一種具有恒Lyapunov指數(shù)譜的四維混沌系統(tǒng)

1、 單位代碼密級公開學號2008050112 學士學位論文一種具有恒Lyapunov 指數(shù)譜的四維混沌系統(tǒng)A T hree-dimensional C haotic S ystem with I nvariableLyapunov E xponent論文作者：陳燾指導教師：陳光平系別：物理與工程技術系專業(yè)：物理學提交論文日期：2012年5月22日論文答辯日期：2012年5月25日學位授予單位：四川文理學院中國達州2012年5月摘要I摘要本文通過對一個具有恒Lyapunov 指數(shù)譜的三維混沌系統(tǒng)的添加非線性反饋控制構成四維混沌系統(tǒng)，通過理論分析和數(shù)值實驗研究了該混沌系統(tǒng)的動力學特性。數(shù)值模擬結果表

2、明：調控系統(tǒng)參數(shù)，系統(tǒng)將出現(xiàn)周期、混沌等多種狀態(tài)。重點分析了不同參數(shù)變化對系統(tǒng)動力學行為的影響。其中參數(shù)b ，h 在一定范圍變化時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜保持恒定。關鍵詞：四維混沌系統(tǒng); 恒Lyapunov 指數(shù)譜; 動力學特性ABSTRACTIIABSTRACTIn this paper , a new four-dimensional chaotic system has been presented,this system is constructed by adding a nonlinear feed back controller into a three-dimensio

3、nal chaotic system with invariable Lyapunov exponent .The dynamic properties of the new system are investigated via theoretical analysis ,numerical simulation. Numerical simulation show that the new system's behavior can periodic ,pseudoperiod and chaotic as the parameter varies. The different d

4、ynamic behaviors of the new system are analyzed when each system parameter is changed. When the system parameter of b or h is changed in range, Lyapunov exponent spectrum with also keeps invariable 。K eywords:four-dimensional chaotic system, invariable Lyapunov exponent spectrum,dynamic properties目錄

5、III目錄第一章緒論. 11.1混沌理論.11.2混沌的識別.21.3混沌研究的應用價值.31.4本文研究的內容以及研究意義和價值.4第二章三維混沌系統(tǒng)簡介. 52.1三維混沌系統(tǒng)模型.52.2三維混沌系統(tǒng)的動力學特性.52.3系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的影響.6第三章新四維混沌系統(tǒng). 73.1新四維混沌系統(tǒng)模型.73.1.1系統(tǒng)方程的建立.73.1.2系統(tǒng)方程中參數(shù)的確定. 73.2新四維混沌系統(tǒng)的動力學特性分析.83.2.1耗散性存在性.83.2.2平衡點及穩(wěn)定性.83.3參數(shù)對新四維混沌系統(tǒng)的影響. 103.3.1參數(shù)a 對新四維混沌的影響. 103.3.2參數(shù)b 對新四維混沌的影響. 113.3.

6、3參數(shù)c 對新四維混沌的影響. 113.3.4參數(shù)d 對新四維混沌的影響. 113.3.5參數(shù)e 對新四維混沌的影響. 113.3.6參數(shù)h 對新四維混沌的影響. 11第四章結論. 13致謝. 14參考文獻. 15附錄. 16第一章緒論1第一章緒論1.1混沌理論1、概念定義混沌目前尚無通用的嚴格的定義。一般認為，將不是由隨機性外因引起的，而是由確定性方程（內因）直接得到的具有隨機性的運動狀態(tài)稱為混沌。2、數(shù)學定義混沌一詞由李天巖（Li T Y ）和約克（Yorke J A ）于1975年首次提出。1975年他們在“周期3意味著混沌”的文章中給出了混沌的一種數(shù)學定義，現(xiàn)稱為Li-Yorke定義1

7、：設連續(xù)自映射I , :R I I f 是R的一個子集。如果存在不可數(shù)集合I S 滿足：（1）S不包含周期點；（2）任何的 (, 2121x x S x x 有：0 ( (sup lim 21>x f x f n n t （1.1）0 ( (inf lim 21>x f x f n n t （1.2）其中(t f f f x f n = (表示t重函數(shù)；（3）任何的S x 及f 的任意周期點I p 有：0 ( (sup lim >p f x f n n t （1.3）則稱f 在S上是混沌的。3、混沌的特性隨著科學技術的發(fā)展，人們對混沌的認識也逐漸加深?？茖W家們在混沌的研究過程

