gè)待估參數(shù) 和估計(jì)量 T 的函數(shù) U(T, ),且其分布為已知且其分布為已知.T(X1,X2,Xn) 4. 對(duì)于給定的置信水平對(duì)于給定的置信水平 ，根據(jù)，根據(jù)U(T, )的的分布，確定常數(shù)分布，確定常數(shù)a, b，使得，使得 1 1 P(a U(T, )b) = 5. 對(duì)“aS(T, )b作等價(jià)變形,得到如下形式 1P 即即 1 于是于是 就是就是 的的100( )的置信區(qū)間的置信區(qū)間. ( , ) 可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)可見，確定區(qū)間估計(jì)很關(guān)鍵的是要尋找一個(gè)待估參數(shù)待估參數(shù) 和估計(jì)量和估計(jì)量T 的函數(shù)的函數(shù)U(T, ), 且且U(T, )的分布為已知的分布為已知, 不依賴于任何未知參數(shù)不依賴于任何未知參數(shù) . 而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是而這與總體分布有關(guān)，所以，總體分布的形式是否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要否已知，是怎樣的類型，至關(guān)重要. 需要指出的是，給定樣本，給定置信水平需要指出的是，給定樣本，給定置信水平 ，置信區(qū)間也不是唯一的置信區(qū)間也不是唯一的.對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間對(duì)同一個(gè)參數(shù)，我們可以構(gòu)造許多置信區(qū)間. . 1. 1.在概率密度為單峰且對(duì)稱的情形，當(dāng)在概率密度