初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽—有理數(shù)篇

1、1、基本概念的提升、基本概念的提升“有理數(shù)有理數(shù)”神馬神馬東西？東西？定義有理數(shù)是整數(shù)和分?jǐn)?shù)的統(tǒng)稱，一切有理數(shù)都可以化成分?jǐn)?shù)的形式；分類： 兩種分法如下圖、數(shù)軸數(shù)軸-長(zhǎng)啥樣兒呢？l定義：在數(shù)學(xué)中，可以用一條直線上的點(diǎn)表示數(shù)，這條直線 叫做數(shù)軸（number line），它滿足以下要求： （1）方向方向（通常規(guī)定右為正，左為負(fù)）； （2）原點(diǎn)原點(diǎn)； （3）單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度； 【注：（1）（2）（3）缺一不可，缺少就不叫數(shù)軸】如下圖所示：數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的。（任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來表示。）數(shù)軸練習(xí)題 相反數(shù)、絕對(duì)值中文名： 數(shù)軸英文名： number axis相反數(shù)： 只有

2、符號(hào)不同 的兩個(gè)數(shù)，其余相同絕對(duì)值： 點(diǎn)到原點(diǎn)的距離作 用： 比較大小說明：一切正數(shù)大于0，0大于一切負(fù)數(shù)，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)。v相反數(shù)：-2和2互為相反數(shù) ； ；.互為相反數(shù)和3232v絕對(duì)值絕對(duì)值 ：在數(shù)軸上表示一個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離就叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值；用代數(shù)式表示：| a | = ? (討論a為何值) 數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)相比較，絕對(duì)值大的反而小。相反數(shù)、絕對(duì)值練習(xí)相反數(shù)例題詳解例2、化簡(jiǎn)例1、按要求作答 -(-0.5)=_ ; +-( ) =_ ; -+(-50)=_ ; -|-( ) |=_ ;_,211的相反數(shù)是：_,)315 . 0(的相反數(shù)是_,)2(的相反數(shù)

3、是b2121絕對(duì)值的性質(zhì)性質(zhì)；這是絕對(duì)值非常重要的0,|a|用下式表示：絕對(duì)值的非負(fù)性，可以)1(（代數(shù)意義）（）（）（0a0a00a a|a| )2(a；則；若則若0a-a,|a|0aa,|a|)3(-a;|a|a,|a|)4(即于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)，不小于這個(gè)數(shù)，也不小任何一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值都)(-b;aba|,b|a|)5(幾何意義或則若);0(|b|a|ba|;b|a|ab|)6(b;|)7(222a| a |a; |b-a|a|; |ba|b|a| ;|b| - |a|b-a|b|a| )8(bba；【絕對(duì)值具有非負(fù)【絕對(duì)值具有非負(fù)性】性】例例1、|-5|=_ ; | +5 |=_ ; |

4、-(-5) |=_; 例例2、(1) | |=3 ; | | =5; （2）已知x 是有理數(shù)，且|x|=|-4|，那么x= ; (3)解方程：|4x+8|=15 ; ; 05532x經(jīng)典例題【B卷題型代數(shù)式求值】的值。1a求,4-a互為相反數(shù)，且b、a、若已知3例2abababb解解：; 44; 0aba:babab互為相反數(shù)，與分析41a綜上所述得：;4,2,2那么,0ba時(shí)，且4-b-a當(dāng);4,2,2，那么0a時(shí)，且4b-a當(dāng)44a1001)(122ababababbaabbabbababaabbaaabbaabababa經(jīng)典例題【B卷題型含絕對(duì)值運(yùn)算】；a）化簡(jiǎn)2（的值；a求,a）若1（

5、、4例bbb.a-, ba0a; 0aa0b-a; 0aba0a220a.2a,a0a; 0a-b,a0a0ba) 1 (abbbabbbbbbbbbbbb）（時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，即當(dāng)，時(shí)，即）當(dāng)（或綜上所述：則時(shí)，當(dāng)則時(shí)，當(dāng)，解：解：【鞏固練習(xí)】的值）已知（）；（）化簡(jiǎn)：（|y+x|求代數(shù)式6,|=y|4,|=x|2（)8(x-82-14. 31x結(jié)合數(shù)軸化簡(jiǎn)代數(shù)式【A、B卷】bccacab, b, a5示，化簡(jiǎn)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)如圖所、有理數(shù)例；，分析：由數(shù)軸可知：0b-c0ca0abcbbccaabbccaab22)()(解：解：aababbabcabccbba, a2a, a1所示，化簡(jiǎn)在數(shù)軸上