8、中找到了混沌的特征，普遍認為混沌具有以下幾點特征2。（1）非線性:混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的首要條件是保證這個系統(tǒng)是非線性的，線性系統(tǒng)一定不能產生混沌現(xiàn)象。但是值得注意的是并非所有的非線性系統(tǒng)都會產生混沌現(xiàn)象。（2）貌似隨機性：其實質是隨機性和規(guī)律性綜合體現(xiàn)?；煦邕\動在其長時間的動態(tài)行為中將顯示隨機的性質。但它是由確定方程導出的，初值確定以后便已確定。即其隨機性是內在的，即無序中的有序。（3）對初始條件的敏感依賴性：在混沌系統(tǒng)中微小的改變一下初始條件，則系統(tǒng)的最終狀態(tài)可能會出現(xiàn)巨大的差異。對這一特征，Lorenz 曾十分形象的稱其為蝴蝶效應：“一只蝴蝶在巴西煽動翅膀會在德克薩斯引起龍卷風”。（4）普適性：

9、是指混沌系統(tǒng)中存在著一些普遍適用的常數(shù)。1978年美國物理四川文理學院學士學位論文2學家Feigenbaum M. J . 在統(tǒng)計物理雜志上發(fā)表“一類線性變換的定量普適性”,轟動世界。還精確地求出一個極限值為=4. 669201660910399097  的常數(shù),并證明它同一樣是個普適常數(shù),這即混沌學“中流砥柱”的Feigenbaum 常數(shù),被稱為混沌產生的速率。（5）遍歷性：是指混沌運動中的混沌的變量能在一定范圍內按其自身的規(guī)律不斷的重復地遍歷所有的狀態(tài)。1.2混沌的識別1、相位圖（Poincare 圖）以及功率譜。Poincare 圖可分為四類3：(1定常吸引子：具有這

10、種吸引子的系統(tǒng)在相空間中其軌跡趨于一個固定點，不管系統(tǒng)從什么初始狀態(tài)出發(fā)，其長期演化的歸宿都是恒定不變的，總是停在相空間中的一個固定點上。它的功率譜上只有一個主要頻率（基頻）。(2周期吸引子:軌跡是二維或三維相空間中的閉環(huán)（或稱極限環(huán)），其描述的是穩(wěn)定的震蕩，刻畫周期行為的吸引子。它的頻率譜是分立的，除了包含有基頻之外，還包含高次諧波及其分波的頻率。(3環(huán)面吸引子（或稱擬周期吸引子）：軌跡是在三維相空間中的一個環(huán)面上繞行而其永不重復永不相交。其描述的是復合震蕩的擬周期行為。它的頻率譜也是分立的，它包含有各種頻率，但與周期吸引子的頻率譜的不同之處在于，這些頻率之比為無理數(shù)。(4混沌吸引子（或稱奇

11、怪吸引子）：軌跡局限于有限的空間內，具有無窮嵌套的自相似結構，永不重復和相交，以及對初值敏感。它的頻率譜會出現(xiàn)連續(xù)的分布。2、Lyapunov 指數(shù)譜法：Lyapunov 指數(shù)譜是用以表征奇怪吸引子中相軌間指數(shù)分離快慢的指標，其中最大的一個稱為最大Lyapunov指數(shù)。最大Lyapunov指數(shù)是判斷和描述非線性時間序列是否為混沌系統(tǒng)的重要參數(shù)嗎，它若為正，則為混沌。(1Lyapunov 指數(shù)譜的理論計算方法1在已知動力學微分方程的情況下，經過理論推導或對微分方程離散化采用某種數(shù)值迭代算法，就可以得到已知動力學系統(tǒng)的精確Lyapunov 指數(shù)譜。設動力學系統(tǒng)由右側方程式決定：(X F X =（1

12、.4）并考慮軌道相鄰兩點X和 (X X X =,將（1.4）式線性化得：= (t X T （1.5）式中(XF T =是雅可比矩陣，是切平面上的切矢量，將（1.5）式積分有(0A t =（1.6）第一章緒論3其中，A 是切向量(0到(t 的線性映射算子，因此得到平均指數(shù)增長率為：(0lim 0, t O X =（1.7）對于重構相空間中的某一點i X ，與i X 點距離小于的所有點為, 2, 1, i X i K 它的位移矢量為：=i K i K iX X X X Y i i （1.8）經過一段時間t后，數(shù)據點演化為t K K t i i i i X X X X +, ，因此原位移矢量i Y

