河北省衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試(I)文科數(shù)學(xué)試題(含答案解析)

1、絕密啟用前河北衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（I ）文科數(shù)學(xué)本試卷4頁。總分150分?？荚嚂r(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1 .答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2 .回答選擇題時(shí),選出每小題答案后.用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需 改動(dòng).用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號。問答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上。寫在本 試卷上無效。3 .考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符 合題目要求的。1 .若集合A =- 集合3滿足AUB=A ,則B可以為A.B. 1|C. 1.2D

2、. -1,0,1,22 .設(shè)復(fù)數(shù)之=1痣必，則在復(fù)平面內(nèi)之對應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限3 .“直播電商”已經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長點(diǎn).某電商平臺的直播間主要經(jīng)營食品和服裝 兩大類商品.2020年前三個(gè)季度,該宜播間每個(gè)季度的收入都比上一季度翻了一番,整理前 三季度的收入情況如圖所示.則下列說法錯(cuò)誤的是A.該直播間第三季度的總收入是第一季度的4倍B.該直播間第三季度的服裝收入比笫一季度和第二季度的服裝總收入還要多C.該直播間第二季度的食品收入是第三季度食品收入的4D.該直播間第一季度的食品收入是第三季度食品收入的104.函數(shù)/Q）=的圖象大致為5 .已知函數(shù) /

3、（才）=sin H 7 .設(shè)a = /（兀氏），=/（）. 1"）< = /（ logy J 7t）,則 a ,b .c 的大小關(guān) 系是A. a>b>（:B. b>c>aC. c>b>aD, b>a>c6 .在鈍角三角形ABC中,冗克=（1 ,JM）, I衣H =1,S、a坎：=今"，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn),則I而I =AgB,fC 除D 1乙乙乙乙7 .已知函數(shù)/（才）=加占-2+的圖象恒過點(diǎn)（2.1）,若對于任意的正數(shù)"2.不等式工+ m nA恒成立.則實(shí)數(shù)八的最大值為A. 9B. 3 + 2 招C. 7D. 4

4、 728 .設(shè)拋物線/ = 2久3a>0）的焦點(diǎn)為F.傾斜角為夕的直線I經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)廠且與拋物線相交于M,N兩點(diǎn).若前俞=一2 俞z ,貝ij 5山20=2 四1V24"A虧B.5C.彳D,-9 .若各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列滿足%,+1=4n41«5 =256 .則使得不等式4"<133（1 + /二+ 石+ /二）成立的最大正整數(shù)的值為A. 5B. 6C. 7D. 810 .在平面內(nèi)，A （：是兩個(gè)定點(diǎn)，B是動(dòng)點(diǎn)，若彳方=就|四+病| = |無| 則ABC的 內(nèi)角A的最大值為 21 +4彳.0<?。?,11 .已知函數(shù)/"）=，1若函數(shù)

5、）=/（）於+4在區(qū)間 2,1上Kf（衛(wèi) + 2）,彳<0?2 ,有3個(gè)不同的零點(diǎn),則實(shí)數(shù)A的取值范圍是A. （ 4 2V3 f0） B. （ 1.0）C. （-4 + 273-.0）D. （，。）12.在中，AC = 2有，頂點(diǎn)B在以AC為直徑的圓上.點(diǎn)P在平面ABC上的射影為AC 的中點(diǎn)PA =2 .則其外接球的表面積為A. 127rB.學(xué)次C. *兀D. 161t34二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13 .若某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體 積為.14 .從古至今,文學(xué)與數(shù)學(xué)都有著密切的聯(lián)系.一首詩從末尾一字 讀至開頭一字另成一首新詩,稱之為“通體回文詩【數(shù)