6、對(duì)應(yīng)的點(diǎn)如圖】數(shù)【鞏固示，化簡(jiǎn)在數(shù)軸上的位置如圖所】已知【鞏固的值；求已知化簡(jiǎn)若，化簡(jiǎn)且）已知、（例y-xx,xzy, 0, z0 x) 3(;22a, 0a2-)2(;a0ab-a16zyzxyaabbabbaababbabaabbabbbab2a0a0a0b00a, b-a) 1 (，且解：解： 42222, 02, 02a0a2-)2(aaaaaoyzyzzzxxxy:,xyz0y0 xyz0 x)3(原式可得又可得：，由【鞏固練習(xí)】.10 x10 xx,10 xm,10m0. 1mm化簡(jiǎn)并且如果. 010 x010 x0 x，；分析：由題意可知：mmx20)10 x()10-x(xmm

7、原式解：解：經(jīng)典例題.33a20a)2(;x1-233-x17aaa，試化簡(jiǎn)若，化簡(jiǎn)）已知、（例xxx33123x1-233-x) 1 (x時(shí)，當(dāng)4545332332)2(aaaaaaaaaa解：解：的所有可能值。則、若例ccbbaa, 0abc8。一負(fù)或一正兩負(fù)或全負(fù)可以是全正、或兩正c，b，a可知，0a分析：由bc. 3-a,)4(1-a,)3(; 1a, a)2(; 3a,) 1 (ccbbacbaccbbacbaccbbacbccbbacba全負(fù)，則；一正兩負(fù)，則兩正一負(fù)，則當(dāng)全正，則當(dāng)解：解：鞏固練習(xí)的值。求，滿足、有理數(shù)ddccbbaa, 1abcd, a1abcddcb個(gè)負(fù)數(shù)；個(gè)

8、負(fù)數(shù)或里含有，所以，可知分析：由31, a0abcd1-abcdabcddcb；個(gè)負(fù)數(shù)，則若含有個(gè)負(fù)數(shù)，則若含有2-aa3)2(; 2aa1) 1 (ddccbbddccbb解：解：例題零點(diǎn)分段法.325x9x、化簡(jiǎn)例段。零點(diǎn)可以將數(shù)軸分成幾分析：先找零點(diǎn)，,2303x2 ; 505xxx;8325x03x205x5-x;8325x032 , 05,23x5; 23325x, 032 , 05,23x;23, 0325, 05xxxxxxxxxxxxxx，當(dāng)，當(dāng)當(dāng)解：解：. 1x2 【鞏固】化簡(jiǎn)：例題零點(diǎn)分段法求值.21m10的值、求例mm. 2m1m1 , 1m0 , 0m21 , 0m,

9、02, 01, 0m，：軸分為了四段，依次是，所以將數(shù)，解得分析：先找零點(diǎn)，mm33)2() 1(m2m1)2(1m2m13)2() 1(m1m033)2() 1(m0m. 2m, 2m1 , 1m00m210m02, 01, 0mmmmmmmmmmmmmmm時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)，四段：這三個(gè)零點(diǎn)將數(shù)軸分為，；解得由解：解：絕對(duì)值的幾何意義|a|的幾何意義的幾何意義： 在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離；在數(shù)軸上，表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)離原點(diǎn)的距離；|a-b|的幾何意義的幾何意義：在數(shù)軸上，表示數(shù)在數(shù)軸上，表示數(shù)a,b對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的對(duì)應(yīng)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離。距離。的最小值。、求

10、例71253-x11xxxx應(yīng)立于何處？的距離之和最短，郵局為使五棟的居民到郵筒一個(gè)郵筒，五棟居民樓，現(xiàn)在設(shè)立、如圖，在街道上有EDCBA【思路導(dǎo)航】分析以下【思路導(dǎo)航】分析以下A、E兩個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)郵筒放在兩個(gè)點(diǎn)，不論這個(gè)郵筒放在AE之間之間的哪一點(diǎn)，的哪一點(diǎn)，A到郵筒的距離加上到郵筒的距離加上E到郵筒的距離就是到郵筒的距離就是AE的長(zhǎng)度。的長(zhǎng)度。也就是說郵筒放在哪不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和。那么也就是說郵筒放在哪不會(huì)影響這兩個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和。那么我們就使其他的我們就使其他的3個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和最短，再看為了使個(gè)點(diǎn)到郵筒的距離之和最短，再看為了使B、D兩個(gè)到郵筒的距離之和也是不變

