分析-偏微方程數(shù)值解法ppt課件

1、W YW YW Y “高數(shù)中接觸了一些簡單偏微分，也接觸了簡單偏微分高數(shù)中接觸了一些簡單偏微分，也接觸了簡單偏微分方程，如：方程，如： zyzxxzyxxxxzy2ln1 ) 1, 0(其中：其中： 1yyxzzxxyzylnvuyvuxyxarctgz , , 1 yzxz滿足：滿足： W Y 3. 2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z 滿足：滿足： 1yzxz 4. 滿足：滿足： xeytknsin222xykty 5. 滿足：滿足： 22lnyxz02222yuxu6. 滿足：滿足： 222zyxr 上面是已知函數(shù)，上面是已知函數(shù)， ，驗證滿足等，驗證滿足等式，反過來，將等式視為方

2、程，則是求解方程，式，反過來，將等式視為方程，則是求解方程，得到解函數(shù)。得到解函數(shù)。 ),(yxfz rzryrxr2222222W Y 因此偏微分方程：因此偏微分方程： 1. 含偏微分的等式，含偏微分的等式， 2. 求解偏微分方程、求含多個自變量的函數(shù)求解偏微分方程、求含多個自變量的函數(shù) 3. 帶有初值、邊界條件。帶有初值、邊界條件。 常微分方程的求解已很困難，通過分門常微分方程的求解已很困難，通過分門別類研究，能求得一些特殊類型方程的解別類研究，能求得一些特殊類型方程的解（只含一個變量），即便是一階方程，也很（只含一個變量），即便是一階方程，也很難求出解析解表達式，也因此，在上一章我難求出

3、解析解表達式，也因此，在上一章我們研究了一階微分方程們研究了一階微分方程 的的 數(shù)值解法。數(shù)值解法。W Y 要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏要求解偏微分方程比求解常微分方程更難，因此尋求偏微分方程的數(shù)值解更顯重要，實際上，絕大部分偏微分方微分方程的數(shù)值解更顯重要，實際上，絕大部分偏微分方程不可能求到解析函數(shù)解，基本上都是數(shù)值解法。程不可能求到解析函數(shù)解，基本上都是數(shù)值解法。 一般來說，偏微分方程從實際問題抽出后，多是下列幾一般來說，偏微分方程從實際問題抽出后，多是下列幾種類型種類型: （1泊阿松方程泊阿松方程Poisson），又稱為橢圓型方程：），又稱為橢圓型方程： ),( )

4、,(2222yxyxfyuxuu ：自變量：自變量的的變化區(qū)域，有變化區(qū)域，有界區(qū)域。界區(qū)域。 ：的邊界，分段光滑曲線。的邊界，分段光滑曲線。 當當 稱為拉普拉斯方程稱為拉普拉斯方程Laplace或調(diào)和方程，或調(diào)和方程， 例如例如 滿足：滿足： 0u22lnyxz0uW Y相應(yīng)第一邊值條件：相應(yīng)第一邊值條件： ),(|yxu 第二、第三邊值條件：第二、第三邊值條件： ),(yxaunu 為邊界為邊界的外法線方向，的外法線方向， 為第二邊界條件，為第二邊界條件， 為第三邊界條件。為第三邊界條件。 n0a0a 各種物理性質(zhì)的定長問題不隨時間變化過程）各種物理性質(zhì)的定長問題不隨時間變化過程），都可用

5、橢圓型方程描述。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)，都可用橢圓型方程描述。如帶有穩(wěn)定熱源或內(nèi)部無熱源的穩(wěn)定場的溫度分布，不可壓縮流體的部無熱源的穩(wěn)定場的溫度分布，不可壓縮流體的穩(wěn)定克旋流動及靜電場的電熱等均滿足上述方程。穩(wěn)定克旋流動及靜電場的電熱等均滿足上述方程。 橢圓型方程續(xù)）橢圓型方程續(xù)） W Y222tuatu 相應(yīng)有：柯西相應(yīng)有：柯西Cauchy初值條件：初值條件： )()0 ,(xxu),(x初邊值條件為：初邊值條件為： ) 0 ()( )(), () 0 () 0 ( )0 ( )(), 0 (0 )() 0 ,(2211gltgtlagTttgtulxxxu第一邊值條件：第一邊值條件： )(),