6、學(xué)中也 有類似的情況：對一個(gè)整數(shù)從左向右和從右向左讀 其結(jié)果都是質(zhì)數(shù),可以稱它為“通體質(zhì)數(shù)”,若在閉區(qū)間10.301 中,任取一個(gè)整數(shù).則此整數(shù)是“通體質(zhì)數(shù)”的概率為.15 .對于雙曲線r=來說，我們定義圓一 +Zr212/=/為它的“伴隨圓”.過雙曲線三一號 =1（ >0）的左焦 a J俯視圖點(diǎn)F,作它的伴隨圓的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T.且這條切線與雙曲線的右支相交于點(diǎn)P.若M為PF1的中點(diǎn)，同在T右側(cè)，且|MO| 一 |MT|為定值J則該雙曲線的離心16.已知函數(shù)/Q)= sin 2? + sin 2/卜同時(shí)滿足下述性質(zhì)：若對于任意的:r12z率為文科數(shù)學(xué)試題第3頁（共4頁）以W W卜,

7、5）+/（/2）/（二3）恒成立;/（卷）點(diǎn)一八則a的值為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每 個(gè)試題考生都必須作答。第22.23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17. （12 分）已知數(shù)列（«“>是遞增的等差數(shù)列,打=:,且滿足。，是與的等比中項(xiàng).（1）求數(shù)列0的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列（一）的前項(xiàng)和.18. （12 分）如圖QAJ_平面A3C,DA=AC = l,0是AB的中點(diǎn)，ACO為 等邊三角形.（1）證明：平面ACD«L平面BCE；（2）若ADBE,P為CE的中點(diǎn),Q為線段OP上的動(dòng)點(diǎn)，判

8、斷三 棱錐Q ACD的體積是否為定值？若是,求出該定值；若不是.說明 理由.19. （12 分）電子煙是一種模仿卷煙的電子產(chǎn)品，有害公共健康.為研究吸食電子煙是否會(huì)引發(fā)肺部疾 病,某醫(yī)療機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了 100人進(jìn)行調(diào)查,吸電子煙與不吸電子煙的比例為1 ： 3 .整理數(shù)據(jù) 得到下表：感染肺部疾病未感染肺部疾病總計(jì)吸電子煙15不吸電子煙50總計(jì)（1）完成2X2列聯(lián)表.在犯錯(cuò)誤的概率不超過5%的前提下.能否認(rèn)為吸食電子煙與感染 肺部疾病有關(guān)？（2）為進(jìn)一步調(diào)查分析電子煙中誘發(fā)肺部疾病的成分因素，在感染肺部疾病的被調(diào)查人中， 按照吸電子煙和不吸電子煙這兩大類別.采用分層抽樣的方法抽取8人.從這8個(gè)人中

9、任取 2人進(jìn)行血液、痰液等相關(guān)醫(yī)學(xué)檢查求這兩個(gè)人來自同一類別的概率.參考公式及數(shù)據(jù):肥=7/，?的兒”魯/其中一十十c十乩（a 十十（、）（。十）P(K2>AW)0.0500.0100.0050.0013.8416,6357.87910.82820. （12 分）已知函數(shù) /（才） = sin /一e"T （a ER）.定義八7）的導(dǎo)函數(shù)為（?）./.（彳）的導(dǎo)函數(shù)為> 以此類推,若/（2020>（1）=sin 1.求函數(shù)/（2%+/（2）若 q>i .I>。,證明：/axo.21. （12 分）已知圓M：（w而）2+/ = 32.點(diǎn)q是圓M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

10、，點(diǎn)N（一疝,0）.若線段QN的 垂直平分線交線段QM于點(diǎn)T.（1）求動(dòng)點(diǎn)T的軌跡曲線。的方程；（2）設(shè)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)尸（2.1）,點(diǎn)R （異于原點(diǎn)）是曲線C內(nèi)部且位于）軸上的一個(gè)動(dòng) 點(diǎn)點(diǎn)S與點(diǎn)R關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線PR.PS分別與曲線C交于八，8（異于點(diǎn)P）兩點(diǎn).判斷直 線A3是否過定點(diǎn)？若過.求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不過,說明理由.（二）選考題：共1（）分.請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題 計(jì)分。22. 選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標(biāo)系中曲線C的參數(shù)方程為廣=''（?r0“為參數(shù)）以坐標(biāo)原點(diǎn)。為 y=t極點(diǎn)U軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐

