第三章_幾何光學的基本原理

1、NoImage第第3 3章章 幾何光學的基本原理幾何光學的基本原理 光的干涉、衍射現(xiàn)象，說明光是一種電磁波；光的傳播過程就是光的干涉、衍射現(xiàn)象，說明光是一種電磁波；光的傳播過程就是無窮次波的相干迭加；光的行為可用其時空周期性無窮次波的相干迭加；光的行為可用其時空周期性波長、振幅和波長、振幅和位相來描述。因此，波動光學從光的本性出發(fā)，位相來描述。因此，波動光學從光的本性出發(fā)，精確地精確地描述了光現(xiàn)象。描述了光現(xiàn)象。 事實上，在很多情況下，不考慮光的波動性，不用光的時空周期事實上，在很多情況下，不考慮光的波動性，不用光的時空周期性，而代之以簡單的幾何方法，就可得到與實際基本相符的結(jié)論（如性，而代之

2、以簡單的幾何方法，就可得到與實際基本相符的結(jié)論（如光的反射、折射成像等）。光的反射、折射成像等）。 這種撇開光的波動本性，而僅以光的直線傳播為基礎(chǔ)，研究光這種撇開光的波動本性，而僅以光的直線傳播為基礎(chǔ)，研究光在透明介質(zhì)中有傳播規(guī)律的學科稱為在透明介質(zhì)中有傳播規(guī)律的學科稱為幾何光學，也稱為光線光學。幾何光學，也稱為光線光學。 由于光的直線傳播性對于光的實際行為只具有近似的意義，僅由于光的直線傳播性對于光的實際行為只具有近似的意義，僅是波動的近似，所以，將它作為基礎(chǔ)的幾何光學，只能用于是波動的近似，所以，將它作為基礎(chǔ)的幾何光學，只能用于有限的有限的范圍范圍和給出和給出近似的結(jié)論。？近似的結(jié)論。？引

3、引 言言在所研究的對象中，若其幾何的尺寸遠在所研究的對象中，若其幾何的尺寸遠遠大于所用光波的波長（如對一定大小遠大于所用光波的波長（如對一定大小的透鏡或面鏡，研究由它們成像的物距的透鏡或面鏡，研究由它們成像的物距和像距等），則由幾何光學可以獲得與和像距等），則由幾何光學可以獲得與實際基本相符的結(jié)果；反之，當其幾何實際基本相符的結(jié)果；反之，當其幾何尺寸可以跟波長相比擬，此時需撇開光尺寸可以跟波長相比擬，此時需撇開光的直線傳播的概念，而采用以光的波動的直線傳播的概念，而采用以光的波動性質(zhì)為基礎(chǔ)的波動光學來研究。性質(zhì)為基礎(chǔ)的波動光學來研究。即：幾即：幾何光學所研究的是波動光學在障礙物尺何光學所研究的

4、是波動光學在障礙物尺寸遠大于寸遠大于 波長時的極限情況。波長時的極限情況。NoImage第第3 3章章 幾何光學的基本原理幾何光學的基本原理主要內(nèi)容主要內(nèi)容 以光的直線傳播為基礎(chǔ)，以光的直線傳播為基礎(chǔ)，用光線、波面的概念和幾何方法來近似描述光的傳播行為；用光線、波面的概念和幾何方法來近似描述光的傳播行為；利用費馬原理和新笛卡爾符號法則，研究光在平面、球面介利用費馬原理和新笛卡爾符號法則，研究光在平面、球面介面上的成像規(guī)律。面上的成像規(guī)律。教學目的：教學目的：1. 1. 牢固掌握牢固掌握新笛卡爾符號法則、高斯公式、牛頓公式新笛卡爾符號法則、高斯公式、牛頓公式；2. 2. 掌握掌握光具組基點基面光

