數(shù)值計算方法chap誤差PPT課件

1、模型誤差：實際問題的解與數(shù)學模型的解之差.觀測誤差：由觀測所產(chǎn)生的數(shù)學問題（模型） 中參量（數(shù)據(jù)）的誤差.截斷誤差：數(shù)學問題的準確解與數(shù)值方法所求 得的近似解之差. b)(a, )(12)()(2)()(311 fbfafabdxxfabIIRIIba舍入誤差：計算過程中對數(shù)字的舍取所產(chǎn)生的誤差.（計算機可以表示的數(shù)是有限的）第1頁/共35頁1.2.1絕對誤差與相對誤差的一個近似值的一個近似值為準確值為準確值設(shè)設(shè)xx*xxe *xxe *xxx * xx或或:絕絕對對誤誤差差:絕絕對對誤誤差差限限:可可以以表表示示為為.:絕絕對對誤誤差差限限不不唯唯一一注注1.2絕對誤差、相對誤差和有效數(shù)字第

2、2頁/共35頁例： 4 . 2 5 . 2 xx例：測得會議室的長為30m寬為10m，長的誤差不超過5cm, 寬的誤差不超過2cm, 如何表示？02. 010)( 05. 030)( 寬寬長長xy哪一個精度高？哪一個精度高？1 . 0e xx絕對誤差：絕對誤差：第3頁/共35頁相對誤差：*xexeer 相對誤差限： rer 兩種誤差限的關(guān)系：*xr rx * 002. 00016. 03005. 0)()(002. 01002. 0)()(* xyyxxxrr *2*2*1)()()(xexexexexxxxexexe 第4頁/共35頁1.2.2 有效數(shù)字位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為

3、為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：一般地，將一般地，將nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121數(shù)字。數(shù)字。的所有數(shù)字均稱為有效的所有數(shù)字均稱為有效位小數(shù)位小數(shù)的第一位非零數(shù)字到第的第一位非零數(shù)字到第從從位小數(shù)，位小數(shù)，準確到第準確到第則稱則稱的絕對誤差限為的絕對誤差限為如果近似值如果近似值nxnxxn ,1021第5頁/共35頁例如005800. 0 1021005800. 0 . 1*6 xx表示近似值表示近似值準確到小數(shù)點后第6位，有4位有效數(shù)字.4*10.145204600461452 2 .x.具有7位有效數(shù)字，其誤差限374*1

4、0211021 xx準準確確到到哪哪一一位位有有效效數(shù)數(shù)字字絕絕對對誤誤差差限限 第6頁/共35頁有效數(shù)字和絕對誤差限的關(guān)系（準確到哪一位）有效數(shù)字和絕對誤差限的關(guān)系（準確到哪一位）位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則如果如果為為為整數(shù)，為整數(shù)，其中其中表示成規(guī)范形式：表示成規(guī)范形式：nxxxaamaaaxxnmimn ,10210, 9010. 0121;, 0;, 0;, 0,1021位位準確到個位前的第準確到個位前的第準確到個位準確到個位位位準確到小數(shù)點后第準確到小數(shù)點后第若若nxnxnnxnxxn 4*1021)(,2376490 xx 且且例：例：.3*位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有則則x第7頁/

5、共35頁的相對誤差限滿足的相對誤差限滿足若若反之反之相對誤差限相對誤差限為其為其則則位有效數(shù)字位有效數(shù)字有有的近似值的近似值若若定理定理*11121*,1021,)0(10. 01 . 1xanaaaaxxnmn 1110) 1( 21 nra .*位有效數(shù)字位有效數(shù)字至少具有至少具有則則nx111*102110. 011021| nmnnmaaax mnmnraax 102110. 010)1(21|111 第8頁/共35頁1.3數(shù)值計算中誤差的傳播1.3.1基本運算中的誤差傳播的近似值，則的近似值，則為為處可微，處可微，在點在點設(shè)設(shè)iinnxxxxxfxxxfy*2121),.,(),.,

6、( )().,( ).,().,()(*n1i*2*1*2*121*iinnnxexxxxfxxxfxxxfye )(),.,( ).,()()(*n1i*1*2*1*irniinrxexxfxxxxxfyyeye 第9頁/共35頁特別地，和、差、積、商的誤差公式為： )()()()()()(22121211212121xexxxxexxxxxexexexxerrr )()()()()()(2121211221xexexxexexxexxxerrr )()()()()(1)(212122211221xexexxexexxxexxxerrr第10頁/共35頁 )()()()()()()()()(

7、212121212121xxxxxxxxxxxxrrrrrr 即和、差的絕對誤差限不超過各數(shù)的絕對誤差限之和，積、商的相對誤差極限不超過各數(shù)的相對誤差限之和.第11頁/共35頁1.3.2 算法的數(shù)值穩(wěn)定性算法：預先設(shè)計計算問題近似解的運算順序穩(wěn)定性：在按一個算法的計算過程中，數(shù)據(jù)誤差和舍入誤差在計算過程中不增長，則稱算法是穩(wěn)定的；否則稱算法是數(shù)值不穩(wěn)定的.).,2, 1 ,0(5:10 ndxxxInn計算下列積分的近似值計算下列積分的近似值例例 10101111555ndxxdxxxxIInnnnn第12頁/共35頁算法*010018232155. 02 . 1ln51 IdxxI 取取).