11、標(biāo)系.直線/的極坐標(biāo)方程為PCOS卜+；）="；.（1）求直線/的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線2經(jīng)過曲線C的焦點(diǎn)T.且與曲線。交于M,N兩點(diǎn)，求 TN.23.1選修45：不等式選講工10分）已知函數(shù)/Gt）=|r 11.（1）求不等式/（x）/（2x4-4）,1的解集;（2）當(dāng)l<一1時(shí)/（ar）+/（z）+/>0恒成立.求實(shí)數(shù)a的取值范圍.文科數(shù)學(xué)試展第4頁（共4頁）文科數(shù)學(xué)參考答案及解析河北衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試（I ） 文科數(shù)學(xué) 3 一、選擇題1. C【解析】由題意得集合A = <l|0402,由選項(xiàng) 可知.集合（1,2）滿足題意.2. D【解

12、析】由題意可知於皿=3之=|痣+一。式= 2 - i.對應(yīng)包平面內(nèi)的點(diǎn)（2. -1）位于第四象限.3. D【解析】設(shè)第一季度的總收入為。則由題意可知. 第二季度的總收入為2°,第三季度的總收入為4a，故 A正確；由圖可知，該直播間第三季度的服裝收入為 4aX07 = 2,8，第一季度和第二季度的服裝總收入為 。義0.9 + 2。*。8 = 2.5”2&/,故15正確；該直播間第 二季度的食品收入為2“X0.2 = 0.4a 第三季度的食品 收入為4XO.3 = 1.2，號=故C正確；而第一季1.2a0度的食品收入是0.1«，不滿足是第三季度食品收入的 ，故D錯(cuò)誤.4

13、. B【解析】由函數(shù)奇偶性的定義可知，函數(shù)八%）為奇 函數(shù).所以排除選項(xiàng)A,當(dāng)彳=4時(shí)（2,4）,所以 排除選項(xiàng)C.D.5. C【解析】由題意得,（/）=cos、r-l40所以/（才） 在定義域上單調(diào)遞減.因?yàn)?gt; = hO<O.P< 0.l" = l,Iog,.i7tV0,所以 c»a.6. C【解析】由題意得I就1=2.由S = -AB I AC I sin A =咚，可得sin A =除.當(dāng)A = ?時(shí),易知八BC為宜角三角形.不合題意，舍去；當(dāng)A 一三時(shí).M而=4（益+元） 兩邊平方得|彳方|2=；（X1P + 44由題意可得I前1=21而I ,設(shè)I

14、FNI =才，則|FM| = 21.由拋物線的定義可知.|。7|=1.|»2|二21. 磊M = 1,所以 g =3i.在 AENC 中.I r m I1cos/ENC= 二 = 丁 = cos 九所以 sin 0 =.則 I < | VV9. C【解析】由題意可知,數(shù)列是公比為4的等比 數(shù)列.且3 = 16,所以*=4廠 /二=2冷一1 ,所以 右7也是等比數(shù)列.所以原不等式可以化筒為4" V 133X2。即2"V133,所以的最大值為7.10. A【解析】由|茄+法| = |而| = |茄一詫|,得 BDLBC,故點(diǎn)B在以CD為直徑的怩L匕設(shè)CD = Z

15、r.CD的中點(diǎn)為E,則|4七| = |（：。|=2廠,所以當(dāng)48與E8E相切時(shí),角A的最大值為011. C【解析】當(dāng)0 2.0）時(shí),才+ 20,2）,所以 /（）= £/（l十2）= 一7一2,畫出函數(shù)/（Z）的圖 象如圖所示,.2x了）衣2+2荏衣）=：X（4 + l + 2X2XlXcos日，所以|AO I =§. 447. A【解析】由函數(shù)的圖象過定點(diǎn)（2.1）,可得加+ = 1.14/ 14 且 m >0 , >0 ,所以 1 = （w + ）X（ 1 | = m n mn ）5 +幺+%>5+2在=9當(dāng)且僅當(dāng)m= 時(shí).m n33等號成立.8. D