5、具組基點基面的物理意義和作用；的物理意義和作用；3. 3. 能正確運用能正確運用物象公式和作圖求象法求解成象問題物象公式和作圖求象法求解成象問題；4. 4. 理解理解虛物、實象、虛象虛物、實象、虛象概念及其性質(zhì)。概念及其性質(zhì)。 NoImage第第3 3章章 幾何光學的基本原理幾何光學的基本原理3.1 3.1 基本概念及基本實驗定律基本概念及基本實驗定律一、光線與波面一、光線與波面1.1.光線：光線：形象表示光的傳播方向的幾何線。形象表示光的傳播方向的幾何線。說明：說明： 同力學中的質(zhì)點一樣，光線僅是一種抽象的數(shù)學模型。同力學中的質(zhì)點一樣，光線僅是一種抽象的數(shù)學模型。 它具有光能，有長度，有起點

6、、終點，但無粗細之分，它具有光能，有長度，有起點、終點，但無粗細之分，僅僅 代表光的傳播方向代表光的傳播方向。任何想從實際裝置（如無限小的孔）。任何想從實際裝置（如無限小的孔） 中得到中得到“光線光線”的想法均是徒勞的。的想法均是徒勞的。 光束：無數(shù)光線構(gòu)成光束：無數(shù)光線構(gòu)成光束光束。 光沿光線方向傳播時，位相不斷改變。光沿光線方向傳播時，位相不斷改變。NoImage2.2.波面：波面：光傳播中，位相相同的空間點所構(gòu)成的平面或曲面。說明： 波面即等相面，也是一種抽象的數(shù)學模型。 波面為平面的光波稱為平面光波（如平行光束）；為球面的 稱為球面光波（如點光源所發(fā)光波）；為柱面的稱為柱面光波（如縫光

7、源所發(fā)光波）NoImage3.3.光線與波面的關(guān)系光線與波面的關(guān)系 在各向同性介質(zhì)中，光線總是與波面法線方向重合。即光線與波 面總是垂直的。平面波球面波柱面波二、幾何光學的基本實驗定律二、幾何光學的基本實驗定律1.1.直線傳播定律：直線傳播定律：在均勻介質(zhì)中，光總是沿直線傳播的。（小孔成像，物體的影子）即：在均勻介質(zhì)中，光線為一直線。2i1i1i1n2n2.2.介質(zhì)表面時的反射定律和折射定理：介質(zhì)表面時的反射定律和折射定理：NoImage折射定律：折射定律：2i1i1i1n2n 折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)；（三者一面） 折射線、入射線分居法線兩側(cè)； vcnisinnisinn11223.

8、3.獨立傳播定律：獨立傳播定律：4.4.光路可逆原理：光路可逆原理： 自不同方向或不同物體發(fā)出的光線相交時，對每一光線的傳播不發(fā)生影響。即各自保持自己原有的特性，沿原方向繼續(xù)傳播，互不影響。在幾何光學中，任何光路都是可逆的。 反射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)； 反射線、入射線分居法線兩側(cè)； 11ii反射定律：反射定律：由此，我們借助光線的概念，應用某些基本的實驗定律及幾何規(guī)律，來研究光的直線傳播和成像問題NoImage3.2 3.2 費馬原理費馬原理極值BAdsn 光在均勻介質(zhì)中總是沿直線傳播的，光在非均勻介質(zhì)中又是怎樣傳播的？費馬借助光程的概念，回答了該問題。一、費馬原理（一、費馬原理（16

9、571657年提出）年提出）1 1、表述：、表述： 光在空間兩定點間傳播時，實際光程為一特定的極值。即：光沿光程為最小值、最大值或恒定值的路程傳播。2 2、表達式：、表達式：nBAdsBAdsn0:或3.3.說明：說明：意義：費馬原理是幾何光學的基本原理，用以描繪光在空間兩定點間的傳播規(guī)律。 用途：A.可以推證反射定律、折射定律等實驗定律。由此反證了費馬原理 的正確性. 極值的含義：極小值，極大值，恒定值。一般情況下，實際光程大多取極小值。費馬本人最初提出的也是最短光程。 B.推求理想成象公式。NoImage二、費馬原理的證明二、費馬原理的證明1 1、直線傳播定律：（、直線傳播定律：（在均勻介