6、()(), 0(21tgtlutgtu第二邊值條件：第二邊值條件： Tttgxutgxulxx0 )()(210W Y第三邊值條件為：第三邊值條件為： Tttgutxutgutxutglxx0 )()()()(2)(21012其中其中 0)(, 0)(21tt 在熱傳導過程的研究中，氣體的擴散現(xiàn)象在熱傳導過程的研究中，氣體的擴散現(xiàn)象及電磁場的傳播等隨時間變化的非定常物理及電磁場的傳播等隨時間變化的非定常物理問題，都可用上述方程來描述。問題，都可用上述方程來描述。 W Y), 0( ), 0( 22222Ttlxxuatu 最簡單形式為線性雙曲方程：最簡單形式為線性雙曲方程： 0 0txuatu

7、其初邊值其初邊值條件為：條件為： ),( )()() 0 ,(0 xxtuxut邊值條件同熱邊值條件同熱傳導方程。傳導方程。 物理中常見的一維振動及各類波動問題，物理中常見的一維振動及各類波動問題，均可用波動方程描述。均可用波動方程描述。 W Y 如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一，并且連如果偏微分方程定解問題的解存在，唯一，并且連續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函續(xù)依賴于定解數(shù)據(jù)即出現(xiàn)在方程和定解條件中的已知函數(shù)），則此定解問題是適定的?？梢宰C明，上面所舉各種數(shù)），則此定解問題是適定的。可以證明，上面所舉各種定解問題都是適定的。定解問題都是適定的。 2. 差分方法的基本概念：

8、差分方法的基本概念： 先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域先對求解區(qū)域作網(wǎng)格剖分，將自變量的連續(xù)變化區(qū)域 用有限離散點網(wǎng)格點集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)用有限離散點網(wǎng)格點集代替；將問題中出現(xiàn)的連續(xù)變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點上離散變量的函數(shù)代替；通變量的函數(shù)用定義在網(wǎng)格點上離散變量的函數(shù)代替；通過用網(wǎng)格點上函數(shù)的差商代替導數(shù)，將含連續(xù)變量的偏過用網(wǎng)格點上函數(shù)的差商代替導數(shù)，將含連續(xù)變量的偏微分方程定解問題化成只含有限個未知數(shù)的代數(shù)方程組微分方程定解問題化成只含有限個未知數(shù)的代數(shù)方程組（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當網(wǎng)格無限（稱為差分格式）。如果差分格式有解，且當網(wǎng)格無限變小時其解收

9、斂于原微分方程定解問題的解，則差分格變小時其解收斂于原微分方程定解問題的解，則差分格式的解就作為原問題的近似解數(shù)值解）。式的解就作為原問題的近似解數(shù)值解）。 W Y 所以，偏微分方程數(shù)值解法，實際上是通過網(wǎng)格及差分所以，偏微分方程數(shù)值解法，實際上是通過網(wǎng)格及差分格式將偏微分方程定解問題離散化后求定義域上有限離散格式將偏微分方程定解問題離散化后求定義域上有限離散點網(wǎng)格點對應(yīng)函數(shù)值點網(wǎng)格點對應(yīng)函數(shù)值u(x,y)的近似值差分值），體的近似值差分值），體現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解法中是求定義區(qū)間上離散點現(xiàn)在常微分方程數(shù)值解法中是求定義區(qū)間上離散點xi對應(yīng)對應(yīng)y(xi)的近似值的近似值yi。 因而，用差分方法