16、【解析】如圖所示.過點(diǎn)M.N分別作準(zhǔn)線的垂線. 垂足分別為D.C,直線/與準(zhǔn)線交于點(diǎn)E.若滿足8（7）在區(qū)間-2.門上有三個(gè)零點(diǎn).則函數(shù) /Q）的圖象與過定點(diǎn)（1.0）的直線在區(qū)間一2.門上 有且只有三個(gè)不同的交點(diǎn).聯(lián)立廣二7" '二酎整理得 / +（£+2）一6=0令 4 = 0解得 = -4 + 273 或/： = 一4一2依（舍去3所以實(shí)數(shù)大的取值范用是 （- 4+2-,0）.12 . D 1解析】如圖所示,設(shè)AC的中點(diǎn)為O',外接球的球心為O.在RtZXPO'A中.j S（yp= 1 .設(shè)外接球的半徑為R,在5O'OC中（我一12+（

17、后> =k 解得 r=2所 以，外接球的表面積為4所2 = 16兀j二、填空題I13 .粵 【解析】由幾何體的正視圖可知.該幾何體底面: 的用形圓心角應(yīng)為120,所以，該幾何體的體積應(yīng)該j1147r6k為所在回錐體枳的木所以v= X-X4 = -.14 . y 【解析】由題意，一一列舉出區(qū)間口0,30內(nèi)的通 體質(zhì)數(shù),有U,13J7,根據(jù)古典概率模型，可以計(jì)算出 概率為十.15 .亭【解析】如圖,設(shè)匕為雙曲線的右焦點(diǎn),在 RtAOFiTrpJOFt I =<, IOTl=a,所以 I 丁Fi I =b, |M9|一|MF|=1 |PFz I -（IMFJ ITF, |）= ；lPFz

18、| 一 （； I PE | - I7凡 l） =：（| PF" 一3i|PF1|）+|丁瑪 1=6 -。=5一。=可？解得a = l,所可得，/(i)=*sin ( 21+16 , 0【解析】化簡f（1）=sin 2才+ sin （ 2jt +三）+ a ： 卷）+a.當(dāng)彳40.寧時(shí)，|2x +y-此時(shí)/（i）的最大值為VT+a ,最I(lǐng) 小值為竽+a .對于任意的6 ,必5 。號卜若滿 足） + /（*?）2/（八）怛成立，則只需點(diǎn)+ 2a > 點(diǎn)"+a ,即又因?yàn)?"+4一a'+癡.斛得。=0.三、解答題17 .解：（1）設(shè)數(shù)列（右 的公差為d.由

19、題意可得a： =。2。8 （?！?3d尸= （ai+74）.* ）1a尸萬，由于d>0.解得1d =2 ,所以a* =。】+（打-1）3=2.（5分）乙（2）記數(shù)列（一）的前項(xiàng)和為S., aM+i J由（D知一一,4,、=4（,. “叫1（刀十 1） ” n-v J口.1 Q A 111 1 I 1 1 I 仙則 S =4| 5-+-z 7"+H XT I Ti-（12 分）18. （1）證明：由題意可知，AD«L平面ABC 因?yàn)锽CU平面ABC.所以AD±BC. 又因?yàn)?OA=OB = OC,所以 ACLLBC. 因?yàn)?ADC1AC = A ,AD,ACU

20、平面 ACD. 所以8cL平面ACD.因?yàn)?CU平面BCE,所以平而ACDJ_平面BCE.（5分）（2）解：三核維QAC。的體積是定值.（6分）取3C的中點(diǎn)M連接PM.0M.如圖.因?yàn)?CP = EP,CM=BM,所以 PM/EB.因?yàn)?EB AD.所以 PM/AD.因?yàn)槠矫鍭CD ,ADU平面ACD, 所以PM平面ACD.同理可證明OM平面ACD.因?yàn)?PMCOM=M.所以平面OPM平面ACD又POU平面POM.所以尸0平面ACD.所 以 V三改暫Q.MD = VO-ACl） = V三統(tǒng)軍力."力="T XYX1=C（12 分）河北衡水中學(xué)2021屆全國高三第二次聯(lián)合考試