13、映射為：=+t i t K t i t K i X X X X Z i i （1.9）如果半徑足夠小，則位移矢量i Y 和i Z 可近似為切平面上的切矢量，因此從i Y 到i Z 的矩陣i A 滿足：i j i Y A Z =（1.10）使用最小二乘法，可以求得（1.10）式中的矩陣A ，應用QR 分解矩陣A ，同時在不同的時間段內進行必要的Gram-Schmidt 正交化重整過程，即可得到所需的yapunov 指數(shù), 2, 1, =i i 。（2）Lyapunov 指數(shù)譜所表示的含義對于一個四維連續(xù)自治的系統(tǒng)，在它的四個Lyapunov 指數(shù)中，當最大的Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個L

14、yapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當兩個最大的Lyapunov 指數(shù)都為零，其他兩個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是偽周期的；當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)是混沌的；當有兩個最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他兩個Lyapunov 指數(shù)中有一個為零，有一個為負時，系統(tǒng)是超混沌的。1.3混沌研究的應用價值混沌應用可分為混沌綜合和混沌分析。前者利用人工產生的混沌從混沌動力學系統(tǒng)中獲得可能的功能，如人工神經網絡的聯(lián)想記憶等；后者分析由復雜的人工和自然系統(tǒng)中獲得的混沌信號并尋找隱藏的確定性規(guī)則，如時間序列數(shù)據的非線性確定性

15、預測等?；煦绲木唧w的潛在應用可概括如下2：1、優(yōu)化：利用混沌運動的隨機性、遍歷性和規(guī)律性尋找最優(yōu)點，可用于系統(tǒng)辨識、最優(yōu)參數(shù)設計等眾多方面。2、神經網絡：將混沌與神經網絡相融合,使神經網絡由最初的混沌狀態(tài)逐漸退化到一般的神經網絡，利用中間過程混沌狀態(tài)的動力學特性使神經網絡逃離局部極小點，從而保證全局最優(yōu)，可用于聯(lián)想記憶、機器人的路徑規(guī)劃等。3、圖像數(shù)據壓縮：把復雜的圖像數(shù)據用一組能產生混沌吸引子的簡單動力學方程代替，這樣只需記憶存儲這一組動力學方程組的參數(shù)，其數(shù)據量比原始圖像數(shù)據大大減少，從而實現(xiàn)了圖像數(shù)據壓縮。4、高速檢索：利用混沌的遍歷性可以進行檢索，即在改變初值的同時，將要檢索的數(shù)據和剛

16、進入混沌狀態(tài)的值相比較，檢索出接近于待檢索數(shù)據的狀態(tài)。這種方法比隨機檢索或遺傳算法具有更高的檢索速度。四川文理學院學士學位論文45、非線性時間序列的預測：任何一個時間序列都可以看成是一個由非線性機制確定的輸入輸出系統(tǒng)，如果不規(guī)則的運動現(xiàn)象是一種混沌現(xiàn)象，則通過利用混沌現(xiàn)象的決策論非線性技術就能高精度地進行短期預測。6、模式識別：利用混沌軌跡對初始條件的敏感性，有可能使系統(tǒng)識別出只有微小區(qū)別的不同模式。7、故障診斷：根據由時間序列再構成的吸引子的集合特征和采樣時間序列數(shù)據相比較，可以進行故障診斷。8、混沌加密技術和密碼分析技術4：基于混沌的偽隨機數(shù)發(fā)生器和用混沌系統(tǒng)的逆向迭代構造密碼系統(tǒng)?；诨?/p>