10、質(zhì)中在均勻介質(zhì)中）.:,得證傳播光在均勻介質(zhì)中沿直線故的極小值為直線兩點間直線距離最短而由公理在均勻介質(zhì)中ABdsdsndsnconstnBABABA2 2、折射定律：（、折射定律：（在非均勻介質(zhì)中在非均勻介質(zhì)中） i2 n2 B C A C CBAn1 O OPMi1 XYZ如圖示：點發(fā)出的光線入射到兩種介質(zhì)的平面分界面上，折射后到達點。 折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi)折射線在入射線和法線決定的平面內(nèi) 只需證明折射點C點在交線OO上即可.:,)(,:,: ,所決定的平面內(nèi)折射線在入射線和法線故上折射點應在交線即因而假設(shè)錯誤這與費馬原理不符而非要極小值光程中斜邊最長有上找到其垂足必可在則線外

11、位于設(shè)有另一折射點利用反證法OOrtBCBCACACCOOOOCBACBACNoImage折射線、入射線分居法線兩側(cè)折射線、入射線分居法線兩側(cè)i2 n2 B A CBAn1 O OPMi1 XYZ11, yx22, yx0 ,xA、B、C點坐標如圖示。沿此方向入射，必有1xx入射線分居法線兩側(cè)折射線即故必有由費馬原理有光程、xxxxxxxxxyxxxxnyxxxxndxdyxxnyxxnCBnACnABC:000:21221222222212111222222121121NoImage1122sinsininin1222221121222222212111222222121121sinsin0

12、sinsin:ininininCBCBnACCAnyxxxxnyxxxxndxdyxxnyxxnCBnACnABC由費馬原理有光程i2 n2 B A CBAn1 O OPMi1 XYZ11, yx22, yx0,x由于反射、折射定律是由于反射、折射定律是實驗定律，是公認的正實驗定律，是公認的正確的結(jié)論，所以，費馬確的結(jié)論，所以，費馬原理是正確的。原理是正確的。同理：也可證明反射定律。NoImage3.3 3.3 單心光束單心光束 實像和虛像實像和虛像光線在各種情況下的行進方向：成像問題是幾何光學研究的主要問題之 一。光學元件質(zhì)量的高低是以成像質(zhì)量來衡量的。為學習研究成像規(guī)律，首先介紹幾個基本概

13、念。一、單心光束、實像、虛像一、單心光束、實像、虛像1 1、發(fā)光點：、發(fā)光點：只有幾何位置而沒有大小的發(fā)射光束的光源。 它也和光線一樣，是一個抽象概念，一個理想模型，有助于描述物和像的性質(zhì)。點光源就是一個發(fā)光點。若光線實際發(fā)自于某點，則稱該點為實發(fā)光點；若某點為諸光線反向延長線的交點，則該點稱為虛發(fā)光點。2 2、單心光束：有一定關(guān)系的一些光線的集合，稱為光束。、單心光束：有一定關(guān)系的一些光線的集合，稱為光束。只有一個交點的光束，亦稱同心光束。 該唯一的交點稱為光束的頂點。反之稱為像散光束。發(fā)散單心光束會聚單心光束按照波動光學的觀點，波面的法線即為光線，所以在各向同性的均勻光學介質(zhì)中，單心光束與

14、球面波相應；發(fā)光點在無限遠的單心光束與平面波相應。NoImage實象：有實際光線會聚的象點。 虛象：無實際光線會聚的象點。 （光束反向延長線的交點）。 當頂點為光束的發(fā)出點時，該頂點稱為光源、物點。3 3、像、物、像、物實物點：發(fā)散的入射單心光束的頂點（P）虛物點：會聚的入射單心光束的頂點（P）P PP P實像虛像 對能保持單心性的光束，一個物點能且只能 形成一個像點，即物與像形成一一對應關(guān)系。當單心光束經(jīng)折射或反射后，仍能找 到一個頂點，稱光束保持了其單心性。即光束的單心性沒有被破話，該頂點便是發(fā)光點的像，稱為象點。 實象點：會聚的出射單心光束的頂點（P）虛物點：發(fā)散的出射單心光束的頂點（P