21、（I）文科數(shù)學(xué)19.解由題意可知2X2列聯(lián)表如下：感染肺部疾病未感染仲部疾病總計(jì)吸電子煙151025不吸電子煙255075總計(jì)4060100琬 e 八加、工 100X(15X50-25X10)2則P的觀測值k = -40X60X25X75-七556>3.841.所以在犯錯(cuò)誤的柢率不超過5%的前提下,能認(rèn)為吸食電子煙與感柒肺部疾病有關(guān).（5分）（2）由題意可知,在抽取的8人中吸電子煙的有8X15259=3（人）不吸電子煙的有8X9 = 5（人）.4040設(shè)吸電子煙的3人為1.2,3,不吸電子煙的5人為A,B,C,D,E,從8人中任選2人,則所有的可能結(jié)果為j28種；設(shè)事件A,這兩個(gè)人來自同

22、一類別,則有（1.2）.（1.：（8.。），（3,£）,9.。）9。.耳）.（。.£；）.共13種： 結(jié)果，（13i所以 P（A） = .（12 分）：20. （1）解：由題意知/Q） = cos工一GCi,，（«r）= -sin 1 一 all /u, （ x ） = - cos /一 ae'" , I （r） = sin 工一ac"一】，尸m = cos 工一。匕，所以函數(shù)J、”Cz）的周期是4,所以 r20W（x） = /m（x） = sinx-a-1.因?yàn)槭?幽«）=尸，（）= sin l-a=sm 1.所以 a=0.

23、/（b）= sin ：所以/（21+三）=呵2工+方）.（3分）!當(dāng)孑+ 2時(shí)<272氏兀，氏e Z,即一普+ i 23212上“WhW考+x,A £Z時(shí),/X.r）單期遞增；當(dāng)9 + 2K2h+ V J + 2E m E E Z,即卷+為式 *9+歸兀* £ Z時(shí)，/（才）單調(diào)遞減.：綜上.函數(shù)/（2、r + g）的單調(diào)遞增區(qū)間為一招十| 次£名,單調(diào)遞減區(qū)間為為+“書+ i ik ,66Z.（6 分）j（2）證明：當(dāng)以1時(shí).“iXsin4一十令 «（£>=1 -sin x ,則1 cos彳20,所以g（上）在區(qū)間0.+?？冢?上

24、單調(diào)遞增.g（k）2g（0）=0.所以sin所以f ,當(dāng)且僅當(dāng)工=0時(shí)取等號.（9分）令-Gr）=H-ei,則 l（Z）= l ©L.所以/?（工）在區(qū)間（0.1）上單調(diào)遞增.在區(qū)間（1, +8） 上單調(diào)遞減.所以*1）（九（1）一0,當(dāng)且僅當(dāng)/一1時(shí)取等號.故 fGr）V0.（12 分）21.解：（1）由題意可知，I TM I + I TN | = | TM| +I TQ=r = 2>MN | =276 ,所以動(dòng)點(diǎn)T的軌跡為以M,N兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓. 設(shè)楠圓的長軸長為2a,短軸長為20,焦距為2c，則 4 夜=2。,a=2 >c=V6 .Fh az-bz-c2 .得 6

25、=72 22所以曲線C的方程為5 + 5 = 1.（5分）O L（2）設(shè)苴線AB的方程為歹=&+八人（力.”）黯H = 1 由 82 消去不整理得（1 + 4/）/+8觸n +丁 =1+。，4尸一8 = 0.則 A = （8H» - 4（1+聯(lián)2）（4-8） = 16（取“一尸+2）>0,8M4/- 8川+會(huì)=- 4m Uz = 4"+廠又直線PA的方程為），-1 =紇3（一2）， 門2即空號.令1=0,得y(1 -2a)ii 2/2因此點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0.上筌尸包卜同理可得.S(1一202 2f*2 277?： <lAl-2k)x-2t-24)以一2i由。S=R。，得；+5=0,>T-2222化簡得(2 46)彳】心一(2 4£ + 2z)(/i + -)+& = 0,即 門 一 ”）乂會(huì)一,2 女 + 2，（一品）+& = 0,整理得 24 + 4A+/+，-2=0,即（i+2）（2A+z -