17、沌序列和混沌系統(tǒng)內在特征的可以進行密碼分析的方法。9、混沌控制5：混沌控制的基本思想就是人為地利用初始條件的微小變化來保持系統(tǒng)穩(wěn)定或直接利用這一點來控制系統(tǒng)的狀態(tài)。在以下領域混沌都能起到有效的控制作用，如飛機機翼的振動控制、電力傳送系統(tǒng)、渦輪機、化學反應、醫(yī)學上的心臟起博器、傳送帶、經濟規(guī)劃、電腦網絡、航空航天等。10、混沌同步5：是指由一個自治的系統(tǒng)出發(fā)，構造新的混沌系統(tǒng)，使它們具有共同的同步混沌軌道。1989年Tom Carroll 創(chuàng)造了第一個同步混沌電子電路。在工程上設計理想的同步混沌系統(tǒng)還處于起步階段，但有很好的應用前景。1.4本文研究的內容以及研究意義和價值1、研究的內容本文在一種

18、具有恒Lyapunov 指數(shù)譜的三維混沌系統(tǒng)6的基礎上，參考了賈紅艷、陳增強和袁著祉在文獻7中使用的反饋相。構造了一個新的四維混沌系統(tǒng)，通過matlab 對構造Lyapunov 數(shù)據仿真，最終選擇將反饋項添加在了第三個方程上構造了四維系統(tǒng)（2）。在通過對參數(shù)的調整，對系統(tǒng)進行理論分析和數(shù)值仿真多次嘗試后使的新構造的四維系統(tǒng)呈現(xiàn)混沌性。對構造的新四維混沌系統(tǒng)的動力學特性進行了分析，并通過matlab 對新的四維系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)進行數(shù)據仿真著重分析了系統(tǒng)參數(shù)改變時對系統(tǒng)動力學行為的影響。2、本文研究的意義和價值近年來混沌系統(tǒng)不斷被發(fā)現(xiàn)，但具有恒Lyapunov 指數(shù)譜的混沌吸引子并不多

19、見，四維恒Lyapunov 指數(shù)譜的混沌吸引子就更少。本文提出的新四維混沌系統(tǒng)在參數(shù)b 和h 變化過程中存在Lyapunov 指數(shù)譜保持恒定的范圍。通過對參數(shù)對Lyapunov 指數(shù)譜的影響可知，該混沌系統(tǒng)參數(shù)h 可調區(qū)間大，同時，本系統(tǒng)可調參數(shù)較多，特別是系統(tǒng)參數(shù)c 調控范圍較大。所以該系統(tǒng)在電子測量、弱信號檢測和保密通信等領域中有著廣泛的應用前景。第二章三維混沌系統(tǒng)簡介5第二章三維混沌系統(tǒng)簡介2.1三維混沌系統(tǒng)模型具有恒Lyapunov 指數(shù)譜三維自治混沌系統(tǒng)6，方程如下：2x a x b yy c x x z d yz e z h x =+=+（2.1）當參數(shù)a=15，b=20，c=20

20、，d=1，e=8，h=1時，系統(tǒng)存在一個典型的混沌吸引子，混沌吸引子相圖如圖2-1。(a(b(c(d圖2-1系統(tǒng)2.1的混沌吸引子圖(ax-y-z相圖（b）x-y相圖（c）x-z相圖（d）y-z相圖2.2三維混沌系統(tǒng)的動力學特性三維系統(tǒng)的散度：四川文理學院學士學位論文6x y z V a d e x y z=+=(2.2 由于參數(shù)a =15，d=1，e=8，因此0<V 系統(tǒng)耗散。系統(tǒng)（2.1存在三個平衡點：(=b ad bc bh ad bc e b a bh ad bc e s b ad bc bh ad bc e b a bh ad bc e s s , , , , (0, 0, 0

21、210(2.3 系統(tǒng)（2.1）在平衡點處的特征多項式為：(C B A f +=23；其中：+=+=+=20002 (bhx bz bc ad e C bz de ae bc ad B e d a A (2.4根據Routh-Hurwitz 條件，當且僅當0, 0, 0, 0><>>C AB C B A 時，所有的特征根都具有負實部，平衡點穩(wěn)定。在三個平衡點都是不穩(wěn)定的。當a=15，b=20，c=20，d=1，e=8，h=1時，系統(tǒng)（2.1）在三個平衡點處的特征值都不具有負實部，平衡點0s ，1s ，2s 都不穩(wěn)定。2.3系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的影響當系統(tǒng)的參數(shù)a ，b ，c ，