15、）NoImage二、實物、實像、虛像的聯(lián)系與區(qū)別二、實物、實像、虛像的聯(lián)系與區(qū)別1 1、成像于視網(wǎng)膜上的只是光束的頂點而非光束本身。、成像于視網(wǎng)膜上的只是光束的頂點而非光束本身。 光通過渾濁的空間時，塵埃微粒作為散射光束的頂點被看到，而不是看到了光束本身； 宇航員看到的潔凈的宇宙空間是漆黑的，是由于沒有塵埃作為散射源。2 2、人眼以剛進入瞳孔前的光線方向判斷光束頂點位置、人眼以剛進入瞳孔前的光線方向判斷光束頂點位置 單獨用人眼無法直接判斷頂點是否有實際光線通過實發(fā)光點實像虛像NoImage 對人眼而言，無論是物點還是像點，是實像還是虛像，都不過是發(fā)散光束的頂點，二者之間沒有區(qū)別。 實物、實像、

16、虛像的區(qū)別PP P A A：P與P、P P各處可見；而由于透鏡大小的限制，P和P僅在光束范圍內(nèi)可見。B B：P與P 置一白紙于P、 P處，由于有實際光線通過， P是亮點；由于無實際光線通過， P處看不到光點。 NoImage光學系統(tǒng)光學系統(tǒng)實物成虛象實物成虛象光學系統(tǒng)光學系統(tǒng)物空間物空間像空間像空間實物成實象實物成實象光學系統(tǒng)光學系統(tǒng)虛物成實象虛物成實象a. 實物成實像實物成實像 b. 實物成虛像實物成虛像 c.虛物成實像虛物成實像d.虛物成虛像虛物成虛像NoImage3.4 3.4 光在平面介面上的反射和折射光在平面介面上的反射和折射 光學纖維光學纖維保持物、像在幾何形狀上的相似性，是理想成

17、像的基本要求。保持光束的單心性是保持形狀相似從而實現(xiàn)理想成像的保證。所以，研究成像問題就歸結(jié)為研究如何保持光束單心性問題。 一般情況下，光在介面上反射和折射后，其單心性不再保持。但只要滿足適當?shù)臈l件，可以近似地得到保持。接下來的兩節(jié)，主要研究在不同介面反射、折射時，光束單心性的保持情況。NoImage一、光在平面上的反射一、光在平面上的反射DM MP PCBA如圖示：點光源P發(fā)出單心光束，經(jīng)平面鏡反射后，形成一束發(fā)散光束，其反向延長線交于一點P，且與P點對稱。顯然，反射光束仍為單心光束，說明在此過程中光束保持了其單心性，是一個理想成像過程 P是P的虛像。平面鏡是一個不破壞光束單心性、理想成像的

18、完善平面鏡是一個不破壞光束單心性、理想成像的完善的光學系統(tǒng)。并且也是唯一的一個。的光學系統(tǒng)。并且也是唯一的一個。NoImage二、光在平面分界面上的折射二、光在平面分界面上的折射1 1、光束單心性的破壞、光束單心性的破壞xB1 B2 n2 n1 O y P2 P1 PPi1 i2 i1+i1 i2i2 A1 A2 z 介質(zhì)n1中的發(fā)光點P發(fā)出單心光束經(jīng)兩面界面XOZ折射后進入介質(zhì)n2，現(xiàn)取其中一微元光束（如圖示），在XOY平面內(nèi)，其折射光束的反向延長線交于P點，并與OY軸交于P1、P2兩點。 0 ,1xy, 01, 0 y0 ,2x, yx2, 0 y各點坐標如圖示：經(jīng)計算（見附錄31）可得（

19、折射定律和三角關(guān)系可得）23122221121322212222212122212221212111111itgnnnnyyitgnnyxxnnynnyxnnynnyNoImagexB1 B2 n2 n1 O y P2 P1 PPi1 i2 i1+i1 i2i2 A1 A2 z為此將該圖繞y軸轉(zhuǎn)過一個小的角度，則頂點為P的三角形PA1A2展成一個單心的發(fā)散光束。將PA1、PA2沿OY軸旋轉(zhuǎn)一微小角度成一立體微元，則：P、P1、P2三點不動，而交點P將畫出一小圓?。ń埔暈榇怪庇赬OY平面的一小段直線）。所以，光束內(nèi)任一條光線與Y軸的交點均處在直線P1P2（弧矢焦線）內(nèi)，但不相交；交點P也處在直