10、求解偏微分方程定解問題，一般因而，用差分方法求解偏微分方程定解問題，一般需解決以下問題：需解決以下問題： （1選取網(wǎng)格：對定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、選取網(wǎng)格：對定義區(qū)域如何劃分？常用的有矩形、 菱形等格式。菱形等格式。 （2對偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列對偏微分方程及定解條件，選擇充分近似，列 出差分格式，化偏微分方程為差分方程組線出差分格式，化偏微分方程為差分方程組線 性代性代 數(shù)方程組）。數(shù)方程組）。 W Y 如可用差商差分代替導數(shù)：如可用差商差分代替導數(shù)： )(0)()(hhxfbxfdxdf)( 0)()(hhbxfxfdxdf)( 02)()(hhbxfbxfdxdf

11、 對偏導數(shù)同樣有：對偏導數(shù)同樣有： )( 0),(),(),(txutxuttxu)(0,),(txutxutu)( 02,),(2txutxutu一般還可以得出：一般還可以得出： 等等；等等； )(0)(),(2),(2222hhhtxutxuthxuxuW Y （3求解充分方程解的存在性與唯一性）求解充分方程解的存在性與唯一性） （4討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近討論充分方程的解是否可作為偏微分方程的解的近似值收斂性及誤差估計）。似值收斂性及誤差估計）。 按上述方法，差分方法也可用于求解常微分按上述方法，差分方法也可用于求解常微分方程，為了幫助理論，下面先簡單介紹在常微分方程

12、，為了幫助理論，下面先簡單介紹在常微分方程中近值問題數(shù)值解法；方程中近值問題數(shù)值解法； 二階線性微分方程第一邊值問題：二階線性微分方程第一邊值問題： )( ,)(, )()()(byaybaxxfyxqxyW Y（1差分方程的建立：差分方程的建立： 將將a, b分為分為n個相等的小區(qū)間，個相等的小區(qū)間， , ), 1 , 0(nabhniihaxN要將要將 離散化，建立充分方程，即要用：離散化，建立充分方程，即要用： )()()(xfyxqxy ),( )(12)()(2)()(1) 4(2211 iiiiiiiixxyhhxyxyxyxy則在內(nèi)節(jié)點則在內(nèi)節(jié)點xi處，方程化為：處，方程化為：

13、1, 2 , 1 )(12)()()()()(2)() 4 (2211niyhxfxyxqhxyxyxyiiiiiii x1 ,xn-1 稱為內(nèi)節(jié)點，稱為內(nèi)節(jié)點，x0 ,xn稱為邊界點。稱為邊界點。 W Y 在上式中略去余項，并記在上式中略去余項，并記qi=q(xi), fi=f(xi), yi=y(xi),則則得差分方程：得差分方程： 此為此為n-1)(n-1)階線性代數(shù)方程組。其解階線性代數(shù)方程組。其解作為邊值問題精確解作為邊值問題精確解y(x)在在x1,x2,xn-1處的近似值，稱處的近似值，稱為差分解。為差分解。 121,nyyyniiiiiiyynifyqhyyy , 1, 2 ,

14、1 20211以以 iiiiiiyqhyyyyL2112)( 則差分方程則差分方程組可簡記為：組可簡記為： 1, 2 , 1 ,)(0niyyfyLniiW Y 可證：可證： 1. 極值定解：設(shè)極值定解：設(shè)y0 ,y1 ,yn不全相等不全相等: 若滿足條件若滿足條件 ， ，那，那么么 y0 ,y1 ,yn 中正的最大值只能是中正的最大值只能是 y0 或或yn 。) 1, 2 , 1(0)(niyLi 2. 充分方程解唯一存在。充分方程解唯一存在。 ) 1, 2 , 1(0)(niyLi 若滿足若滿足 ，那，那么么 y0,y1,yn 中負的最小值只能是中負的最小值只能是y0 或或 yn 。 W

15、Y121121212121 1)2 ()2 (111)2 (nnhfhfhfyyyhqhqhq 這是這是(n-1)(n-1)的三對角方程組，的三對角方程組， 系數(shù)矩陣對角占優(yōu)系數(shù)矩陣對角占優(yōu)追趕法求解。追趕法求解。 0iq3. 方程組解法：方程組解法： niiiiiyynifhyyhqy ,1, 2 , 1 )2( 02121亦即：亦即： W Y例用差分法解例用差分法解二階二階線性線性微分方程第一邊值問題：微分方程第一邊值問題： 1(1) 0)0(10 yyxxyy解：取解：取h = 0.1,那么那么xxfxgiixi)(, 1)( )10, 2 , 1 , 0 (1 . 001. 2)01.