22、d ，e 保持不變，分別為15，20，20，1，8；參數(shù)50, 1. 0h 變化時，系統(tǒng)(2.1的Lyapunov 指數(shù)譜如圖2-2 。由圖2-2可以看出系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜保持不變。圖2-2h 變化時系統(tǒng)2.1的LE 譜第三章新四維混沌系統(tǒng) 7第三章新四維混沌系統(tǒng)3.1新四維混沌系統(tǒng)模型3.1.1系統(tǒng)方程的建立基于具有恒Lyapunov 指數(shù)譜三維自治混沌系統(tǒng)（2.1）6的基礎上，參照文獻7的方式引入非線性反饋相，通過數(shù)據分析最終將引入的非線性反饋相添加在系統(tǒng)（2.1）的第三個方程上，則產生的新四維系統(tǒng)為：20. 5x a x b yy c x x z d y z e z h x

23、r y x y=+=+=+（3.1）3.1.2系統(tǒng)方程中參數(shù)的確定根據對系統(tǒng)（2.1）中參數(shù)參考，如果令四維系統(tǒng)中的參數(shù)a=15，b=20，c=20，d=1，e=8，h=1，r 為新引入的控制變量。當r=1,150時，四維系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜如圖3-1。通過圖3-1可知，系統(tǒng)在r=1,150時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)一個等于零，其余三個都為負。因此系統(tǒng)處于周期狀態(tài)。通過對系統(tǒng)參數(shù)的修改通過matlab 對系統(tǒng)Lyapunov 指數(shù)譜和平衡點穩(wěn)定性的分析，最終四維系統(tǒng)（3.1）的系數(shù)a ，b ，d ，e 保持和系統(tǒng)(2.1相同，即a=15，b=20，d=1，e=8；而系數(shù)h 從系

24、統(tǒng)（2.1）中的c=20修改為c=2，h=1修改為h=10。當r=1,120時，系統(tǒng)（3.1）的Lyapunov 指數(shù)譜如圖3-2。通過圖3-2可知，四維新系統(tǒng)在r=8，120時，除了r=21、75、100、102這四點系統(tǒng)（2）的最大的Lyapunov 指數(shù)等于零以外都大于零，因此系統(tǒng)（3.1）在r=8，120的區(qū)間上除去r=21、75、100、102以外的區(qū)域內處于混沌狀態(tài)。圖3-1圖3-2系統(tǒng)3.1參數(shù)未調整前參數(shù)r 變化時系統(tǒng)的LE 譜系統(tǒng)3.1參數(shù)調整后參數(shù)r 變化時系統(tǒng)的LE 譜四川文理學院學士學位論文 8當a=15，b=20，c=2，d=1，e=8，h=10時，系統(tǒng)存在一個混沌吸

25、引子如圖3-3。(a(b(c(d圖3-3系統(tǒng)的混沌吸引子圖(ax-y-z相圖（b）x-y相圖（c）x-z相圖（d）y-z相圖3.2新四維混沌系統(tǒng)的動力學特性分析3.2.1耗散性存在性由于x y z V a d e x y z =+=(3.2 因為a=15，d=1，e=8，所以0a d e +>即0U <，系統(tǒng)處于耗散。并且以( a d e v td e d +=的指數(shù)形式收斂，即體積元0V 在t 時刻收縮為( 0a d e t V e +，這表明，當t 時，包含系統(tǒng)軌線的每個體積元以指數(shù)率為-（a+d+e）的指數(shù)形式收縮到零。所以，所有的系統(tǒng)的軌跡線最終都會收縮到一個體積為零的空間

26、內。3.2.2平衡點及穩(wěn)定性令系統(tǒng)（3.1）方程的右邊都等于零，得到系統(tǒng)（3.1）的平衡狀態(tài)方程，即：第三章新四維混沌系統(tǒng)900200.50ax by cx xz dy ez hx ry xy +=+=+=（3.3）很明顯1s （0，0，0，0）是系統(tǒng)（3.1）的一個平衡點，它與系數(shù)a，b，c，d，e，h，r無關。求解方程（3.3）可得系統(tǒng)的另一個平衡點1s （2r ，2ar b ，bc ad b ，2( 4e bc ad hr b），因此系統(tǒng)（3.1）有兩個平衡點。把系統(tǒng)（3.1）在平橫點處線性化，得Jacobi 矩陣00002010.50.500a b c z d x J hx e yr

