2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試

1、2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（湖北卷）數(shù)學（理工農(nóng)醫(yī)類）本試卷共4頁，滿分150分，考試時間120分鐘.?？荚図樌⒁馐马棧?.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條 形碼粘貼在答題卡上指定位置 2選擇題每小題選出答案后，用 2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動, 用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號，答在試題卷上無效.3將填空題和解答題用 0.5毫米的黑色墨水簽字筆或黑色墨水鋼筆直接答在答題卡上每題 對應的答題區(qū)域內(nèi)答在試題卷上無效.4考試結束，請將本試題卷和答題卡一并上交.在每小題給出的四個選項中，只一、選擇題：本大題共 10小題

2、，每小題 5分，共50分. 有一項是符合題目要求的.1.如果3x2 二 x的展開式中含有非零常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值為（A. 32 將yB. 5C. 6=2 cos x按向量b 6丿D. 10a 二-2 平移,I 4丿則平移后所得圖象的解析式為A.C.=2cos I x n134.丿=2cos ! x - -213 12 丿B.D.X y =2cos -乜4丿i'xy =2cos 3 設P和Q是兩個集合，定義集合PQ=x|x P 且 x 老 Q, 如果 P =x| log2 XV1,Q x -2 ：，那么 P -Q 等于()A. !x |0 : x : VB. |0 ： x <

3、 仁C. ：x|1 < x：2D. 、x|2 < x：34 .平面:-外有兩條直線 m和n，如果m和n在平面:-內(nèi)的射影分別是 m 和 n，給出下列 四個命題： m _n= m_n ; m_n 二 m_n ; m '與 n相交=m與n相交或重合； m 與n 平行=m與n平行或重合.其中不正確的命題個數(shù)是（A. 1B. 2)C. 3D. 45.已知p和q是兩個不相等的正整數(shù)，且q > 2，則 lim n 1 51 -n-1=( )q-16.B. 1C.D . 口q -1若數(shù)列an滿足2an 12an（P為正常數(shù),n N”），則稱s為“等方比數(shù)列”甲：數(shù)列an是等方比數(shù)列

4、;乙：數(shù)列an是等比數(shù)列，則（A 甲是乙的充分條件但不是必要條件B 甲是乙的必要條件但不是充分條件C. 甲是乙的充要條件D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件2x7 .雙曲線C1 : 2a占=1（a 0, b 0）的左準線為I，左焦點和右焦點分別為F1和F2 ;b拋物線C2的準線為I ,焦點為F2； G與C2的一個交點為M ,則（耳-|mfJ |mf2|等于（）A. -1B. 1&已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn '且'則使得十為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是（A. 2B. 3)C. 49.連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n ,記向量a = （m, n

5、）與向量b- （1, -1）的夾角為二，則三0,的概率是（V 25A.1210.已知直線1B .-2（a,a b7C . 12b是非零常數(shù)）與圓x2 y100有公共點，且公共點的橫)D. 78 條坐標和縱坐標均為整數(shù)，那么這樣的直線共有（A . 60 條B . 66 條C . 72 條、填空題：本大題共 5小題，每小題5分，共25分把答案填在答題卡相應位置上.11 .已知函數(shù)y = 2x -a的反函數(shù)是 y二bx 3，則a二； b =212復數(shù)z二a bi, a, bR，且b=0，若z -4bz是實數(shù)，則有序實數(shù)對 （a, b）可以是.（寫出一個有序實數(shù)對即可）lx y > 0,一13.

6、設變量x, y滿足約束條件則目標函數(shù)2x - y的最小值為-2 < x < 3.14某籃運動員在三分線投球的命中率是-，他投球10次，恰好投進3個球的概率2（a為常數(shù)），如圖所示據(jù)圖中提供的信息，回答.（用數(shù)值作答）15為了預防流感，某學校對教室用藥熏消毒法進行消毒已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間t （小時）成正比；藥物釋放完畢后，y與t的函數(shù)關系式為下列問題：（I）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間t （小時）之間的函數(shù)關系式為 ；（II）據(jù)測定，當空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學生方可進教室，那么藥物釋放開

7、始，至少需要經(jīng)過 小時后，學生才能回到教室.三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16. （本小題滿分12分）已知 ABC的面積為3，且滿足0 < ABJAC < 6，設AB和AC的夾角為二.（I）求二的取值范圍;（II）求函數(shù) f （二）=2sin2 i 上 v -、3 cos 2 的最大 14丿值與最小值.17. （本小題滿分12分）在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度（表示纖維粗細的一種量）共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如右表：（I）在答題卡上完成頻率分布表，并在給定的坐標系 中畫出頻率分布直方圖；（II）估計纖度落在 1.381.50）中的概

