應(yīng)力坐標(biāo)變換

1、應(yīng)力坐標(biāo)變換進行數(shù)值計算分析的時候經(jīng)常會遇到要對應(yīng)力的計算結(jié)果進行坐標(biāo)變換，在此將其計算公式羅列如下:匕=(y=JJ巧J魚-JJoy |y'zJ”yxp =叫Aih-PJapT式中：I1,m1,n1為x'與x、y、z的夾角余弦；I2,m2,n2為y '與x、y、z的夾角余弦；I3,m3,n3為z'與x、y、z的夾角 余弦；x' y' z'為新坐標(biāo)系，xyz為舊坐標(biāo)系。計算最后得到的公式為：dx'= I1A2*dx+2*I1*m1*Txy+2*I1* n1*Txz+m"2*dy+2*m1* n1*Tyz+dz* n&quo

2、t;2dy ' =I2A2*dx+2*I2*m2*Txy+2*I2*n2*Txz+m2A2*dy+2*m2*n2*Tyz+n2A2*dzdz' =l3A2*dx+2*l3*m3*Txy+2*l3* n3*Txz+m3A2*dy+2*m3* n3*Tyz+n3A2*dzTx' y' =(I1*n2+n 1*I2)*Txz+(n1*m2+m1*n2)*Tyz+(l1*m2+m1*l2)*Txy+l1*l2*dx+m1*m2*dy+ n1*n2*dzTy' z' =(I2*n3+n2*l3)*Txz+(n2*m3+m2*n3)*Tyz+(l2*m3+m

3、2*l3)*Txy+l2*l3*dx+m2*m3*dy+ n2*n3*dzTx' z' =(I1*n3+n 1*I3Txz+(n1*m3+m1*n3)*Tyz+(l1*m3+m1*l3)*Txy+l1*l3*dx+m1*§ 2.6坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量在坐標(biāo)*s沖，黨點的應(yīng)力張楚為新坐標(biāo)磊Ox* i fz與Oxvz的夬甫方向余孫為斯坐棉斥下的應(yīng)力分呈學(xué)習(xí)思路:一點的應(yīng)力不僅隨著點的位置改變而變化，而且由于截面的法線方向不同， 截面上的應(yīng)力也不同。因此必須探討一點任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。 應(yīng)力分 量能夠描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律，

4、就可以確 定應(yīng)力狀態(tài)。本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡化分析，首先假設(shè)斜截 面的法線與新坐標(biāo)軸方向相同，建立斜截面應(yīng)力矢量表達式。然后利用斜截面應(yīng) 力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，將應(yīng)力矢量投影于各個坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達式。應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說明：應(yīng)力分量滿足張量變換條件根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對稱張量。轉(zhuǎn)軸公式說明了一點的應(yīng)力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變, 但是一點的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點:1. 坐標(biāo)系的變換；2. 坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量3. 應(yīng)力分量的投影；4. 應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式；5. 平面問題的轉(zhuǎn)軸公式。一點的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，隨著彈性體中點的位置改變而

5、變化， 而且即使同 一點，由于截面的法線方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點的應(yīng)力隨著截面 的法線方向的改變而變化稱為 應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描 述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標(biāo)系改變時，一點的各個應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng) 力狀態(tài)。當(dāng)坐標(biāo)系改變時，同一點的各個應(yīng)力分量將作如何的改變。容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時，同一點的應(yīng)力分量是不會改變的，因此 只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oxyz中，彈性體中某點的應(yīng)力分量為如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過一個角度, 坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系：得到一個新的坐標(biāo)系Ox'y'z'。設(shè)新坐標(biāo)系與原Z

6、其中，li，mi，ni表示新坐標(biāo)軸Ox'y'z'與原坐標(biāo)軸Oxyz之間的夾角方向余弦。如果用表示同一點在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。作斜截面ABC與x'軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn,則根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達式卩廣6】十廠穢巾十曠姻用 P, = T J豐礙刖+ y p. =十十 F設(shè)i', j', k'為新坐標(biāo)系Ox'y'z'的三個坐標(biāo)軸方向的單位矢量,如圖所示。將pn，即px'向x'軸投影就得到 上;向y 軸投影就得到,XV；向z'軸投影就得到x'z'；所以6二"2 3

7、+pyJ1D比）1疏川點）二血+博業(yè)+喚J二Pjk二-p八叫p嚴(yán)®“將應(yīng)力矢量分量表達式代入上述各式，并分別考慮y，z方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式6、=閉兀 +擁;丐 +場朋苗那+ 2朋聲苗陰4- 2絢肚吊 qy 二矇6 十也;屯 +nj（7Z + 212tn2r +血灑汀嚴(yán)+ 2月拓如6、二£；口 +燉;礙 +喝6 + 為芒層十2蝕打詳昭+ 2角 匸”»仏6 +囤叫礙十叫角q十©嗎+Z廬J訂十（用I® +蝕角+（打£虧才=6 +佗礙礙+勺冬耳+色叫+人蝕牙孕+ 仏 +佗® ”嚴(yán)+ （臥+智S）%”+叫伽丐 +®角礙

8、+鴿陷+£蝕”卒+（刖瀘1 +隔角片陋+ （和山+詭g注意到， 逡 = N 蟲二 裁，_7'=_/''用張量形式描述，則上述公式可以寫作應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后,應(yīng) 量的九個分量均有改變，但是作為一個整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會發(fā)生變化的。應(yīng)力張量為二階對稱張量，僅有六個獨立分量。新坐標(biāo)系下的六個應(yīng)力分量可通過原坐標(biāo)系 的應(yīng)量確定。因此，應(yīng)力張量的六個應(yīng)力分量就確定了一點的應(yīng)力狀態(tài)。對于平面問題，如Ox軸與Ox'成角。則新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系:xrcow 伊-sin pyrsin (pcos根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得二 b” cosJ ® +sm2 星一2廠刖 cossin(ry. = cfx siiiJ 訶 +cos2 p + 2r cospsiii p芒小、-(ax _ b J cos tp sin (p* 壬科(cosJ tp - sin3 p)上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。應(yīng)該注