27、x =+（3.4）對應的特征多項式為：000( 02010.50.50a b z c d x F E J hx e y r x +=+(0001210.500.50d x z e x a e b hx e r x y +=+432( ( 220.5(0.5 0a d e ad ae ed b c z be c e aed bhx bxy ax x r =+=當系統(tǒng)參數(shù)a=15，b=20，c=2，d=1，e=8,h=10時：對于平衡點1s 對應的特征多項式為：2432( ( ( ( 0F a d e ad ae ed bc bec be aed =+=（3.5）將系數(shù)的的具體值代入可得：四川文理

28、學院學士學位論文10432241838400+=（3.6）通過計算可得四個特征根為：123403.1339-13.5670 +9.1637i-13.5670 -9.1637i=（3.7）對于平衡點2s 對應的特征多項式為：432( 24158-57608401080000F =+=（3.8）通過計算可得四個特征根為：12340.02171.32-97.67 + 155.20i-97.67 - 155.20i=（3.9）由上分析可知系統(tǒng)在兩個平衡點1s ，2s 處的特征根都存在一個大于零，因此兩平衡點都不穩(wěn)定。3.3參數(shù)對新四維混沌系統(tǒng)的影響隨著四維系統(tǒng)參數(shù)的改變，系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性將會發(fā)生變化

29、，從而系統(tǒng)也將處于不同的狀態(tài)。當從相軌跡上很難區(qū)分系統(tǒng)的狀態(tài)時，一般都是通過系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)來區(qū)分。對于一個四維連續(xù)自治的系統(tǒng)，在它的四個Lyapunov 指數(shù)中，當最大的Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當兩個最大的Lyapunov 指數(shù)都為零，其他兩個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是偽周期的；當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)是混沌的；當有兩個最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他兩個Lyapunov 指數(shù)中有一個為零，有一個為負時，系統(tǒng)是超混沌的。因此，用Lyapu

30、nov 指數(shù)譜圖可以直觀地分析出各個系統(tǒng)參數(shù)變化時系統(tǒng)的狀態(tài)變化情況。3.3.1參數(shù)a 對新四維混沌的影響當參數(shù)b=20，c=2，d=1，e=8，h=10，r=60固定，改變a ，使1,50a 。當1,50a 變化時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜（LE 譜）如圖3-4。由圖3-4可知，當2,745,50a 時，系統(tǒng)系統(tǒng)兩個最大的Lyapunov 指數(shù)都為零，其他兩個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是偽周期的；當0, 216, 26a 時，系統(tǒng)最大的第三章新四維混沌系統(tǒng)11Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當7,1626, 45a 時，系統(tǒng)當最大

31、的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)是混沌的。3.3.2參數(shù)b 對新四維混沌的影響當參數(shù)a=15，c=2，d=1，e=8，h=10，r=60固定，改變b ，使1,120b 。當1,120b 變化時，系統(tǒng)的LE 譜如圖3-5。由圖3-5可知，當48,86b 時，系統(tǒng)最大的Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當1,4886,120b 時，系統(tǒng)當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。并且參數(shù)在(48, 25b 和(120, 86b 的范圍內變化時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜的四個Lya

32、punov 指數(shù)保持恒定。3.3.3參數(shù)c 對新四維混沌的影響當參數(shù)a=15，b=20，d=1，e=8，h=10，r=60固定，改變c ，使1,80c 。當1,80c 變化時，系統(tǒng)的LE 譜如圖3-6。除了c=7，79兩個點系統(tǒng)最大的Lyapunov 指數(shù)為零以外，系統(tǒng)最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。3.3.4參數(shù)d 對新四維混沌的影響當參數(shù)a=15，b=20，c=2，e=8，h=10，r=60固定，改變d ，使1,30d 。當1,30d 變化時，系統(tǒng)的LE 譜如圖3-7。當時5,30c ，系統(tǒng)最大的Lyapunov

33、指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當1,5d 時，系統(tǒng)當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。3.3.5參數(shù)e 對新四維混沌的影響當參數(shù)a=15，b=20，c=2，d=1，h=10，r=60固定，改變e ，使1,30e 。當1,30e 變化時，系統(tǒng)的LE 譜如圖3-8。當1,7e 時，系統(tǒng)最大的Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當11,1315,30e 時，系統(tǒng)系統(tǒng)兩個最大的Lyapunov 指數(shù)都為零，其他兩個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是偽周