8、, 2 , 1( 51 1 nInInn按公式按公式依次計算,21II近似值.nIInn151 第13頁/共35頁n(算法算法)00.1823215510.0883922520.0580387530.0431395840.0343020850.0284895860.0242187570.0217633980.0161830590.0301958810-0.05097941110.3458061212-0.64569726138.3054093814-41.45561831*nI第14頁/共35頁估計估計nI0122222. 0)751901(21*14 I11100011116165551()

9、()nnnnxx dxIdxx dxnxn第15頁/共35頁算法 由于取 ) 1( 51) 1( 6121*nnIn按公式)1(511kkIkI )1 ,., 1,( nnk)., 2 , 1( 151 nnIInn計算0122222. 0)751901(21*14 I例如第16頁/共35頁n(算法算法)00.1823215510.0883922220.0580389230.0431387340.0343063350.0254683560.0243249170.0212326080.0188369990.01692617100.01536914110.01406339120.013016361

10、30.01184127140.01222222*nI0011. 0)901751(2114 01222222. 0)901751(21*14 I第17頁/共35頁0*00 eII 設(shè)設(shè)01*11*) 5(555eeIIIIennnnnnn nnkkeeee)51 ( ,51 01 分析什么原因：由算法)., 2 , 1( 511 nInInn對算法) 1, 1,( )1(511 nnkIkIkk第18頁/共35頁 關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法 一個程序往往要進行大量的運算才能得出結(jié)果，每一步的運算都可能會產(chǎn)生舍入誤差。 在運算過程中，舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法；否則，就稱之為

11、不穩(wěn)定的算法。第19頁/共35頁1.4數(shù)值計算中應(yīng)注意的問題1.4.1. 避免兩個相近的數(shù)相減yxyexeyxer )()()(有效數(shù)字嚴重丟失。有效數(shù)字嚴重丟失。差很大差很大很接近時，差的相對誤很接近時，差的相對誤與與當當yx兩數(shù)之差x-y的相對誤差為第20頁/共35頁一般地， 當 x 充分大時，應(yīng)作變換：xxxx 111)1(1111 xxxx當x接近零時，應(yīng)作變換xxxxxxcos1sinsincos1 ,2sin2cos12 第21頁/共35頁 例：如用四位有效數(shù)字計算: 結(jié)果只有一位有效數(shù)字;如改為: : 有四位有效數(shù)字。避免了兩個相近數(shù)的相減。.170130 0384048.170

12、1313 04130 04.11170130 0384013 041317013第22頁/共35頁 例：用四位浮點數(shù)計算解: : 只有一位有效數(shù)字, ,有效數(shù)字大量損失, ,造成相對誤差擴大。結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說明了算法設(shè)計的重要性。 117 5 97 6 0225110.1318 100.1316 100.2 107597605611110.1734 10759760759 7600.5768 10第23頁/共35頁1.4.2.1.4.2.避免大數(shù)避免大數(shù)“吃吃”小數(shù)小數(shù). . 計算機在進行運算時，首先要把參加運算的數(shù)對階，即把兩數(shù)都寫成絕對值小于1而階碼相同的數(shù)。 如 ，必須改寫成

13、 如果計算機只能表示8 8位小數(shù)，則算 出 ，大數(shù)“吃”了小數(shù)。 這種情況有時允許，有時不允許。 9101a10100.1 100.0000000001 10a100.1 10a第24頁/共35頁 例如: : 被大數(shù)吃掉了。如按 , , 就沒有被吃掉。這也是構(gòu)造算法時要注意的問題。1010,10, abca1010101010101010100abcb0acbbbb第25頁/共35頁 例:一元二次方程x2(109+1)x+109=0其精確解為 x1=109, x2=1。 如用求根公式: :和8 8位的計算機求解, ,有 及 ; ;則 的值與精確解差別很大。若用 因此, ,算法的選用很重要。21

14、,242bbacxa21891894104 101010 bac99101109999912( 10 )10( 10 )1010 ,022 xx2x292992422 1012( 10 ) 104 bbaccxabbac第26頁/共35頁1.4.3.1.4.3.避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值避免除數(shù)絕對值遠小于被除數(shù)的絕對值 , , 當 時, ,舍入誤差會擴大。例: : 的舍入誤差均為 , ,而 , ,則的舍入誤差為: :很小的數(shù)作除數(shù)有時還會造成計算機的溢出而停機。 2xyyxxyy xy , x y30.510 *710yx xy 7311214100.510151010 xxxx 第

15、27頁/共35頁1.4.4.簡化計算，減少運算次數(shù)，提高效率例如 計算ln2的近似值，要求誤差不超過510 算法: 由 1111121234()lnnn 絕對誤差限11 n 由51011 n1105 n得nxxxxxnn 132) 1(.32)1ln( 第28頁/共35頁算法 129 ) 12(1.951931132311311ln2lnnn絕對誤差限899) 12(13291119) 12(132 nnnn 由510 5 n得224111ln2 (1)13521nxxxxxxn第29頁/共35頁又如計算n次多項式的值0111.)(axaxaxaxpnnnnn 再作線性組合再作線性組合先計算先計算,.,.32nxxxa需2n-1次乘法運算，0121).)(.()(axaxaxaxaxpnnnn n次加法運算，2n+1個存儲單元需n次乘法運算，n次加法運算，n+2個存儲單元按按秦秦九九韶韶算算法法. b第30頁/共35頁1.4.5.選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法.問題：什么叫數(shù)值穩(wěn)定性好的算法？舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法,穩(wěn)定性好指的是誤差可控范圍可以很小。第31頁/共35頁介紹MATLAB matlab語言是由美國的Clever Moler博士于1980年開發(fā)的 設(shè)計者的初衷是為解決“