微分與函數(shù)圖切線斜率

1、二章微分與函數(shù)圖切線斜率2-1變化率與導函數(shù)1.給定一函y=fM及在定義域中的一點。，函數(shù)的瞬間變化率定義為:lim %+ )_%) 方 TO/?,其中算式八"+耐_/“）代表當x=q變動時，函數(shù)值跟著變動的比率，也就是當n變化成卄時，/+耐/（g）和h的比值。再加上力T0條件後，即可找出x瞬間變動時，函值/（刃的瞬間變化2. 函數(shù)y=/（x）的導函數(shù)定義爲：務=/©）=1 阿 小+什小），而f（x）的定義域爲使得該極限存在的所有X所組成，廣或 矢為/的導函數(shù)。 求導函數(shù)的過程稱為微分，與上述定義一比較可看出，一函數(shù)經微分後所得的 導函數(shù)代表原函數(shù)瞬間變化率。2-2微分的幾

2、何意義y = /W曲線在S丿）處之切線斜率等於fd） o圖中P點之座標為（/«），0點之座標為（xj（x）。則陀之割線斜率為：/7， x-a若當XTd時，Q-P，腔連線會變?yōu)檫^P點之切線，因而lim /（A） /（t/）即為P點切線的斜戈 t“x-a率*再比較微分定義，將（XT。）改用（X = d + /?必TO） 代入，貝»Jlim/（ Y）/（f/） = lim/（z + /?）/（n） xf x-ah= fa），故y = /（x）曲線在（dj（d）處之切線斜率等於廣）。14応屮物理課耗屮的數(shù)歿rju?求函數(shù)fM=x2 + 2在(1,3)的切線斜率。詳解由割線斜率之極限

3、推算切線斜率我們可先求出過(1,3)及(1+ ,/(1十力)兩點的割線斜。而當TO時割線斜率趨近切y線的斜率，亦即+)一/(I)_lim (1 +疔 + 2 3 _亦2 +獷 z h =zh= z h翹求拋物線y=x'-& + 9在(3,-6)處之切線方程式。詳解先微分出新函數(shù)後，再求值'令/(a)=a-2-8.v + 9，廣(x) = 2y8，故在(3, 6)處之切線斜率為廣(3)=2(3)-8=-2 »其切線方程式為y(一6) = ( 2心一3)或歹=一2丫。設f (x)=x' + 3x 4，試依導函數(shù)的定義式來計算廣(x)。dt2.dt3.承上

4、J 若 y = y(x) = anxn + a”-*" +a:x2 + axx + aQ、.dyr y = naxdxn-+ (/»- l)a”i牙八 +第沖 微分與必皈圖切線斜率15B三角函數(shù)第沖 微分與必皈圖切線斜率#第沖 微分與必皈圖切線斜率#cos cor = -co sin cor dt1. sinr = cosr dtr d2. cosr = - sinr dtdsin cor = co -coscor dt第沖 微分與必皈圖切線斜率#2-4微分在物理學上之應用微分在運動學上之應用：兀1.位置函數(shù)微分即為速度函數(shù)在物理學上瞬時速度的定義利唸，恰為創(chuàng)函數(shù)對r進行導

5、數(shù)計算，因此位置函數(shù)班/）的微分，可得速度函數(shù)M） 9心敘）如右，通過）和（2 ,也）兩點之割線斜率為丄一1，物理意義為平均速度。當2趨近n時，過（n,xi）之切線的斜率為 2 1lim衛(wèi)二二，即為在Z1之瞬時速度。e tl-t.質點作直線運動之x -，由斜率變化可看出此質點的速度變化I青況：詳解0 /!:往負方向運動，且逐漸變慢（斜率值漸減）/2 :瞬時速度為零（斜率值為零）/1-/2：往正方向運動，且逐漸變快（斜率值漸增）2 -心：往正方向運動，且逐漸變慢（斜率值漸減）3 :瞬時速度為零（斜率值為零）心-心：往負方向運動，且逐漸變快（斜率值漸增）2速度函數(shù)微分即為加速度函數(shù)：在物理學上加速

