基變換與坐標(biāo)變換

1、問題：1一個(gè)線性空間中兩組基之間的關(guān)系是什么？如何變換?2同一個(gè)向量在不同基下的坐標(biāo)之間有什么關(guān)系？§4基變換與坐標(biāo)變換在n維線性空間中，任意n個(gè)線性無關(guān)的向量都可以取作空間的基。對(duì)不同的基，同一個(gè)向量的坐標(biāo)一般是不同的。§3的例子已經(jīng)說明了這一點(diǎn)。現(xiàn)在我們來看，隨著基的改變，向量的坐標(biāo)是怎樣變化的。一Xi一x2向量運(yùn)算的形式與法：規(guī)定向量E=X1ei+X2£2+Xnen=(£1,£2,，&n):_Xn1鳥=a1哥+a2ij+ani%'.可以寫成；2-a12；1'a22；2,'an2；nII'；n=ain

2、；1a2n；2.Hnn；na11a12a1n''a21a22a2n(81,名2，與)=(£1,£2/"，£n)_an1an2ann_在a1,a2,an和31,32,，3n是V中兩個(gè)向量組，A=(aj),B=(bij)是兩個(gè)nxn矩陣，那么(a1,a2,an)A)B)=(a1,a2,an)(AB)；(a1,a2,an)A+(a1,a2，an)B=(a1,a2,an)(A+B);(a1,a2,an)A+(31,32,，3n)A=(a1+31,a2+32,，an+3n)A引例：£ 1£ 2£ 3v11、0為P3中的

3、兩組基試求兩組基之間的關(guān)系,3P3中任意向量在這兩組基下的坐標(biāo)之間的關(guān)系&2 =£1 + £2 * 083,(國(guó)產(chǎn)2 , %) = ( £ 1 , £ 2 , £ 3)3 = ；1 . 0 ；2 . 0 ；311<11 11 0(1)0 0，1、2=必十2勿十3鼻=（53)6.01'（1）代入（2）得到2l3,設(shè)ei,e2,，en與當(dāng)，%是n維線性空間V中兩組基，它們的關(guān)系是；1=a1i；1a2i；2,'ani；n'(1)；2二a12；1a22；2''an2；n'；n-am；1,a2

4、n；2Hnn；n設(shè)向量E在這兩組基下的坐標(biāo)分別是（x1,x2，,xn）與（x1,x2，xn）,即(2)=x1&1+x2&2+xn&n=x1W1+x22+,+xn®n現(xiàn)在的問題就是找出（x1,x2，,xn）與（x1,x2，xn）的關(guān)系。首先我們指出，（1）中各式的系數(shù)（a1j,a2j,anj）,j=1,2,，n實(shí)際上就是第二組基向量%（j=1,2,n）在第一組基下的坐標(biāo)。向量常，/，的線性無關(guān)就保證了（1）中系數(shù)矩陣的行列式不為零（試直接驗(yàn)證）。換句話說，這個(gè)矩陣是可逆的。為了寫起來方便，我們引入一種形式的寫法。把向量8=x1£1+x2e2+xn

5、63;n寫成-xj一、x2卬E=（e1,e2,，en）:,1xn1也就是把基寫成一個(gè)1Xn矩陣，把向量的坐標(biāo)寫成一個(gè)nX1矩陣，而把向量看作是這兩個(gè)矩陣的乘積。我們所以說這種寫法是“形式的”，在于這里是以向量作為矩陣的元素，一般說來沒有意義。不過在這個(gè)特殊的情況下，這種約定的用法是不會(huì)出毛病的。相仿地，(1)可以寫成"an知ain（4）'''、a21a22a2n（京，名2，n）=（&1,£2，&n）A.,-,0._an1an2ann矩陣a11呢ana21a22a2nA=a n1an2a nn稱為由基S1,£2,，£

6、n到必，W2,，君n的過渡矩陣，它是可逆的。在a1,a2,an和31,32,，3n是v中兩個(gè)向量組，A=(a»,B=(bj)是兩個(gè)nXn矩陣，那么(a1,a2,an)A)B)=(a1,a2,an)(AB)；(a1,a2,1-an)A+(a1,a2,11an)B=(a1,a2,an)(A+B)；(a1,a2,an)A+(31,32,，3n)A=(a1+31,a2+32,，an+3n)A這些等式的驗(yàn)證是非常容易的，我們把它留給讀者。X2現(xiàn)在回到本節(jié)所要解決的問題上來。由(2)有E二（樂，,，Sn）用（4）代入，得E =（ e 1 , e 2a11a12an一 Xa21a22a2n'

7、;X2& n ）an1an2ann 一'Xn 一.Xn與(3)比較，由基向量的線性無關(guān)性，得或者-xja11a12X2a二a21a22jXn-an1an2a1n一Xa2n'X2aai.ann一'Xn-一x；la12ainXix2_a21a22,Xn-anian2a2nX2（3）與（6）給出了在基變換（4）下，向量的坐標(biāo)變換公式。例在§3例2中，我們有一1、1（的，名2，£n）=（81,£2，&n）J這里100110A=I.,-,«AJ111(6)?！?1就是過渡矩陣。不難得出一11因此也就是X1與3所得出的結(jié)果是一致的,A-1一xjX2'jXn-=X1,-0一110001100110-W-*00110001100_110.-001X2_XnXi=Xi-Xi-1(i=1,2,n)22例P2中的兩組基為0<0100J0；0；1=1；10；20；30；4；2=1；11；20；30；4；3=1；11；21；3。；4；4=1；11；21；31；4J111'0111(81,工2,%,*4)=(名1,*2,%,84)八八.00110001,A1 2、=弱+2%