數(shù)學(xué)建模：高壓鍋的銷售量

1、數(shù)學(xué)建模遼寧工程技術(shù)大學(xué)數(shù) 學(xué) 建 模 課 程 成 績(jī) 評(píng) 定 表 高壓鍋的銷售量摘要Logistic 增長(zhǎng)曲線模型和Gompertz 增長(zhǎng)曲線模型是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的兩個(gè)常用模型，可以用來(lái)擬合銷售量的增長(zhǎng)趨勢(shì)。本文運(yùn)用以上兩種曲線模型研究了某地區(qū)高壓鍋的銷售量的變化規(guī)律，并根據(jù)給定的1981年到1993年高壓鍋銷售量的數(shù)據(jù)，運(yùn)用趨勢(shì)分析法，分別建立指數(shù)增長(zhǎng)模型、Logistic 增長(zhǎng)曲線模型和Gompertz 增長(zhǎng)曲線模型來(lái)對(duì)高壓鍋的銷售量進(jìn)行預(yù)測(cè)分析，并對(duì)各模型進(jìn)行了比較分析。關(guān)鍵字:曲線 增長(zhǎng)率 趨勢(shì) MATLAB1 模型的背景問(wèn)題描述趨勢(shì)分析法又叫比較分析法、水平分析法，它是通過(guò)對(duì)財(cái)

2、務(wù)報(bào)表中各類相關(guān)數(shù)字資料，將兩期或多期連續(xù)的相同指標(biāo)或比率進(jìn)行定基對(duì)比和環(huán)比對(duì)比，得出它們的增減變動(dòng)方向、數(shù)額和幅度，以揭示企業(yè)財(cái)務(wù)狀況、經(jīng)營(yíng)情況和現(xiàn)金流量變化趨勢(shì)的一種分析方法。趨勢(shì)分析法在定量預(yù)測(cè)。趨勢(shì)分析法又可稱為趨勢(shì)曲線分析、曲線擬合或曲線回歸。它是根據(jù)已有的歷史數(shù)據(jù)資料來(lái)擬合一條曲線，使得這條曲線能夠反映出研究對(duì)象本身的增長(zhǎng)趨勢(shì)，然后按增長(zhǎng)趨勢(shì)曲線，對(duì)要求的未來(lái)的某一點(diǎn)進(jìn)行估計(jì)，預(yù)測(cè)出該點(diǎn)該時(shí)刻的研究對(duì)象的預(yù)測(cè)值。能夠正確并掌握認(rèn)識(shí)銷售量的變化規(guī)律，才能建立正確的銷售量預(yù)測(cè)模型，做出準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)，為企業(yè)未來(lái)發(fā)展方向，企業(yè)發(fā)展定位，商品生產(chǎn)作出有利預(yù)測(cè)。下表為某地區(qū)1981年到1993年

3、間高壓鍋的銷售量列表（單位：萬(wàn)臺(tái)）。 銷售量的變化趨勢(shì)的擬合曲線，建立銷售量的模型，通過(guò)建立的銷售量模型，得到模擬曲線，根據(jù)得到的擬合曲線，并對(duì)該地區(qū)的高壓鍋銷售量進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)預(yù)測(cè)對(duì)該地區(qū)高壓鍋生產(chǎn)企業(yè)作出指導(dǎo)。當(dāng)?shù)仄髽I(yè)可以根據(jù)預(yù)報(bào)的高壓鍋銷售量，對(duì)高壓鍋生產(chǎn)量進(jìn)行控制，避免了因?yàn)槭袌?chǎng)的盲從效應(yīng)而造成的損失。12 基本假設(shè)1、產(chǎn)品的銷售不受人為因素影響。2、高壓鍋的銷售量隨時(shí)間連續(xù)變化。3、任一單位時(shí)刻，高壓鍋的增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量成正比。4、銷售量的增長(zhǎng)律短時(shí)間內(nèi)是不變的。5、在處理數(shù)據(jù)、擬合曲線，得到模擬曲線的過(guò)程，都不考慮隨機(jī)誤差。6、在一段時(shí)間里，銷售市場(chǎng)是平穩(wěn)發(fā)展的，在高壓鍋的