8、率及纖度小于1.40的概率是多少？分組頻數(shù)1.30,1.34)41.34,1.38)251.381.42)301.42,46)291.46,50)101.50,54)2合計100（III ）統(tǒng)計方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點值(例如區(qū)間1.30,.34)的中點值是1.32 )作為代表據(jù)此，估計纖度的期望.18. (本小題滿分12分)如圖，在三棱錐 V ABC中，V 丄底面ABC , AC丄BC , D是AB的中點，且AC = BC = a,(I) 求證：平面 VAB丄VCD ；(II) 當解二變化時，求直線 BC與平面VAB所成的角的取值范圍.19. (本小題滿分12分)在平面直角坐標系

9、 xOy中，過定點C(0, p)作直線與拋物線 x2 =2py ( p 0)相交于A B兩點.(I)若點N是點C關于坐標原點 O的對稱點，求 ANB面積的最小值;(II)是否存在垂直于 y軸的直線丨，使得丨被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出丨的方程；若不存在，說明理由.(此題不要求在答題卡上畫圖)1 2 2f (x) x2 2ax , g(x) =3a21nx b，其中 a 0 .設兩 220. (本小題滿分13分)已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù) 曲線y二f(x) , y二g(x)有公共點，且在該點處的切線相同.(I)用a表示b，并求b的最大值；(II)求證：f (x) >

10、g(x) ( x . 0).21. (本小題滿分14分) 已知m, n為正整數(shù)，x -1 時，(1 x)m > 1 mx ；11”十(m11< ,求證 1In +3丿2V m + 3 丿(II)對于n > 6，已知m1<2(I)用數(shù)學歸納法證明：當求證,m5, n ；(III )求出滿足等式3n 4n 川(n 2)n = (n 3)m的所有正整數(shù)n .2007年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(湖北卷)數(shù)學(理工農(nóng)醫(yī)類)試題參考答案、選擇題：本題考查基礎知識和基本運算.每小題5分，滿分50分.1.B2.A3.B5.C11.6；1212.(2,1)(或滿足a=2b的任一組非零

11、實數(shù)對(a,b)10t, 0 < t < 丄,315V10丿13.14.15.y = *t 1 ；0.62128山6丿,10丿三、解答題:本大題共6小題，共75分.6.B7.A8.D9. C二、填空題：本題考查基礎知識和基本運算.每小題10.A5分，滿分25分.16.本小題主要考查平面向量數(shù)量積的計算、解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質等基本知識，考查推理和運算能力.解: (I)設 ABC中角A, B, C的對邊分別為a, b, c ,0 < becos < 6，可得 0 < cot 二 < 1,2(n) f(r)=2sin3 一屁0s叫一噸+卸乜心=(1

12、+sin2日)一73cos2B =sin 2日一J3cos2& +1 =2sin ' 2日+1 .V 3丿n n n n 2 n|.n：日乏 I, 2日一一乏 I, ，2W 2sin 2日一一1+1 W 3 .M 23163V 3丿即當二二站時，f("max=3 ；當時，f(Rmin=2 .12417. 本小題主要考查頻率分布直方圖、概率、期望等概念和用樣本頻率估計總體分布的統(tǒng)計方法，考查運用概率統(tǒng)計知識解決實際問題的能力.解: (I)分組頻數(shù)頻率1.30,1.34)40.041.34,1.38 )250.251.38,1.42 )300.301.42,1.46 )2

13、90.291.46,1.50)100.101.50,1.54)20.02合計1001.00(n)纖度落在1.38,1.50中的概率約為0.30 0.29 0.10 =0.69,纖度小于1.40的概率 1約為 0.04 0.25 0.30 =0.44 .2(川)總體數(shù)據(jù)的期望約為1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 =1.4088 .18. 本小題主要考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應用向量知識解決數(shù)學問題的能力.解法1：(l) v AC=BC=a，二 ACB是等腰三角形