16、 02()2(2hqi所以：所以：9 , 2 , 1 ,001. 001. 01 . 0iiifi因此差分因此差分方程為方程為 ：002. 0001. 0 01. 21101. 21101. 21101. 21221nnyyyyW Yxeeeexyxx1)( 2)(xiyiy(xi）xiyiy(xi)0.10.07048940.07046730.60.48356840.48348010.20.14268360.142464090.80.71147910.71141090.30.21830480.21824360.90.84700450.84696330.40.29910890.2990332

17、解此差分方程，計算結(jié)果列在下表中：解此差分方程，計算結(jié)果列在下表中：其中：二階線性微分其中：二階線性微分 方程的解函數(shù)為方程的解函數(shù)為W Y 下面，我們再通過一個簡單的例子來說明用差下面，我們再通過一個簡單的例子來說明用差分方法求解偏微分方程問題的一般過程及差分方分方法求解偏微分方程問題的一般過程及差分方法的基本概念。法的基本概念。 設(shè)有一階雙曲型設(shè)有一階雙曲型方程初值問題：方程初值問題： ) 110()()0 ,(, 0 0 xxuxtxuatu首先對定解區(qū)域：首先對定解區(qū)域： 0,| ),(txtxD, 2, 1, 0(,kjttkhxxjk 作網(wǎng)格剖分，最簡單常用的一種網(wǎng)格是：作網(wǎng)格剖分

18、，最簡單常用的一種網(wǎng)格是： 用兩族分別平用兩族分別平行于行于x軸與軸與t 軸的等距直線軸的等距直線W Y將將D分成許多小矩形區(qū)域見圖分成許多小矩形區(qū)域見圖10-1）。這些直線稱為網(wǎng)）。這些直線稱為網(wǎng)格線，其交點稱為網(wǎng)格點，格線，其交點稱為網(wǎng)格點，也稱為節(jié)點，也稱為節(jié)點，h和和分別稱分別稱作作x方向和方向和t方向的步長。方向的步長。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。這種網(wǎng)格稱為矩形網(wǎng)格。如果我們用向前差商如果我們用向前差商表示一階偏導數(shù)，即表示一階偏導數(shù)，即 :),(2),()(1, 1),(2jkxjkjktxthxuhhtxutxuxujk ),(2),()(21,),(2 jktjkjktxtxuht

19、xutxutujk其中其中: 1,0210233h-h2hh-2htx（圖（圖10-1）W Y于是，方程于是，方程10-1在節(jié)點在節(jié)點 處可表示為處可表示為 :),(jktx htxutxuatxutxujkjkjkjk),(),(),(),(11),(2),(21222jkxjktthxuahtxu )0,1,2,2,1,0,( ),(jktxRjk其中：其中： )2,1, 0( )()0 ,(kxxukk由于當由于當h，足夠小時，足夠小時， 是小量，在式是小量，在式10-2中略中略去去 就得到一個與方程就得到一個與方程10-1相近似的差分方程。相近似的差分方程。),(jktxR),(jkt