6、度的定義為lim竺，恰為以/）函數(shù)對 a/亠 Art進行導數(shù)計算，因此速度函數(shù)y的微分，可得加速 度函數(shù) d（o。d（/）=$ ”（”=羊 * x ）二":y） dt dt dtdrVr 譏如右圖'通過，刃）和"2）兩點之割線斜率為 _L，物理意義為平均加速 G Zi V.度。當2趨近"時，過，叩之切線的斜率為lim丄L即為在t之瞬時加速度。16斯屮物理課程屮的感侵I貝占某物運動位置與時間關係為x=3d &+4(兀:m；r： sec)，則該物：(l) v-r關係為何？(2) t= 10 秒時 1 x=? ； v=?(3) 10秒內的平均速度為何？(

7、4) 加速度為何？詳解(1"=莎=6/8(2) x(r=10) = 3X102-8X 10+4=224 m ；v (t= 10) = 6x 10 8 = 52 m/sx(10)-x(0)224-4 v= -io - = 22 m/sav , f 9 (4) a=2" =6 m/s1.為:x(t)=2t24t ；(單位:m ； sec)第沖 微分與必皈圖切線斜率17(1) 0到3秒內的平均速率？(2) 0到3秒內的平均速度？2.已知運動之位置%與時間t之關係為x=2”_4/ + 3，x以公尺為單位，f以秒為單 位，則：(1)最初此物離坐標原點多遠？(2) 瞬時速度為何？(3)

8、 何時離原點最近？其距離若干？(4) 由0秒至4秒物體之平均速度及平均速率各若干?(5) 第5秒末之加速度為何？(1)10Tm/s ； (2) 2 m/s2.(1) 3 m ； (2) 4 m/s ； (3) 1 sec » 1 m ； 4 ni/s，5 m/s ； 4 m/s23簡諧運動若有一質點作振幅為R之直線往復運動，以中心點為坐標原點，則物體的坐標X 必須符合下列函數(shù)才是簡諧運動：X=7?cos(er+(!) or X=Rsn(ot(J)第沖 微分與必皈圖切線斜率#2 n 若為水平振動，通常選擇以X=/?cos(3十0)來描述，其中R為振幅，3 =為 角頻率，0為常數(shù)，若0=

9、0代表由振動右端點開始計時，0HO則起始位置不在 右端點。._z/r位置函數(shù)的微分式代表速度函數(shù)：v= = -R(osin(Gjt+cP)dv速度函數(shù)的微分式代表加速度函數(shù)：2 2 2u_ 店 =RG)cos(3f十(I) = F=tna = _m3_X= _kx因此只要物體受淨力與位移成正比，方向相反者，就是簡諧運動，k為比例常數(shù)k=ma 9 &)；9 T=2jtOD某物體作簡諧運動時，其位置對時間的函數(shù)關係式為x=8 cos (十中)， 若X的單位為公尺，t的單位為秒，則下列哪一項不正確?(A)振幅為8公尺(B)週期為2秒(C)最大速度的量值為8(D)最大加速度的量值為8 2 (E

10、)角頻率為0.2次/秒。詳解(A)X = /?cos(6l>t + 0):可知 7? = 82兀(B) q=兀，7=2dx.、71(C) v=- = 7?6L)sin (cat+ 0)，v= Ssin (r + -)，vmax=/?6t)=S兀dvr兀r r(D) a= 7?6l)2cos(6J/+(/» )s= 8/r pos ( 7Tt+)amiX = Ra) = SiV(E) 角頻率6J=K，由以上討論可知，不正確選項為(E)。1. 一質點作簡諧運動時，其位置與時問的關係舄X=4 cos ( 2/)，其速度與時間的關 係為：(A) v=8 sin It (B) v=4 s