4、銷售過(guò)程中，市場(chǎng)對(duì)高壓鍋的需求量穩(wěn)定。7、假設(shè)說(shuō)明：嚴(yán)格的說(shuō)，討論銷售量所建立的模型屬于離散型模型，但在銷售量基數(shù)很大的情況下，突然地增加或減少的只是單一的個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體數(shù)，相對(duì)于全體數(shù)量而言，這種改變量是極其微小的，因此，銷售量可以看作是可隨時(shí)間的連續(xù)變化，這樣，就可以采用微分方程的工具來(lái)研究這一問(wèn)題。3 問(wèn)題分析本文要求根據(jù)某地的1981年到1993年間高壓鍋銷售量的數(shù)據(jù)，建立高壓鍋的銷售量模型。根據(jù) 表1-1：高壓鍋的銷售量（單位：萬(wàn)臺(tái)）提供的數(shù)據(jù)，以時(shí)間t 為衡軸，銷售量y 為縱軸，建立銷售時(shí)間t 與銷售量的關(guān)系圖，如圖表3-1：圖表 3-1根據(jù)圖表3-1，顯然，高壓鍋的銷售量隨時(shí)

5、間的變化呈指數(shù)增長(zhǎng)。產(chǎn)品的銷售平穩(wěn)，經(jīng)濟(jì)發(fā)展的穩(wěn)定，銷售市場(chǎng)的平穩(wěn)發(fā)展，高壓鍋在銷售過(guò)程中，市場(chǎng)的外部環(huán)境總體穩(wěn)定，在這一假設(shè)下，高壓鍋的銷售量是隨著時(shí)間的連續(xù)變化而變化的，也就是說(shuō)，高壓鍋的銷售數(shù)量是連續(xù)變化的，但總體分析可以得出增長(zhǎng)量與當(dāng)時(shí)的高壓鍋總量成正比，銷售量的增長(zhǎng)律是不變的。據(jù)此，建立高壓鍋的銷售量指數(shù)增長(zhǎng)模型。符號(hào)說(shuō)明 2r 固有高壓鍋銷售量增長(zhǎng)率，即：r (0=rx (t 時(shí)段t 的高壓鍋銷售量數(shù)x m 高壓鍋的最大銷售量，顯然有r (x m =04 模型建立4.1 建立高壓鍋指數(shù)增長(zhǎng)模型假設(shè)商品是自然銷售的，即不受人為因素影響，記時(shí)刻t 的銷售量為x(t，在銷售量基數(shù)很大的情

6、況下，突然地增加或減少的只是單一的個(gè)體或少數(shù)幾個(gè)個(gè)體數(shù)，相對(duì)于全體數(shù)量而言，這種改變量是極其微小的，可以忽略不計(jì)。即銷售量可以看作是可隨時(shí)間連續(xù)變化的，將x(t視為連續(xù)、可微函數(shù)。記初始時(shí)刻(t=0的銷售量為x 0，假設(shè)銷售量增長(zhǎng)率為常數(shù)r ，即單位時(shí)間內(nèi)的x(t的增量等于r 乘以x(t?？紤]t 到t +t 時(shí)間內(nèi)高壓鍋銷售量的增量，有x (t +t -x (t =rx (t t令t 0，得到x (t 滿足微分方程由這個(gè)方程解出： dx =rx x (0=x 0 (1 dtx (t =x 0e rt（2）（2）式的參數(shù)r 和數(shù)，可得y =rt +a ，y =ln x ，a =ln x 0 （3

7、）分別以1981年到1992年的數(shù)據(jù)和1981年到1993年的數(shù)據(jù)擬合（3）式，用matlab 計(jì)算：t=0:11;x=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89;y=log(x;p=polyfit(t,y,1r=p(1,x0=exp(p(2Y=polyval(p,t;X=exp(Y;3 x 0可以用表1-1數(shù)據(jù)估計(jì)。為了利用最小二乘法，將（2）式取對(duì)p =0.3435 4.4914 r = 0.3435 x0 = 89.2424得到r 0.3435，x 089.2424t=

8、0:12;x=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560 1824.29 2199 2438.89 2737.71; y=log(x;p=polyfit(t,y,1 r=p(1,x0=exp(p(2 Y=polyval(p,t; X=exp(Y;得到r 0.3205，x 097.1060 結(jié)果分析：用上面得到的參數(shù)r 和x 0代入（3）式，將結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)比較。X1是用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果，計(jì)算人口x2用的是全部數(shù)據(jù)的擬合的結(jié)果。表4-1 根據(jù)表5-1的數(shù)據(jù)，用matlab 制作指數(shù)增長(zhǎng)型擬合圖形，

