數(shù)列通項公式與求和講解與習(xí)題(含答案)

1、數(shù)列通項與求和一求數(shù)列通項公式1定義法（等差數(shù)列通項公式；等比數(shù)列通項公式。）例等差數(shù)列是遞增數(shù)列，前n項和為，且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項公式答案：2公式法：已知（即）求，用作差法：例設(shè)正整數(shù)數(shù)列前n項和為，滿足，求答案：3作商法：已知求，用作商法：。如數(shù)列中，對所有的都有，則 ；答案：4累加法：若求：。例已知數(shù)列，且a1=2，an+1=an+n，求an答案：5累乘法：已知求，用累乘法：例已知數(shù)列滿足，求。答案：6已知遞推關(guān)系求，用構(gòu)造法（構(gòu)造等差等比數(shù)列）。（1）形如只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異其中有多種不同形式為常數(shù)，即遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。解法：轉(zhuǎn)化為：，其中，再利用換元法

2、轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。例 已知數(shù)列中，求答案：為一次多項式，即遞推公式為例設(shè)數(shù)列：，求答案： 為的二次式，則可設(shè)；（2）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)，）。（或，其中p，q， r均為常數(shù)）解法：該類型復(fù)雜一些。一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型（1）的方法解決。例已知數(shù)列中，求。答案：（3）遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足，再應(yīng)用前面類型（2）的方法求解。例 已知數(shù)列中，求。答案：7 形如或的遞推數(shù)列都可以用倒數(shù)法求通項。例答案：8.利用平方法、開平方法構(gòu)造等差數(shù)列例1數(shù)列的各項均為正數(shù)，且滿足，求。答案：例2已

3、知，求：（1）；（2）設(shè)，求。答案：（1）（2）9型該類型是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為前邊的類型，然后再用遞推法或待定系法構(gòu)造等比數(shù)列求出通項。兩邊取對數(shù)得設(shè)原等式變?yōu)榧醋優(yōu)榛拘?。例已知，求其通項公式。答案：練?xí)：1.已知且，求答案：2.已知且，求答案：3.已知數(shù)列中，前項和與的關(guān)系是 ，試求通項公式。解：當(dāng)n=1時,有：S1=a1=2a1+(-1) a1=1；當(dāng)n=2時,有：S2=a1+a2=2a2+(-1)2a2=0； 當(dāng)n=3時,有：S3=a1+a2+a3=2a3+(-1)3a3=2；綜上可知a1=1,a2=0,a3=2；由已知得：化簡得：上式可化為：故數(shù)列是以為首項, 公比為2的等比數(shù)列

4、.故 數(shù)列的通項公式為：.4.設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項；解：由得則所以數(shù)列的通項公式為5. 已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點，其導(dǎo)函數(shù)為，數(shù)列的前n項和為，點均在函數(shù)的圖像上求數(shù)列的通項公式；解：因為所以所以式式得則則所以由，取n=2得，則，又知，則，代入得6. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。已知，求通項an答案：7. 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。答案：8.已知且，求答案：9.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。答案：10.已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。答案：11.已知數(shù)列an的首項a1=，an+1=，n=1，2，求an的通項公式；答案：12.設(shè)數(shù)列滿足且，求答案：13.已知等比數(shù)列，等差數(shù)

5、列（）中，為中連續(xù)的三項，求答案： 14.已知各項為正數(shù)的數(shù)列滿足，求答案：15.已知，且，求答案：16.已知且，求答案：17已知，求通項an答案：18.已知是首項為1，公差為的等差數(shù)列，且。（1）求證：也是等差數(shù)列；（2）若，如此構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的通項公式。答案：二數(shù)列求和1 公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式，特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時需分類討論；常用公式：，例已知，求的前n項和.答案：2分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和 例2 求數(shù)列的前n項和：，答案：3倒序相加法：若和式中到首尾

6、距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）例3求的值答案：4錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數(shù)列前和公式的推導(dǎo)方法）例4 求和：例5求數(shù)列前n項的和答案：5裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和常用裂項形式有：；，； ；例6求數(shù)列的前n項和答案：例7在數(shù)列an中，又，求數(shù)列bn的前n項的和答案：6通項轉(zhuǎn)換法：先對通項進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運用分組求和法求和。例8

7、 求之和答案：三能力綜合1數(shù)列an的通項公式為an=，已知前m項和Sm=9，則m為( ) A 99 B98 C10 D9 2數(shù)列1，1+2，l+2+22，1+2+22+2n-1前n項和等于( ) A2n+1-n B2n C2n-n D2n+1-n-23數(shù)列的首項為3，為等差數(shù)列且，若，則（ ）A0 B3 C8 D114設(shè)數(shù)列滿足且。（1）求的通項公式；（2）設(shè)，記，證明：5如果f(x+y)=f(x)·f(y)，且 f(1)=-2，則等于 答案：-5026設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn=2n2，bn為等比數(shù)列，且a1=b1，b2（a2-a1）=b1(l)求數(shù)列an和bn的通項公式；(2)設(shè)

8、cn=，求數(shù)列cn的前n項和Tn答案：（1）（2）7求滿足下列條件的數(shù)列的通項公式。（1）已知滿足，求；（2）已知滿足，且，求。答案：（1）（2）8求下面各數(shù)列的前n項和。（1）； （2）9設(shè)函數(shù)的定義域為N+，且滿足，求。10設(shè)正值數(shù)列的前n項和為，滿足（1）求，（2）求出數(shù)列的通項公式(寫出推導(dǎo)過程)（3）設(shè)求數(shù)列的前n項和答案：（1）；（2）；（3）11已知數(shù)列an：a1，a2，a3，an，構(gòu)造一個新數(shù)列：a1，(a2 a1)，（a3-a2），（an-an-1），此數(shù)列是首項為1，公比為的等比數(shù)列 (l)求數(shù)列an的通項； (2)求數(shù)到an的前n項和Sn12已知數(shù)列an的首項a1=，n=1，2，(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列的前n項和Sn13已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足。（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)