20、xRW Y0, 1,1,huuauujkjkjkjk此處，此處， 可看作是問題可看作是問題10-13的解在節(jié)點的解在節(jié)點 處處的近似值。由初條件有：的近似值。由初條件有： jku,),(jktx), 2, 1, 0( )(0,kxukk式式10-3與與10-4結(jié)合，就得到求問題結(jié)合，就得到求問題10-1的數(shù)值解的差分格式。的數(shù)值解的差分格式。 而稱式而稱式（10-5）為差分方程為差分方程10-3的截斷誤差。的截斷誤差。),(2),(2),(1222jkxjktjkthxuahtxutxR )(hOW Y 如果一個差分方程的截斷誤差為 ，則稱差分方程對t是q階精度，對x是p階精度的。顯然，截斷誤

21、差的階數(shù)越大，差分方程對微分方程的逼近越好。 )(pqhOR 若網(wǎng)格步長趨于若網(wǎng)格步長趨于0時，差分方程的截斷誤差也趨時，差分方程的截斷誤差也趨于于0，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。，則稱差分方程與相應(yīng)的微分方程是相容的。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。這是用差分方法求解偏微分方程問題的必要條件。 如果當網(wǎng)格步長趨于如果當網(wǎng)格步長趨于0時，差分格式的解收斂到相應(yīng)微時，差分格式的解收斂到相應(yīng)微分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。分方程定解問題的解，則稱這種差分格式是收斂的。 用差分格式求解時，除了截斷誤差外，每步計算都會用差分格式求解時，除了截斷誤差外，每步計算都會

22、產(chǎn)生舍入誤差，在遞推計算的過程中，誤差還會傳播。對產(chǎn)生舍入誤差，在遞推計算的過程中，誤差還會傳播。對計算過程中誤差傳播的討論就是差分格式的穩(wěn)定性問題。計算過程中誤差傳播的討論就是差分格式的穩(wěn)定性問題。W Y 如果利用某種差分格式求解，計算過程中誤差越來越如果利用某種差分格式求解，計算過程中誤差越來越大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是數(shù)值不大，以致所求的解完全失真，則稱該差分格式是數(shù)值不穩(wěn)定的。后面的討論表明，差分格式的穩(wěn)定性不僅與差穩(wěn)定的。后面的討論表明，差分格式的穩(wěn)定性不僅與差分格式本身有關(guān)，而且與網(wǎng)格步長之比稱為網(wǎng)格比）分格式本身有關(guān)，而且與網(wǎng)格步長之比稱為網(wǎng)格比）的大小有關(guān)。如果

23、一種差分格式對任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，的大小有關(guān)。如果一種差分格式對任意網(wǎng)格比都穩(wěn)定，則稱該差分格式是無條件穩(wěn)定的；若只對某些網(wǎng)格比的則稱該差分格式是無條件穩(wěn)定的；若只對某些網(wǎng)格比的值穩(wěn)定；則稱為條件穩(wěn)定。如果對任何網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，值穩(wěn)定；則稱為條件穩(wěn)定。如果對任何網(wǎng)格比都不穩(wěn)定，則稱完全不穩(wěn)定。完全不穩(wěn)定的差分格式是無效的。值則稱完全不穩(wěn)定。完全不穩(wěn)定的差分格式是無效的。值得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無關(guān)。得指出的是，穩(wěn)定性與微分方程無關(guān)。 定理定理10.1 （Lax等價定理）等價定理） 給定一個適定的初值問題，給定一個適定的初值問題，如果逼近它的差分格式與它相容，則該差分格式收斂的充如果逼近它的

24、差分格式與它相容，則該差分格式收斂的充分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。分必要條件為它是數(shù)值穩(wěn)定的。 由此定理，在對差分格式的穩(wěn)定性進行討論的同時，由此定理，在對差分格式的穩(wěn)定性進行討論的同時， 收斂性問題也就解決了。收斂性問題也就解決了。 （證明略）（證明略）W Y 本節(jié)以本節(jié)以Poisson方程為方程為基本模型討論第一邊值基本模型討論第一邊值問題的差分方法。問題的差分方法。 2.1 差分格式的建立差分格式的建立 考慮考慮Poisson方程的第一邊值問題：方程的第一邊值問題： ),(| )(),( ),(),(2222yxx,yuyxyxfyuxuyx 取取h和和分別為分別為x方向和方向和 y方向