20、線PP（子午焦線）上，也不相交。即：發(fā)光點經(jīng)折射后，成象為兩條相互垂直的焦線而不是象點，稱為象散。折射后，光束的單心性已被破壞。折射后，光束的單心性已被破壞。2 2、象似深度、象似深度yynnynny。，P、PPynnyyyxi1212211221100象似深度光束保持其單心性三點重合在一點和時即光束垂直入射到分界當由任意兩條光線由任意兩條光線 光源光源P發(fā)出的狹窄的空間光束發(fā)出的狹窄的空間光束y物距物距y=60cm像距像距y=40cm水水n1=1.5空氣空氣n2=1例：水深度為例：水深度為60cm處有一處有一個青蛙，在水面上方看到的個青蛙，在水面上方看到的青蛙上升了多少青蛙上升了多少cm?解

21、：解：12nnyy 像方折射率像方折射率物方折物方折射率射率像距像距物距物距上升的高度為上升的高度為H=(1-n2/n1)*(水水深度深度)NoImage三、全反射三、全反射 光學纖維光學纖維1 1、全反射：、全反射：xA3 n2 n1 O y Pi1 i2 ic A1 A2 .,90,sinsin:102112211212折射線光線將全部反射不再有時當可使時當而增大且有折射角隨入射角的增大時當由折射定律有cciiiiiiinninni只有反射而無折射的現(xiàn)象稱為全折射。只有反射而無折射的現(xiàn)象稱為全折射。臨界角其中全折射條件1210121121sin90sinsin:nnnniiinncc021

22arcsinin,.nc 12nnisinc 玻璃到玻璃到空氣的空氣的臨界角臨界角 特殊情況：特殊情況：倏逝波原理：倏逝波原理：光束在全反射時折射波的性質(zhì)光束在全反射時折射波的性質(zhì))()(tisinzkicosxkitrkieAeAE 2222220202在入射平面（在入射平面（xoz）內(nèi)，透射的折射波：）內(nèi)，透射的折射波：由折射定律：由折射定律：211222122211/isinnnisinicos 全反射時：全反射時： 21122212/cisinisinnnicos 如果：如果： cii 1 21212212/cisinisinnniicos )()(tisinn

23、nzkiisinisinnnxkexpAEc 121221212212202所以：所以： 倏逝波光強與界面入射深度倏逝波光強與界面入射深度 dp 的關(guān)系的關(guān)系2令：令： 121212212)( cpisinisinnnkd得：得： )(2021212tisinnnzkidxeeAEp 2212210sin2nin xpd代表一個沿z方向傳播但振幅在x方向按指數(shù)衰減的波，這種波稱為倏逝波如倏逝波如P122圖圖3.2NoImage2 2、光學纖維、光學纖維iicii 20n1n2n8 . 11n單根構(gòu)造：內(nèi)層：外層：4 . 12n原理：.22一端次全反射從一端傳到另的光線在兩層介質(zhì)間多的光線折射出

24、光纖cciiii在頂角為在頂角為2i2i的園錐體內(nèi)的光線，的園錐體內(nèi)的光線，均能在光纖內(nèi)順利傳播。均能在光纖內(nèi)順利傳播。直徑約為幾微米至幾十微米的單根或多根玻璃(或透明塑料)纖維.（低損耗透明介質(zhì)）222101222212101010190nnisinnnnisinnnisinnisinnisinnisinnisinn:ccc由折射定律有光線在光纖內(nèi)發(fā)生全反射光線在光纖內(nèi)發(fā)生全反射時，入射角滿足的條件時，入射角滿足的條件全反射的應用全反射的應用利用全反射規(guī)律而是光線沿著彎曲路程傳播的光學元件。利用全反射規(guī)律而是光線沿著彎曲路程傳播的光學元件。NoImageNoImage四、棱鏡四、棱鏡EDCB

