湖州師院第六屆《高等數(shù)學(xué)》競(jìng)賽試題解答(工科組)_第1頁(yè)
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1、湖州師院第六屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題解答(工科組)競(jìng)賽時(shí)間：2008年11月19日14:00-17:00下屬學(xué)院-專業(yè)-班級(jí)-學(xué)號(hào)-考號(hào)-一二三四五六總分一、 計(jì)算題（每小題15分，滿分60分）1. 計(jì)算： 解：易知 對(duì)進(jìn)行變量代換，令則當(dāng)時(shí)并且因此有由夾逼原理得2確定自然數(shù)的取值范圍，使函數(shù)在處的二階導(dǎo)數(shù)存在。解：要使函數(shù)在處可導(dǎo)，應(yīng)滿足以下條件：當(dāng)時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)，都存在， 由于，要使此極限存在，應(yīng)滿足由，知在處的二階導(dǎo)為要使以上極限存在，應(yīng)滿足 由，知要使在處的二階導(dǎo)存在，的取值范圍為：。3. 計(jì)算二重積分解：令拋物線將區(qū)域分成和兩塊，其中 在中，而在中于是4求級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域.解：令則的收斂半

2、徑于是原級(jí)數(shù)的收斂半徑時(shí)原級(jí)數(shù)收斂 .時(shí),當(dāng)故收斂域?yàn)楫?dāng)時(shí)，由于故該級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?yàn)?二、（本題滿分20分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，是上半平面內(nèi)的有向分段光滑曲線，的起點(diǎn)為終點(diǎn)為記 1）證明曲線積分與路徑無關(guān)；2）當(dāng)時(shí)，求的值。1）證明：由于在上半平面內(nèi)處處成立，所以在上半平面內(nèi)曲線積分與路徑無關(guān)。2）解：由于曲線積分與路徑無關(guān)，故可取路徑為：由點(diǎn)到點(diǎn)再到點(diǎn)所以 令則由條件，得 三、（本題滿分20分）證明不等式其中為正方形區(qū)域：證明：由于關(guān)于對(duì)稱，由對(duì)稱性可知故由于當(dāng)時(shí)，所以從而結(jié)論成立。四、（本題滿分20分）已知曲線與在點(diǎn)處的切線相同，求此切線方程，并求 其中為一非零常數(shù).解：設(shè)，故于是得， 在點(diǎn)處的切線方程為： 由得故五、（本題滿分15分）設(shè)函數(shù)定義在上，在內(nèi)存在且單調(diào)下降，又證明：對(duì)于恒有證明：由于，在上存在，由L中值定理，使得 同理可知，使得 由于函數(shù)單調(diào)下降，且故有于是得由以上，兩式得：

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