25、的步長，如圖方向的步長，如圖10-2所示，以兩族平行線：所示，以兩族平行線： jyykhxxjk, 0,(jk), 2, 1將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格將定解區(qū)域剖分成矩形網(wǎng)格 。節(jié)點的全體記為：節(jié)點的全體記為： 為整數(shù)jijykhxyxRikjk,| ),(RQPTS圖圖10-2W Y定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點稱為內(nèi)點，記內(nèi)點集定解區(qū)域內(nèi)部的節(jié)點稱為內(nèi)點，記內(nèi)點集 為為 。邊境邊境 與網(wǎng)格線的交點稱為邊界點，邊界點全體記為與網(wǎng)格線的交點稱為邊界點，邊界點全體記為 。與節(jié)點與節(jié)點 沿沿x方向或方向或y方向只差一個步長的點方向只差一個步長的點 和和 稱為節(jié)點稱為節(jié)點 的相鄰節(jié)點。的相鄰節(jié)點。 Rhh),(j

26、kyx),(1jkyx),(1jkyx),(jkyx 如果一個內(nèi)點的四個相鄰節(jié)點均屬于如果一個內(nèi)點的四個相鄰節(jié)點均屬于 ，如圖，如圖10-2中的點中的點S，T 稱為正則內(nèi)點，正則內(nèi)點的全體記為稱為正則內(nèi)點，正則內(nèi)點的全體記為 ，至少有一個相鄰節(jié)點不屬于至少有一個相鄰節(jié)點不屬于 的內(nèi)點稱為非正則內(nèi)點，的內(nèi)點稱為非正則內(nèi)點，非正則內(nèi)點的全體記為非正則內(nèi)點的全體記為 。我們的問題是要求出問題。我們的問題是要求出問題10-3在全體內(nèi)點上的數(shù)值解。在全體內(nèi)點上的數(shù)值解。 ) 1 ()2( 為簡便起見，記為簡便起見，記: ),(),(),(),(),(,jkjkjkjkyxffyxujkuyxjk對正則內(nèi)

27、點對正則內(nèi)點 ，由二階中心差商公式，由二階中心差商公式:)1(),(jkW Y ),(12), 1(),(2), 1(1)4(22),(224jkxjkyhxuhhjkujkujkuxu),(12) 1,(),(2) 1,(2)4(22),(224jkyjkyxujkujkujkuyuPoisson方程方程10-6在點在點(k , j)處可表示為處可表示為 :22) 1,(),(2) 1,(), 1(),(2), 1(jkujkujkuhjkujkujku),(,jkRfjk)910() 1,(0 )(),(12),(12),(21222)4(21)4(244hOyxuyhxuhjkRjkyj

28、kx其中：其中：W Y在式在式10-8中略去中略去R(k , j)即得與方程即得與方程10-6相近似的相近似的差分方程差分方程 : 式式10-9為其截斷誤差表示式為其截斷誤差表示式 .jkjkjkjkjkjkjkfuuuhuuu,21,1,2, 1, 122（10-10） 式式10-10中方程的個數(shù)等于正則內(nèi)點的個數(shù)，中方程的個數(shù)等于正則內(nèi)點的個數(shù)，而未知數(shù)而未知數(shù)uk ,j 則除了包含正則內(nèi)點處解則除了包含正則內(nèi)點處解u的近似值的近似值外，還包含一些非正則內(nèi)點處外，還包含一些非正則內(nèi)點處u的近似值，因而方的近似值，因而方程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)。在非正則內(nèi)點處程個數(shù)少于未知數(shù)個數(shù)。在非正則內(nèi)點處