9、圖5-1.1表示用1981年到1992年的數(shù)據(jù)擬合的結(jié)果圖，圖4-1.2表示用全部數(shù)據(jù)（1981年到1993年）擬合的結(jié)果。圖5-1.1、圖5-1.2中曲線是計(jì)算結(jié)果，“*”表示實(shí)際數(shù)據(jù)。圖表 4-1.2通過(guò)以上數(shù)據(jù)及圖表，明顯地，對(duì)于高壓鍋的銷售量的分析指數(shù)模型并不適用，其原因是高壓鍋的銷售是受市場(chǎng)的影響的，人的消費(fèi)觀念不會(huì)一成不變，購(gòu)買(mǎi)欲是不隨時(shí)間穩(wěn)定變化的，由此可見(jiàn)，高壓鍋的銷售量的增長(zhǎng)律是不變的假設(shè)不成立。需重新建立模型分析。4.2 高壓鍋銷售線性模型的假設(shè)由圖表3-1，假設(shè)y 和t 滿足線性關(guān)系，所以建立線性模型，設(shè)y =at +b利用最小二乘法確定a , b 的具體值，并根據(jù)a ,

10、 b 的值擬合高壓鍋的銷售情況，與原數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。MATLAB 的程序?qū)崿F(xiàn)如下： y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71; t=0:12;p=polyfit(t,y,1; yy=polyval(p,t,1 plot(t,y,*,t,yy畫(huà)出原數(shù)據(jù)與擬合曲線，如圖5-2圖 4-2線性模型y =at +b 的誤差分析s =預(yù)測(cè)的標(biāo)準(zhǔn)誤差為：模型y =at +b 分析13. =157. 29152從圖形及標(biāo)準(zhǔn)誤差可以看出，線性模型雖然簡(jiǎn)單，但誤差

11、太大。并且當(dāng)t 時(shí)y ，而高壓鍋銷售量是有限的，也就是說(shuō)高壓鍋的銷售量是一個(gè)有限的數(shù)，不可能是一個(gè)無(wú)限大的。所以，用線性模型不能完全反映高壓鍋的銷售情況。必須尋找一個(gè)更好的模型去分析高壓鍋的銷售情況。4.3 建立高壓鍋logistic 模型由于高壓鍋在進(jìn)入市場(chǎng)初期沒(méi)有太多人家了解或清楚高壓鍋，致使人們對(duì)高壓鍋的購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不大，所以此時(shí)高壓鍋銷售數(shù)量的增長(zhǎng)率??；隨著時(shí)間的推移，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到使用高壓鍋的好處，高壓鍋的銷售量增長(zhǎng)率也逐漸提高；之后越來(lái)越多的人家都有高壓鍋了，而高壓鍋的經(jīng)久耐用決定了高壓鍋銷售量的增長(zhǎng)率會(huì)逐漸減少；到最后該地區(qū)基本上所有人家都有高壓鍋了，高壓鍋的銷售數(shù)量將趨于一個(gè)定值，

12、即L ，此時(shí)銷售數(shù)量的增長(zhǎng)率將趨于0.所以，綜上所述，高壓鍋的銷售情況滿足Logistic 模型。設(shè)高壓鍋的銷售數(shù)量的增長(zhǎng)率為 r（t ），高壓鍋的銷售量的上限為L(zhǎng) ， 銷售量為 y（t ）y (t . （4-1）則有 ： r (t =r (1-Ldy y (t =r (t y =r (1- y . （4-2） dt L建立模型y dy=r (1- y , r 0. (4-3 L dty (t 0 =y 0模型分析y 2y=ry ，與ry 相比可以忽略不計(jì)，Logistic 模型可以 當(dāng)L 與y(t相比很大時(shí)，r L L y 2轉(zhuǎn)化為指數(shù)模型；而當(dāng)L 與y 相比不是很大時(shí)，r 就不能忽略，其作

13、用是使高壓鍋的銷L售量的增長(zhǎng)速度減緩下來(lái)。 作圖結(jié)果，如圖4-3圖 4-3對(duì)線性化Logistic 增長(zhǎng)模型并做非線性回歸線性化Logistic 增長(zhǎng)曲線模型 Logistic 增長(zhǎng)曲線模型為y t =L1+ae -kt . (3-1L L =1+ae -kt -1=ae -kt兩邊同時(shí)取倒數(shù)得 y ，整理得y . (3-2L-1 =ln(ae -kt =ln a +ln e -kt =ln a -kt兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得 y . (3-3 L y 1=-1y 令，aa =-k ，bb =ln a .即可得到一個(gè)線性關(guān)系式：. (3-4所以Logistic 增長(zhǎng)曲線模型能線性化。用Matlab 對(duì)