14、，又 D是AB的中點，二 CD _ AB，又 VC _ 底面 ABC .二 VC _ AB .于是 AB _ 平面 VCD . 又AB二平面VAB，二平面VAB _平面VCD .(H) 過點C在平面VCD內(nèi)作CH _ VD于H，則由(I)知 CD _平面VAB . 連接BH，于是.CBH就是直線BC與平面VAB所成的角.在 Rt CHD 中，CH2asi nr ；2設.CBH =護，在 Rt BHC 中,CH = a sin,2=sin :2B 0 : sin v : 1,nn又0< 0 八：.直角坐標系，則 C(0,0,0) A(a,0,0)i aB(0,D ?2-,0 , V 0,0

15、,曰是,邁 atanr 2孟石刖)TBs,旳.從而 AB-CD =(-a,i a aa,0)一，一,(2 2 即 AB _VD 又 CDVD 二 D , 又AB 平面VAB .平面VAB _平面VCD .同理 AB-VD =(-a,一丄 a2 1 a2 0 = 0，即 AB CD . 2 2 AB _ 平面 VCD .(n)設直線BC與平面VAB所成的角為:，平面VAB的一個法向量為n二(x, y, z)則由 nAB =0, -VD =0 .24解法2:(I)以CA, CB , CV所在的直線分別為 x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間f n即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為10,nI

16、4丿丄 ax ay =0,得 a a 2+. nx yaz tanv - 0.2 2 2可取n= (,，2cot日)，又記=(0, a,0),于是aa，2 2cot2t 0 n, /. 0 : sin v : 1, 0 : sin :2又 0<n, 0 ；：； ；：-24即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為解法3： (I)以點D為原點，以DC, DB所在的直線分別為 x軸、y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，貝UD (0,0,0) A 0,a,0 , B 0, a,0 , C2Ia, 0,0,Ji 2 近 /t V2-a,0,atan B，于是 DV = -a,0,atanB,DC

17、=a,0,0I 22丿I 22丿I 2丿VAB 二(0, 一 2a, 0).從而AB- DC =(0,. 2a,0) - a, 0,02=0，即 AB _ DC .4 廠 恵42J同理AB- DV= (0,T2a,0) a,0, atan 日=0，即 AB 丄 DV .22 丿又 DCDVD , AB _ 平面 VCD .又AB二平面VAB ,平面VAB _平面VCD .(n)設直線BC與平面VAB所成的角為:，平面VAB的一個法向量為n二(x, y, z),2ay =0,則由 n-AB =0, n-DV =0,得、2ax az ta n 二=0.2 2可取 n = (tan),0,),BC

18、二a,0 ,于是sin =nBCn【BC2 atan，2a1 1 tan v= -2sinr ,2n./ 0，二 0 : sin v ： 1, 0 : sin2nn又024, 即直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為解法4 :以CA, CB，CV所在直線分別為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系，則 C(0,0,0, A(a,0,0) B(0，a,0),皿,? ,0 12 2丿設V(0,0, t)(t 0). c"皿飛,a0Jab ,AB-CV =(-a,a,0)(0,0, t) = 0 0 0 = 0 ,即 AB _ CV ABCD =(-a,a2a20=0, 2即 AB

19、 _CD 又 CVDCDhC,二 AB _ 平面 VCD 又AB二平面VAB ,平面VAB _平面VCD (n)設直線BC與平面VAB所成的角為設n二(x, y, z)是平面VAB的一個非零法向量,則卩臂，y，z)a , a，0)-ax+ay=°,取 z"，得 x n°AV=(x, y, z)(-a, 0, t)二-ax tz=0,可取 n = (t, t, a)-又 CB 二(0 - a, 0)-ta于是sinta t +t2 +a2J2+a12 J考查綜合運用數(shù)學知識b(x2, y2)， r (0,), sin關于 t 遞增.1二 0 : sin '即

20、直線BC與平面VAB所成角的取值范圍為(0,419. 本小題主要考查直線、 圓和拋物線等平面解析幾何的基礎知識, 進行推理運算的能力和解決問題的能力.直線AB的方程為y =k x p與x2 = 2 p y聯(lián)立得x =2 p,y消去y得 y 二 k x p2 2x -2pkx - 2p =0 .由韋達定理得為，X2=2pk，片 x2 = -2 p2.是 SA ABN = SA BCN ' SA ACN=p 為一x2=p . (x! x2)2 4x2=p.4p2k2 8p2 =2p2 . k2 2，= -2p 捲x2 2當 k = 0 時，(Sa ABN )min = 2 ' 2P