29、Poisson方程的差分近似不能按式方程的差分近似不能按式10-10給出，需要利給出，需要利用邊界條件得到。用邊界條件得到。 W Y 邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡單的邊界條件的處理可以有各種方案，下面介紹較簡單的兩種。兩種。 （1直接轉(zhuǎn)移直接轉(zhuǎn)移 用最接近非正則內(nèi)點的邊界點上的用最接近非正則內(nèi)點的邊界點上的u值作為該點上值作為該點上u值的值的近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖近似，這就是邊界條件的直接轉(zhuǎn)移。如圖10-2，點，點R(k , j)為非正則內(nèi)點，其最接近的邊界點為為非正則內(nèi)點，其最接近的邊界點為Q點，則有點，則有 )2(,),( )()(jkQQuujk（10-11）

30、將式將式10-11代入式代入式10-10），方程個數(shù)即與未），方程個數(shù)即與未知數(shù)個數(shù)相等。式知數(shù)個數(shù)相等。式10-11可以看作是用零次插可以看作是用零次插值得到非正則內(nèi)點處值得到非正則內(nèi)點處u的近似值，容易求出，其截的近似值，容易求出，其截斷誤差為斷誤差為O(h+ ) 。 W Y（2線性插值線性插值 這種方案是通過用同一條網(wǎng)格線上與點這種方案是通過用同一條網(wǎng)格線上與點P相鄰的邊界相鄰的邊界點與內(nèi)點作線性插值得到非正則內(nèi)點點與內(nèi)點作線性插值得到非正則內(nèi)點P(k,j)處處u值的近似。值的近似。如圖如圖10-2，由點，由點R與與T的線性插值確定的線性插值確定u(p)的近似值的近似值uk,j，得得:

31、)()(,TdhdRdhhujk（10-12）其中其中 ，其截斷誤差為，其截斷誤差為 。RPd )(2hO 將式將式10-12與與10-10聯(lián)立，得到方程個數(shù)與未知聯(lián)立，得到方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到數(shù)個數(shù)相等的方程組，求解此方程組可得到Poisson方程方程第一邊值問題第一邊值問題10-6的數(shù)值解。的數(shù)值解。W Y（10-13）由式由式10-10所給出的差分格式稱為五點菱形格式，它所給出的差分格式稱為五點菱形格式，它所涉及的節(jié)點如圖所涉及的節(jié)點如圖10-3所示。所示。jkjkjkjkjkjkfuuuuuh,1,1, 1, 12)4(1簡記為簡記為: （10-14）2

32、1hjkjkfu,jk圖圖10-3 實際計算時經(jīng)常取實際計算時經(jīng)常取h= ，此時五點菱形格式可化為此時五點菱形格式可化為: 其中其中: jkjkjkjkjkjkuuuuuu,1,1, 1, 1,4W Y用五點菱形格式用五點菱形格式求解求解Laplace方程方程第一邊值問題第一邊值問題 )1 (lg| ),(),( 0222222yxyxuyxyuxuP.1,0| ),(yxyx31h其中其中 取取 。 解解 如圖如圖10-4所示，所示，網(wǎng)格中有四個內(nèi)點，網(wǎng)格中有四個內(nèi)點，均為正則內(nèi)點。由五均為正則內(nèi)點。由五點菱形格式點菱形格式10-13），得方程組，得方程組:(0.3)(1.3)(2.3)(3

33、.3)(3.2)(3.1)(2.1)(1.1)(0.1)(0.2)(1.2)(2.2)(0.0)(1.0)(2.0)(3.0)Oy 圖圖10-4W Y0)4(10)4(10)4(10)4(12 , 21 , 23 , 22 , 12 , 322 , 11 , 13 , 12 , 02 , 221 , 20 , 22 , 21 , 11 , 321 , 10 , 12 , 11 , 01 , 22uuuuuhuuuuuhuuuuuhuuuuuh代入邊界條件：代入邊界條件： 925lg ,916lg0, 20, 1uu913lg ,910lg2, 01 , 0uu934lg ,925lg3 , 23 , 1uu940lg ,937lg2, 31 , 3uuW Y其解為其解為4603488. 0 ,2756919. 02,11 , 1uu5080467. 0 ,3467842. 02,22, 1uu934lg940lg4 925l