11、in It (C) v= 8 sin 2r (D) v= 4 sin It2. 已知S.H.M.物體之最大加速度為lOm/s?，最大速率為10m/s，則其：(1)週期為若干？振幅為若干?3. 地震時，如果地面運動的加速度太大，地面上的建築物會被破壞。杲建築物可以 承受的最大地面水平加速度為0.32 g (g為重力加速度)。假設地震時，該建築物18島屮物理課程小的皈學rji.'F基地的運動可視為水平簡諧運動，則角頻率為5.6弧度/秒的地震發(fā)生時，此建築物可承受的最大地面水平振幅為若干公分?89日大】2. 3.(1)2兀秒；10公尺3.10公分B微分在力學上之應用1.瞬時作用力盧=將；或動

12、量-時間圖中之切線斜率2功率：軍位時間內所作之功A wF- S 、(1)平為功率：歹=花廠=飛一=尸.(若尸為定力)瞬時功率：P=舸等=普=f S > = F r'吿尸'為定力)(3) 單立：焦耳砂(J/s)；瓦特(W )沿直線移動的質點，其動量對時間的關係如左下圖所示，下列何者可表示此物體受力的情形？c F O詳解動量圖中，斜率即為物體所受之作用力，此動量圖中前段斜率為零，後段 斜率為負值常數(shù)，故選(D)1 下列哪一個功率對時間(P -1)圖形，所代表的是質點受力作等加速度的情況？(A)(B)(C)(D)(E)P (功率)0p OPS微分在電磁學上之應用1. 法拉第定律

13、：在封閉線圈中，其感應電動勢等於通過迴路內磁通量的時變率。7通量：通過一線圈表面的磁力線總數(shù)，即磁場3垂直於線圈面的分量與線圈面積4 的乘積(j)t= B-A =B A cos。B ：磁場A :線圈面積 Q :磁場和線匱面法線之夾角公式：(1)平均感應電動勢5=_辻(2)瞬時感應電動勢£=字 1.產生磁通量變化厶伽可能原因為：(1)改變；(2)人改變；(3)3和A的夾角 Q改變。2.負號表示冷次定律，即感應電動勢的方向係產生一感應電流，其產生的感應 磁場用以阻止線圈中磁通量的改變。小華將一半徑爲的小線平放在電磁爐表面，假設某一瞬間通過小線圈的磁場B爲均勻而且和線圈面垂直，且磁場與時間

14、t的關係爲B(tài) (t )= /3 f其中B爲常數(shù)，則小線中的感應電動勢大小爲何?詳解0B=/3tx rxcos0 = /3krtd0Bdt -兀't)= -9感應電動勢大小為1同一材質與粗細的電阻線折成兩個邊長各爲加及盡 的正方 形，今將小正方形放置於大正方形內；兩者共面，且接觸處相互絕緣。均勻磁場B垂直於此平面'如右所示。若磁場隨時間/作均勻變化，求大、小正方形導線的:(1)感應電動勢的比？XXXXX X X Xx2ax x x(2)感應電流的比?2如右圖，通過迴線的磁通量與時間的關係為3r+5，R= 10Q，在t=2秒時R中的電流為：(A) 0.1安培。至b (B) 0.1安

15、培b至a(C) 0.3安培d至b (D) 0.3安培b至°(E) 0.5安培a至b20門屮物理課程屮的收歿r.HJ?3圓形線圈之半徑為R，有磁場B垂直通過此線圈之圈面。若廠與b為大於0之常數(shù)，r為時間，在下列情況下，關於線圈所生感應電動勢E的敘述中，錯誤的是:(A) 若R以R = rtm的方式增加，而磁場量值以B=bt的方式增加，則e =0(B) 若/?以R = r/tm的方式縮小(Q0)，而3以B = bt的方式增加，則E =-nrb(C) 若R以R =川門的方式增加，磁場B以B = b"的方式減少(Q0 )，則"一 7irb(D) 若/?保持不變，B以B = bt的方式隨時間遞增，則E=_ JlFTb(1)2 ： 1 ；近：12. A 3 ABC第沖 微分與必皈I胡切線斜率21第沖 微分與必皈I胡切線斜率212發(fā)電機發(fā)電機內線圈之磁通量：0 =BA cos (g計Q )Ndd).e = _=NBA esin (et+Q ) 9 e“=NBAeOD有一長方形線圈計10匝，其尺寸為20公分X 20公分，