11、的，等于兩個(gè)到郵筒的距離之和也是不變的，等于BD。最后，只需要考。最后，只需要考慮慮C點(diǎn)到郵筒的距離最近就行了。那么當(dāng)然也就是把郵筒放在點(diǎn)到郵筒的距離最近就行了。那么當(dāng)然也就是把郵筒放在C點(diǎn)了。這里就體現(xiàn)了一個(gè)點(diǎn)了。這里就體現(xiàn)了一個(gè)“向中心靠攏的思想向中心靠攏的思想”的最小值；求aaanxxx.21結(jié)論：結(jié)論：該式子的值最小。等于最中間的數(shù)值時(shí)，x從小到大排列，、為奇數(shù)時(shí)，把n當(dāng)n21aaa值最小。間的數(shù)）時(shí)，該式子的的數(shù)（包括最中取最中間兩個(gè)數(shù)值之間從小到大排列，、為偶數(shù)時(shí)，把當(dāng)xnn21aaa【鞏固練習(xí)】取得最小值。201121x時(shí)，_x）當(dāng)2（取得最小值。201221x時(shí)，_x）當(dāng)1（

12、.2的最小值。xxxxx求，為五個(gè)有理數(shù)，滿足、設(shè).1543215432154321aaaaaaaaaaaaxxxxaaa【競(jìng)賽銜接】. |4-x|2-x|4)-(x2)-(x|x11的取值范圍：、求例）同號(hào)等式才成立；4x）與（2-x分析：有題意可知，（；或綜上所述：和；得，且當(dāng)和，得，且當(dāng)；）由題意可得（2x4x2x; 4x2x04-x02-x4x; 4x2x04-x02x0)4(2xx解：解：【競(jìng)賽銜接】_.|c-d| - |a-b|25,|dc-b-a|16,|d-c|9,|b-a|a12那么且是有理數(shù)，、已知例dcb；”可知“分析：由絕對(duì)值的性質(zhì)c-d|b-a| )()( |:|b|

13、a|ba|cdbadcba-716-9|c-d| - |a-b|16|d-c|9,|b-a|25|b-a|25|b-a|d-c|cd|16,|d-c|9,|b-a|c-d|b-a|25c-d|b-a| )()( |所以：，從而且又dcdccdba解：解：【競(jìng)賽銜接】.200299-,ax0,cbacba1319的值試求代數(shù)式設(shè)均不為零，且、有理數(shù)例xbacacbcbx；，一個(gè)數(shù)是大于中至少有一個(gè)數(shù)是小于說明分析：有00, a0;0acbcbaacbbcacbacb；時(shí)，當(dāng)；時(shí)，當(dāng)綜上所述：則：，若則：，若可知：由21002002991190420029911; 1ca00b0a; 1c-a00

14、b0a;a, 0cba1919xxxxxcbbaxccbbaxcacbbcacbxx解：解：【競(jìng)賽銜接】的值。求代數(shù)式、已知例22222003200221, 0200320023211420032002321xxxxxxxxx0|2|1, 0| 1|,211xxx；可知：負(fù)性分析：根據(jù)絕對(duì)值的非6-200320023, 2, 12222222222222222121220012002122001200220032003200232120032002321則原式；，根據(jù)題意可知：xxxxx解：解： 利用已有的知識(shí)，靈活熟練地運(yùn)用利用已有的知識(shí)，靈活熟練地運(yùn)用數(shù)的四則運(yùn)算法則和有關(guān)公式，學(xué)會(huì)巧數(shù)的

15、四則運(yùn)算法則和有關(guān)公式，學(xué)會(huì)巧算的方法。算的方法。二、有理數(shù)計(jì)算學(xué)習(xí)與提升二、有理數(shù)計(jì)算學(xué)習(xí)與提升分析：分析：這個(gè)算式中的分母均是這個(gè)算式中的分母均是9999，分子依次是，分子依次是1 1到到296296，而，而1+296=2971+296=297，而，而297297恰好是恰好是9999的的3 3倍，可倍，可以看出，算式中的首末兩項(xiàng)或與首末兩項(xiàng)等距離以看出，算式中的首末兩項(xiàng)或與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之和為的兩項(xiàng)之和為3 39999，并且這樣的和只有，并且這樣的和只有296/2296/2個(gè)。個(gè)。1 1、巧用運(yùn)算律：、巧用運(yùn)算律： 例例1.1.計(jì)算：計(jì)算：1/99+2/99+3/99+296/991

