高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題例談

1、高等數(shù)學(xué)背景下的高考數(shù)學(xué)試題例談?wù)憬?陳泰樞隨著高考制度改革的不斷深化,全國以及各省自主命題的高考試題不斷有所創(chuàng)新.這種創(chuàng)新一方面體現(xiàn)在更加重視對學(xué)生能力的考查,另一方面則體現(xiàn)在更加注重對數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)應(yīng)用的考查,縱觀近幾年的高考數(shù)學(xué)題,我們不難發(fā)現(xiàn)其中有許多題目涉及的內(nèi)容都不在高中課本中,而是以高等數(shù)學(xué)中的有關(guān)知識點為平臺,考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力.下面就舉一些具有高等數(shù)學(xué)背景的高考試題來分析與探討,以供復(fù)習(xí)參考.一、以高等數(shù)學(xué)運算為背景例1 (06四川理第16題)非空集合G關(guān)于運算滿足：(1)對任意的都有(2)存在都有則稱G關(guān)于運算為“融洽集”.現(xiàn)給出下列集合和運算： G非負(fù)整數(shù),為整數(shù)的加

2、法. G偶數(shù),為整數(shù)的乘法. G平面向量,為平面向量的加法. G二次三項式,為多項式的加法. G虛數(shù),為復(fù)數(shù)的乘法.其中G關(guān)于運算為“融洽集”的是_.(寫出所有“融洽集”的序號)分析：本題其實源自大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課中的近世代數(shù),此題給出了一個新的概念“融洽集”, 考查學(xué)生在瞬間理解并且會運用此概念來判斷以下給出的條件是否滿足成為“融洽集”的能力.,滿足任意,都有,且令,有,所以符合要求.,若存在,則,矛盾, 不符合要求.,取,滿足要求, 符合要求;,兩個二次三項式相加得到的可能不是二次三項式,所以不符合要求.,兩個虛數(shù)相乘得到的可能是實數(shù), 不符合要求.這樣關(guān)于運算為“融洽集”的有.例2 (07陜

3、西理第12題)設(shè)集合,在S上定義運算為：,其中k為i+j被4除的余數(shù),=0,1,2,3.則滿足關(guān)系式的的個數(shù)為( )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4分析：本題以抽象代數(shù)中的運算系統(tǒng)為背景,考查學(xué)生在瞬間運用一個新的運算法則去解題的能力.不成立.成立.不成立.成立,滿足條件的只有兩個.二、以高等數(shù)學(xué)中的基本概念為背景例3 (04上海理第12題)若干個能唯一確定一個數(shù)列的量稱為該數(shù)列的“基本量”.設(shè)是公比為q的無窮等比數(shù)列,下列的四組量中,一定能成為該數(shù)列“基本量”的是第 組.(寫出所有符合要求的組號) 與; 與; 與; q與.其中n為大于1的整數(shù), 為的前n項和.分析：這題給出了一個新的概

4、念叫“基本量”,讓學(xué)生在瞬間理解并且會運用此概念來判斷以下給出的條件是否滿足成為“基本量”.;如果與已知,則可求出與,從而一定能成為該數(shù)列的“基本量”.; 由已知兩式所確定的與顯然不唯一,所以不一定能成為該數(shù)列的“基本量”.;由可知與不唯一,所以不一定能成為該數(shù)列的“基本量”.已知;也已知,顯然與是被唯一確定的,所以一定能成為該數(shù)列的“基本量”.例4 (06福建理第12題)對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點,定義它們之間的一種“距離”：給出下列三個命題：若點C在線段AB上,則在中,若則在中,其中真命題的個數(shù)為 ( )(A)0(B)1(C)2(D)3分析：對于直角坐標(biāo)平面內(nèi)的任意兩點,定義它們之間的一

5、種“距離”：若點C在線段AB上,設(shè)C點坐標(biāo)為(,),在、之間,在、之間,則=在中,= 命題 成立,而命題在中,若則明顯不成立,故選B.三、以高等數(shù)學(xué)中的基本結(jié)論為背景例5 (03北京理第20題)設(shè)是定義在區(qū)間上的函數(shù),且滿足條件,對任意的、,都有()證明：對任意,都有()證明：對任意的都有()在區(qū)間上是否存在滿足題設(shè)條件的奇函數(shù)且使得若存在請舉一例,若不存在,請說明理由分析：本題以高等數(shù)學(xué)的泛函分析中壓縮映象原理為背景,考查函數(shù)、不等式等基本知識,考查綜合運用數(shù)學(xué)知識分析問題和解決問題的能力.()證明：由題設(shè)條件可知,當(dāng)時,有即()對任意的,當(dāng)當(dāng)不妨設(shè) 則從而有綜上可知,對任意的,都有()答：這樣滿足所述條件的函數(shù)不存在.理由如下：假設(shè)存在函數(shù)滿足條件,則由得又,所以又因為為奇函數(shù),所以,由條件.得所以 .與矛盾,因此假設(shè)不成立,即這樣的函數(shù)不存在.總結(jié)與反思：全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中提出：高中數(shù)學(xué)課程要為我國公民適應(yīng)現(xiàn)代化生活和未來發(fā)展提供更高水平數(shù)學(xué)基礎(chǔ),使它們獲得更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng),為學(xué)生進入高一級學(xué)校提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備,同時把提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力作為數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一.正是基于這一點,以高等數(shù)學(xué)知識為背景的高考試題多次現(xiàn)身于高考之中.這無疑給我們考生增加了一定的難度,今后考生應(yīng)該