21、? (n)假設滿足條件的直線 l存在，其方程為yAC的中點為O，l與AC為直徑的圓相交于點Q點的坐標為專，嚀OHa+p2=2 2a - % - p ,2pQ, PQ的中點為H，解法1： (I)依題意，點 N的坐標為N(0,_ p)，可設A(x, yj, PH2 2 2 1 2 2 1 2 =0卩OH = (y-i + p ) - Ra yip)44(| a 1p、三 +a(p_a),2丿PQ2 =(2 PH )2p=4 ayi a( pa)K 2/'1存在其方程八送令a，得a專，此時PQ = p為定值，故滿足條件的直線即拋物線的通徑所在的直線.解法2: ( I)前同解法1，再由弦長公式

22、得AB = Ji +k2 為 _x2 = Ji +k2. J(X| +x2)2 4X2 = Ji +k2 J4p2k2 +8p2又由點到直線的距離公式得=2p Jk2，廠2 ,1 1 2 p.從而 Saabn = d AB =2pJi +k2Jk2 +2H =2p2Jk2 + 2 ,2 2Jl + k2二當 k =0 時，(Sa ABN)min2p2 (n)假設滿足條件的直線1存在，其方程為y二a，則以 AC為直徑的圓的方程為(x -0)(x-xj -(y - p)(y -) =0 , 將直線方程y = a代入得xx1x (ap)(ayj = 0 ,p-4(a - p)(a-yj =4 a-?

23、 % a(p-a)設直線l與以AC為直徑的圓的交點為 P(x3, y3), Q(x4, y4),則有 PQ = xx4令a -衛(wèi)=0，得a=,此時PQ = p為定值，故滿足條件的直線2 2即拋物線的通徑所在的直線.l存在，其方程為y二衛(wèi),220. 本小題主要考查函數(shù)、不等式和導數(shù)的應用等知識，考查綜合運用數(shù)學知識解決問題的能力.解: (I)設y = f(x)與y=g(x)(x 0)在公共點(x0, y0)處的切線相同.t f (x) = x 2a ,g(x)=3£，由題意xf (Xo) = g(x。),122x0 +2ax。=3a In x。+b,2x。二 a，或 x。二-3a (舍

24、去).剛2丄3a2即c 2由xd 2a 得:x0 2a 二,x°即有 b =1 a2 2a2 3a2 In a = 5 a2 3a2 In a .2 25 22令 h(t) t -3t In t(t 0)，則 h(t)=2t(1-3I nt) 于是21當 t(1 -3In t) 0 ,即 0 ： t : e3 時，h (t)0 ；1當 t(13In t)<0,即t >e3時，h(t) c0 ./1、/ 1 、故h(t)在0,e3為增函數(shù)，在為減函數(shù),)'、 )r i、2一 3 一 于是h(t)在(0,十)的最大值為h e3 =3e3 .21 2 2(n)設 F(x

25、) = f (x)-g(x) x 2ax-3a In x-b(x 0), 2則 F(x) .x -23(a)(x 3a)(x 0).xx故F (x)在(0, a)為減函數(shù)，在(a,)為增函數(shù),于是函數(shù) F(x)在(0,)上的最小值是 F(a) = F(x°) = f (x°)-g(x°) =0 .故當 x 0 時，有 f (x) - g(x) > 0，即當 x 0時，f (x) > g(x).21本小題主要考查數(shù)學歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力.解法1: ( I)證：用數(shù)學歸納法證明：(i)當m =1時，

26、原不等式成立；當 m =2時，左邊=1 2x x2，右邊-V 2x , 因為x2 > 0，所以左邊 > 右邊，原不等式成立;(ii)假設當m二k時，不等式成立，即(V x)k > 1 kx，則當m二k T時, x -1, a 1 x0，于是在不等式(V x)k > 1 kx兩邊同乘以1 x得(1 x)k(1 x) > (1 kx)(1 x) =1 (k 1)x kx2 > 1 (k 1)x,所以(V x)k 1 > 1 (k 1)x .即當m = k 1時，不等式也成立.m> 1一綜合(i) (ii)知，對一切正整數(shù) m，不等式都成立.(n)證：當 n> 6, m< n時，由(I)得 1I n+3 丿丄mI n +3 丿n < 11- 1I n+3、nm|lLl n+3丿2)1 一丄nm =1,2,川，n .(川)解：由(n)知，當 n > 6時,+ C n+3 丿21 J1)< + 2 U丿fn