16、/99+2/99+3/99+296/99解：解：1/99+2/99+3/99+296/991/99+2/99+3/99+296/99 = =（1/99+296/991/99+296/99）+ +（2/99+259/992/99+259/99） + +（148/99+149/99148/99+149/99） =3X148 =3X148 =444 =444解：設(shè)解：設(shè)S= 5+8+11+14+17+32S= 5+8+11+14+17+32 反過來寫反過來寫S=32+29+26+5S=32+29+26+5 2S=(5+32)+(8+29)+(32+5) 2S=(5+32)+(8+29)+(32+5)

17、 =37X10 =37X10 =370 =370所以所以S=185S=185例例2 2：5+8+11+14+17+325+8+11+14+17+322、倒寫相加、倒寫相加分析：分析：可利用可利用“倒寫相加倒寫相加”的方法來計(jì)算上式的的方法來計(jì)算上式的和和 觀察上例我們發(fā)現(xiàn)：它的每?jī)蓚€(gè)相鄰的加數(shù)的觀察上例我們發(fā)現(xiàn)：它的每?jī)蓚€(gè)相鄰的加數(shù)的差相等，一般地，給出一列數(shù)差相等，一般地，給出一列數(shù)a a1 1、a a2 2、a a3 3aan n( (其中其中a a1 1稱為首項(xiàng)，稱為首項(xiàng)，a an n稱為末項(xiàng)稱為末項(xiàng)) )，如，如果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都相等，那果從第二項(xiàng)開始，后項(xiàng)與前項(xiàng)的差都相

18、等，那么就稱這列數(shù)么就稱這列數(shù)a a1 1、a a2 2aan n為等差數(shù)列，這個(gè)為等差數(shù)列，這個(gè)差用差用d d來表示。來表示。即即d=ad=a2 2-a-a1 1=a=a3 3- a- a2 2=a=an n-a-an-1n-1d d叫公差，叫公差，n n為項(xiàng)數(shù)為項(xiàng)數(shù) 如何來推算等差數(shù)列如何來推算等差數(shù)列a a1 1、a a2 2aan n的和呢？的和呢？ 例例2 2：5+8+11+14+17+325+8+11+14+17+32設(shè)設(shè)S=aS=a1 1+ a+ a2 2+a+an n反過來寫，則反過來寫，則s= as= an+n+a an-1n-1+a+a1 1兩式相加得：兩式相加得：2S=(

19、a2S=(a1 1+ a+ an n)+(a)+(a2 2+ a+ an-1n-1)+(a)+(an n+ a+ a1 1) )由于由于a a1+ 1+ a an n=a=a2 2+ a+ an-1n-1= a= an n+ a+ a1 1因?yàn)橐驗(yàn)?S=(a2S=(a1 1+an)n+an)n所以所以S=(aS=(a1 1+an)/2n+an)/2n求和的公式。，也就是等差數(shù)列而等差數(shù)列的和，這樣我們就求得了一個(gè)naaSn2)(19920169969962996)19911 (2)(1naan解：原式 例例3. 3. 利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算：利用等差數(shù)列求和公式計(jì)算： 分析：分析：這里這里a

20、 a1 1=1=1，a an n=1991=1991，d=3-1=2d=3-1=2，n=996n=996 1+3+5+1991 1+3+5+1991 解：設(shè)解：設(shè)S=1+3+3S=1+3+32 2+3+320142014 (1) (1) 則則3S=3+33S=3+32 2+3+32015 2015 (2)(2) （2 2）- (1)- (1)得：得：3S-S=(3+33S-S=(3+32 2+3+320152015)-(1+3+3)-(1+3+32 2+3+320142014）2S=32S=320152015-1-1所以所以S=3S=320152015-1/2-1/2 3 3、先乘后減、先乘后

21、減例例4 4：求：求 1+3+3 1+3+32 2+3+320142014的值。的值。分析：分析：和式中從第二項(xiàng)起，相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的和式中從第二項(xiàng)起，相鄰的后一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都是比都是3 3，如先用，如先用3 3乘以和式兩邊，然后與原式對(duì)應(yīng)相乘以和式兩邊，然后與原式對(duì)應(yīng)相減，即可得解。減，即可得解。解：原式解：原式=(90+900+9000+90000+900000)-5=(90+900+9000+90000+900000)-5 =999990-5 =999990-5 =999985 =9999854、湊數(shù)與分拆：、湊數(shù)與分拆：例例5. 5. 計(jì)算計(jì)算89+899+8999+89999+