34、期的；當7,1113,15e 時，統(tǒng)當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。3.3.6參數(shù)h 對新四維混沌的影響當參數(shù)a=15，b=20，c=2，d=1，e=8，r=60固定，改變a ，使80, 1h 。當80, 1h四川文理學院學士學位論文 12變化時，LE譜如圖3-9。當3, 1h 時，系統(tǒng)最大的Lyapunov 指數(shù)為零，其他三個Lyapunov 指數(shù)為負時，系統(tǒng)是周期的；當80, 3h 時，系統(tǒng)當最大的Lyapunov 指數(shù)為正，其他三Lyapunov 指數(shù)中，有一個為零，其余為負時，系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)。當 80, 7

35、(h 范圍內變化時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜的四個Lyapunov 指數(shù)保持恒定。圖3-4參數(shù)a 變化時系統(tǒng)3.1的LE 譜圖3-5參數(shù)b 變化時系統(tǒng)3.1的LE譜圖3-6參數(shù)c 變化時系統(tǒng)3.1的LE 譜圖3-3-77參數(shù)d 變化時系統(tǒng)3.1的LE譜圖3-3-88參數(shù)e 變化時系統(tǒng)3.1的LE 譜圖3-3-99參數(shù)h 變化時系統(tǒng)3.1的LE 譜第四章結論13第四章結論本文提出了一種新的四維混沌系統(tǒng)，該系統(tǒng)的混沌吸引子有別于其他的混沌吸引子。通過理論分析、數(shù)值仿真、Lyapunov 指數(shù)譜分析了系統(tǒng)的基本動力學特性，得出系統(tǒng)有豐富的混沌特性。重點分析了新四維系統(tǒng)參數(shù)改變時對系統(tǒng)的影響，并

36、給出了各參數(shù)改變時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜圖6-11。通過觀察可以得出：（1）僅參數(shù)b 改變時，系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜在(48, 25b 和(120, 86b 時，四個Lyapunov 指數(shù)保持恒定。（2）僅參數(shù)h 改變時，也有類似的性質。系統(tǒng)的Lyapunov 指數(shù)譜在 80, 7(h 時，四個Lyapunov 指數(shù)保持恒定。（3）參數(shù)c 的調控范圍較大。四川文理學院學士學位論文14致謝近半年的畢業(yè)設計快要結束了。在這半年期間的畢業(yè)設計過程中，我得到了學校很多老師同學的支持和幫助。在此，我首先要感謝的是我的指導老師陳光平老師，感謝他在我整個畢業(yè)設計過程中對我的幫助，他多次詢問

37、我的寫作過程，為我指點迷津，開拓思路，及時的改正我論文中的缺陷。在此，特向陳老師致以誠摯的謝意和崇高的敬意。同時也要感謝在論文寫作過程中所有幫助過我的同學們，是你們無言的幫助讓我順利完成了論文，在這里請接受我誠摯的謝意。參考文獻15參考文獻1黃潤生，黃浩.混沌及其應用（第二版）.M 武漢大學出版社，2005.118-182.2唐巍,李殿璞.混沌理論及其應用研究.J 電力系統(tǒng)自動化，2000，24（7）.3彭芳麟.計算物理基礎.M北京：高等出版社，2010.305-308.4黃松.混沌理論在密碼學中的應用綜述.J 重慶教育學院學報，2009，22（6）.5費燕.混沌理論及其在工程中的應用.J 中

38、國高新技術企業(yè),2009,6.6周小勇.一種具有恒Lyapunov 指數(shù)譜的混沌系統(tǒng)及其電路仿真.J 物理學報，2011,10(60.7賈紅艷，陳增強，袁著祉.一個大范圍超混沌系統(tǒng)的生成和電路實現(xiàn).J 物理學報，2009，7（58）.8呂振環(huán),吳素文,李喜霞.論混沌學的發(fā)展、特性及其意義.J 沈陽農業(yè)大學學報(社會科學版,2004,3.9朱建良，趙洪超.一個新的四維混沌系統(tǒng)及其電路實現(xiàn).J 哈爾濱理工大學學報,2010,15(2.10四川大學教學系高等數(shù)學教研室.高等數(shù)學.M 高等教育出版社，2002.四川文理學院學士學位論文 附 錄 附錄 1 Lyapunov 指數(shù)主程序： %SUCCESSFUL tic