上課用函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)

1、 1.3.2 1.3.2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-2-11234567abxyo0)( af0)( bf0)(xaf0)(xbf0)(xaf0)(xbf0 x定義定義 一般地一般地, 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)x0附近有附近有定義定義, 如果對(duì)如果對(duì)x0附近附近的所有的點(diǎn)的所有的點(diǎn), 都有都有)()(0 xfxf我們就說我們就說 f (x0)是是 f (x)的一個(gè)的一個(gè)極大值極大值, 點(diǎn)點(diǎn)x0叫做函數(shù)叫做函數(shù) y = f (x)的的極大值點(diǎn)極大值點(diǎn). 反之反之, 若若 , 則稱則稱 f (x0) 是是 f (x) 的一個(gè)的一個(gè)極小極小值值, 點(diǎn)點(diǎn)x0叫做函數(shù)叫做函數(shù) y = f

2、 (x)的的極小值點(diǎn)極小值點(diǎn).)()(0 xfxf 極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn), , 極大值和極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為統(tǒng)稱為極值極值. .o oax1x2x3x4bxyp(x1,f(x1)y=f(x)q(x2,f(x2)33r(x ,f(x )44s(x ,f(x )（1 1）極值是某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的極值是某一點(diǎn)附近的小區(qū)間而言的, ,是函數(shù)是函數(shù)的局部性質(zhì)的局部性質(zhì), ,不是整體的最值不是整體的最值; ;（2 2）函數(shù)的極值不一定唯一函數(shù)的極值不一定唯一, ,在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)在整個(gè)定義區(qū)間內(nèi)可能有多個(gè)極大值和極小值；可能有多個(gè)極大值和極小值；（3 3

3、）極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可極大值與極小值沒有必然關(guān)系，極大值可能比極小值還小能比極小值還小. . 觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系觀察圖像并類比于函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系的研究方法的研究方法,看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系看極值與導(dǎo)數(shù)之間有什么關(guān)系?o a x0 b x yo a x0 b x y( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx ( )0fx 增增增增減減減減極大值極大值極小值極小值v若尋找若尋找可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)極值點(diǎn)極值點(diǎn),可否只由可否只由f (x)=0 0求得即可求得即可? ?思考思考探索探索: x =0是否為函數(shù)是否為函數(shù)f(x)=x3的極

4、值點(diǎn)的極值點(diǎn)?x yof ( (x) ) x3 3 f (x)=3x2 當(dāng)f (x)=0時(shí)，x =0，而x =0不是該函數(shù)的極值點(diǎn).f (x0) =0 =0 x0 是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) x0左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)左右側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào) x0 是函數(shù)是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)的極值點(diǎn) f (x0) =0=0注意：注意：f /(x0)=0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件是函數(shù)取得極值的必要不充分條件函數(shù)函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)y/與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為與函數(shù)值和極值之間的關(guān)系為( ) a、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由減變?yōu)樵鲇蓽p變?yōu)樵?且有極大值且有極大值b、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)

5、數(shù)y/由負(fù)變正由負(fù)變正,則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值c、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極小值且有極小值d、導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)y/由正變負(fù)由正變負(fù),則函數(shù)則函數(shù)y由增變?yōu)闇p由增變?yōu)闇p,且有極大值且有極大值d注意：注意：極值點(diǎn)指的是自變量極值點(diǎn)指的是自變量x,x,極值指的是函數(shù)值極值指的是函數(shù)值y y因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以例例1 求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值.4431)(3xxxf解解:, 4431)(3xxxf. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x. 2x當(dāng)當(dāng) , 即即 , 或或 ;當(dāng)當(dāng) , 即即 .0)( xf0)

6、( xf2x2x22x當(dāng)當(dāng) x 變化時(shí)變化時(shí), f (x) 的變化情況如下表的變化情況如下表:x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f (x) )(xf +單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增3/283/4所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 28 / 3 ;當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 4 / 3 .求解函數(shù)極值的一般步驟：求解函數(shù)極值的一般步驟：（1）確定函數(shù)的定義域）確定函數(shù)的定義域（2）求方程）求方程f(x)=0的根的根（3）用方程）用方程f(x)=0的根，順次將函數(shù)的定義域分成的根，順次將函數(shù)的定義域分成若干個(gè)開

7、區(qū)間，并列成表格若干個(gè)開區(qū)間，并列成表格（4）由）由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左右的符號(hào)，來判斷的根左右的符號(hào)，來判斷f(x)在這個(gè)根處取極值的情況在這個(gè)根處取極值的情況1yxx( )fx( )f x所以，當(dāng)所以，當(dāng)x=-1是，函數(shù)的極大值是是，函數(shù)的極大值是-2，當(dāng)，當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)的時(shí)，函數(shù)的極小值是極小值是22221,011( )1( )01xxxxfxfxxxxx 解：f(x)=所以，時(shí)，當(dāng) 變化時(shí)，f(x),f(x)變化如下表導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)是交替出現(xiàn)的嗎？不是不是練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)

8、( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 112)( ) 1 (xxf令令 解得解得 列表列表:, 0)( xf.121xx0f (x)(xf +單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減 )121,(),121(1212449所以所以, 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值121x.2449)121(f練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0273)( )2(2xxf令解得解得 列表列表:. 3, 321xxx(, 3)3(3, 3)3(

9、 3, +)00f (x) )(xf +單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞減單調(diào)遞減單調(diào)遞增單調(diào)遞增5454所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 54 ;當(dāng)當(dāng) x = 3 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 54 .練習(xí)練習(xí)2求下列函數(shù)的極值求下列函數(shù)的極值:;27)( )2( ; 26)( ) 1 (32xxxfxxxf.3)( )4( ;126)( )3(33xxxfxxxf解解: , 0312)( )3(2xxf令解得解得 . 2, 221xx所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 10 ;當(dāng)當(dāng) x = 2 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 22 ., 033)( )4(2xxf令解得解得 . 1, 121xx所以所以, 當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí), f (x)有極小值有極小值 2 ;當(dāng)當(dāng) x = 1 時(shí)時(shí), f (x)有極大值有極大值 2 .練習(xí)練習(xí)1 下圖是導(dǎo)函數(shù)下圖是導(dǎo)函數(shù) 的圖象的圖象, 試找出函數(shù)試找出函數(shù) 的極值點(diǎn)的極值點(diǎn), 并指出哪些是極大值點(diǎn)并指出哪些是極大值點(diǎn), 哪些是極小值點(diǎn)哪些是極小值點(diǎn).)(xfy)(xfy abxyx1ox2x3x4x5x6)(xfy下圖是導(dǎo)函數(shù)下圖是導(dǎo)函數(shù)