22、899999 89+899+8999+89999+899999 分析：分析：觀察各數(shù)的特征：都是由觀察各數(shù)的特征：都是由8 8和和9 9組成，只組成，只要將第一個(gè)數(shù)加上要將第一個(gè)數(shù)加上1 1就湊成就湊成9090，第二個(gè)數(shù)加上，第二個(gè)數(shù)加上1 1就湊成就湊成900900，再求和即可。再求和即可。 分析：分析： 1) 1(1431321211. 6nnnn證明例關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)：11111k kkk()1111111kkkkk kk k()()112111212 證明：證明：1341314123121311111n nnn()11212313411n n()()()()()11212131314111

23、nn 11212131311n111nnn1 10210164834221. 7計(jì)算：例分析：分析：算式中的每一項(xiàng)算式中的每一項(xiàng)“分拆分拆”成正負(fù)兩項(xiàng)，成正負(fù)兩項(xiàng)，利用利用“正負(fù)相消正負(fù)相消”的方法計(jì)算。的方法計(jì)算。1091021221121085448344234223221， 解：解：)212211()8544()4423()232(109原式2122102 0 3 61 0 2 45 0 92 5 6 人類的祖先經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐，在數(shù)的范圍內(nèi)確定人類的祖先經(jīng)過長(zhǎng)期的實(shí)踐，在數(shù)的范圍內(nèi)確定了一些運(yùn)算符號(hào)及法則：如加（了一些運(yùn)算符號(hào)及法則：如加（+ +）、減（）、乘）、減（）、乘（）、除（），

24、這使數(shù)學(xué)更加簡(jiǎn)明。（）、除（），這使數(shù)學(xué)更加簡(jiǎn)明。 然而，這些符號(hào)都是然而，這些符號(hào)都是“公認(rèn)的公認(rèn)的”，其實(shí)，除了四，其實(shí)，除了四則運(yùn)算以外，還可以有一些新的符號(hào)，讓它代表新的則運(yùn)算以外，還可以有一些新的符號(hào)，讓它代表新的運(yùn)算，這就是定義新運(yùn)算。運(yùn)算，這就是定義新運(yùn)算。 ，即是說，于任意兩個(gè)數(shù)均有”表示一種新運(yùn)算：對(duì)如規(guī)定“32baba 我們定義的這種新運(yùn)算，其運(yùn)算我們定義的這種新運(yùn)算，其運(yùn)算結(jié)果應(yīng)該是等于參加運(yùn)算的第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)數(shù)的結(jié)果應(yīng)該是等于參加運(yùn)算的第一個(gè)數(shù)加上第二個(gè)數(shù)的2 2倍倍的和與的和與3 3的商。若的商。若a=a=2 2，b=3b=3 則() 232233435、定義新運(yùn)

25、算、定義新運(yùn)算在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常會(huì)遇到這種題。在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，常常會(huì)遇到這種題。 ，、任意兩個(gè)整數(shù)對(duì)于，”“”、現(xiàn)定義兩種運(yùn)算“例1.10bababaabab146835。求的值。()() 解：解： 6868113 3535114 46835()() 4131441314142 6 4261 103。求，命名我們定義一種運(yùn)算，其中對(duì)于有理數(shù)例xyyxyxxyx2)0(,.11() ()148。 解：解：4848284220 ()()() 20202021 () ()2481 31762521556745 解：原式解：原式 31762521556745 5355263952654512765713

26、6 6、一些運(yùn)算技巧、一些運(yùn)算技巧( (湊整湊整）例例1.1.計(jì)算：計(jì)算：例例2. 2. 計(jì)算：計(jì)算：223115.3125222331254 解：原式解：原式4512332225123151322.整數(shù)、分?jǐn)?shù)分離整數(shù)、分?jǐn)?shù)分離15.315.32232231251251234例例3. 3. 計(jì)算計(jì)算 5713771312713 解：原式解：原式 71357120例例4. 4. 計(jì)算：計(jì)算：3613611871214136118712141361 分析：因?yàn)榉治觯阂驗(yàn)?3 61411 271 813 6 逆用分配律逆用分配律倒數(shù)求值倒數(shù)求值 1361411271813614112718136363133313361187121413611143936118712141361與與互為倒數(shù)，而互為倒數(shù)，而 容易計(jì)算。容易計(jì)算。故此題只需計(jì)算后部分的結(jié)果即可。故此題只需計(jì)算后部分的結(jié)果即可。14112718136136 1411 271 813 613 6 解：原式解：原式零因式定值零因式定值10910009100000922233223. 分析：解答時(shí)切忌從左至右按順序運(yùn)算，因?yàn)榉治觯航獯饡r(shí)切忌從左至右按順序運(yùn)算，因?yàn)?223303解：原式解：原式088009. 010009. 0109 . 0122 例例5. 5.