14、Logistic 模型做非線性回歸 Matlab 程序如下： y=43.65 109.86 187.21 312.67 496.58 707.65 960.25 1238.75 1560.00 1824.29 2199.00 2438.89 2737.71; t=0:12; L=3000;y1=log(L./y-1; p=polyfit(t,y1,1; k=-p(1;a=exp(p(2;yy=L./(1+a*exp(-k*t; plot(t,y,*,t,yy;擬合Logistic 模型，畫(huà)出擬合圖形，如圖4-4yy =aat +bb數(shù)學(xué)建模 如圖 4-4 5 擬合 Gompertz 模型 線性

15、化 Gompertz 模型 -be Gompertz 增長(zhǎng)曲線模型為 yt = Le . -kt y = e -be 兩邊同時(shí)除以 L 得 L . - kt (5-1 (5-2 兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得 ln y = -be - kt L . ln ln y = ln( -b - kt L . (5-3 再兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得 y 2 = ln ln (5-4 令 y L ， aa = -k ， bb = ln(-b . 得線性關(guān)系式 y 2 = aat + bb . 擬合 Gompertz 模型 用 Matlab 擬合 Gompertz 模型 (5-5 畫(huà)出 Gompertz 模型并與原數(shù)據(jù)比較，如圖

16、5-1 9 高壓鍋的銷售量 如圖 5-1 6 綜合評(píng)價(jià)與結(jié)論 兩模型相同之處 Logistic 增長(zhǎng)曲線模型，俗稱“S 曲線” ，由 Verhulst 于 1845 年提出，當(dāng)時(shí)主要目 的是模擬人口的增長(zhǎng)。其一般形式為 yt = K 1 + ae -bt . (5-1 也稱狹義的邏輯增長(zhǎng)曲線模型。 增長(zhǎng)曲線有兩個(gè)重要特征。一是 y 隨著 t 的增加直至+而趨向于 K，K 即是 Y 的飽和 值；反過(guò)來(lái)，當(dāng) t-時(shí)，y0。二是增長(zhǎng)曲線具有一個(gè)拐點(diǎn)，在拐點(diǎn)之前，y 的增長(zhǎng)速 度越來(lái)越快；在拐點(diǎn)之后，y 的增長(zhǎng)速度越來(lái)越慢，逐漸趨近于 0。在現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)生活中， 許多指標(biāo)的增長(zhǎng)過(guò)程具有這兩個(gè)特征。例如，一

17、種新產(chǎn)品、新技術(shù)的普及率，一種耐用品 的存量，它們的增長(zhǎng)過(guò)程都遵循邏輯增長(zhǎng)曲線模型。所以，邏輯增長(zhǎng)曲線模型在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè) 中有廣泛的應(yīng)用，是一種重要的預(yù)測(cè)模型。 10 數(shù)學(xué)建模 Gompertz 曲線用于描述這樣一類現(xiàn)象：初期增長(zhǎng)緩慢，以后逐漸加快，當(dāng)達(dá)到一定程 度后，增長(zhǎng)率又逐漸下降，最終接近一條水平線。Gompertz 曲線通常用于描述事物的發(fā)展 由萌芽、成長(zhǎng)到飽和的周期過(guò)程。在現(xiàn)實(shí)生活中有許多現(xiàn)象符合 Gompertz 曲線形式，如 工業(yè)生產(chǎn)的增長(zhǎng)、產(chǎn)品的壽命周期和一定時(shí)期的人口增長(zhǎng)等。 可見(jiàn) Gompertz 增長(zhǎng)曲線與邏輯增長(zhǎng)曲線相似，只是二者的拐點(diǎn)的位置不同。 分析兩種模型的拐點(diǎn) dy

18、 y = ry (1 - , r 0 dt L y (t0 = y0 Logistic 模型轉(zhuǎn)化為微分形式是 . (5-2 dy L = ry ln , r 0 dt y Gompertz 模型轉(zhuǎn)化為微分形式是 y (t0 = y0 . (5-3 在 Logistic 模型中 dy/dt 是關(guān)于 y 的二次函數(shù)，很容易看出，當(dāng) y=L/2 是增長(zhǎng)率最 大， 即是模型的拐點(diǎn)。 利用 Matlab 作圖， 去 L=3000， 很容易作出 Logistic 模型與 Gompertz 模型的拐點(diǎn)，估計(jì)處 Gompertz 模型的拐點(diǎn)在 y=1015.2 處，如圖 6-1 如圖 6-1 11 高壓鍋的銷售量 7 參考文獻(xiàn) 1姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型，北京：高等教育出版社，2005，13-216. 2 中國(guó)人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)模型 3數(shù)學(xué)模型簡(jiǎn)介及其給予 MATLAB 的實(shí)現(xiàn)