25、1i2i2i1i1 1、偏向角、最小偏向角：、偏向角、最小偏向角：AiiAiiiiii11222121偏向角 棱鏡是一種由多個平面界面組合而成的光學元件。光通過棱鏡時，產(chǎn)生兩個或兩個以上界面的連續(xù)折射，傳播方向發(fā)生偏折。最常用的棱鏡是三棱鏡（如圖示）。三棱鏡兩折射面的夾角稱三棱鏡頂角A。 An2 n1 出射光與入射光之間的夾角稱棱鏡的偏向角。如果保持入射線的方向不變，而將棱鏡繞垂直于圖面的軸線旋轉(zhuǎn)，則偏向角將跟著改變。也就是說，當折射棱鏡角給定時，偏向角隨著入射角的改變而改變。NoImage222220110011Aii :;Ai :,Ai:,ii,:折射角入射角此時最小偏向角達最小值時即當光

26、路對稱可以證明EDCB1i2i2i1iAn2 n1 2sin2sinsinsin:, 1,02121AAiinn則由折射定律有即中若此時三棱鏡處于空氣說明：說明：只要測出最小偏向角，就可以確定棱柱型透明物體的折射率。只要測出最小偏向角，就可以確定棱柱型透明物體的折射率。之所以利用最小偏向角而不用任意偏向角，是因為它在實驗中最容之所以利用最小偏向角而不用任意偏向角，是因為它在實驗中最容易精確地被測定。易精確地被測定。(2) 掠入射法掠入射法 21211isinnsinisinniia 2121asinacossinnBCAn2i1i1i 2 2、應用、應用 棱鏡光譜：當用白光入射時，由于折射 率

27、的不同，出射光將展開成彩帶即光譜。 所以，三棱鏡也是一種分光裝置。 全反射棱鏡：改變光路如右圖示450 450 若光線自光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，入射角大于折射角當光線若光線自光疏介質(zhì)進入光密介質(zhì)，入射角大于折射角當光線以以9090 角入射角入射( (掠掠射射) )時仍有光線進入光密介質(zhì)，此時的折射角亦為臨界角時仍有光線進入光密介質(zhì)，此時的折射角亦為臨界角除掠入射光線除掠入射光線1 1外，外，其它光線如光線其它光線如光線2 2在在ABAB面上的入射角均小于面上的入射角均小于9090 ，因此經(jīng)三棱鏡折射，最后從，因此經(jīng)三棱鏡折射，最后從ACAC面折射進入空氣時，都在光線的左側(cè)由于入射角面折射進入空氣

28、時，都在光線的左側(cè)由于入射角i i不可能比不可能比9090 大，因而在三大，因而在三棱鏡內(nèi)不可能出現(xiàn)比臨界角大的光線，即棱鏡內(nèi)不可能出現(xiàn)比臨界角大的光線，即ACAC 面上出射的光線中，沒有比面上出射的光線中，沒有比角小角小的折射光線，故稱的折射光線，故稱為極限角當用望遠鏡對準為極限角當用望遠鏡對準ACAC 面觀察時，面觀察時，視場中將看到明視場中將看到明暗兩部分，其分界線就是暗兩部分，其分界線就是i i=90=90 的掠入射引起的極限角方向的掠入射引起的極限角方向 熱光源熱光源 線光源線光源 棱鏡的色分辨本領(lǐng)：棱鏡的色分辨本領(lǐng)： ddnP 第四章第四章2003年年12月月21日下午日下午18時

29、許，烏魯木齊市東南方向地平線處時許，烏魯木齊市東南方向地平線處的空中，隱約的空中，隱約“飄浮飄浮”著幾幢建筑物，大約著幾幢建筑物，大約25分鐘后又消失在分鐘后又消失在人們的視線中人們的視線中。海市蜃樓海市蜃樓 分分 析析 經(jīng)常要用經(jīng)常要用!試證雙鏡兩次反射定理：光線被交角等于試證雙鏡兩次反射定理：光線被交角等于 的的兩鏡面反射時，反射光線和入射光線的交兩鏡面反射時，反射光線和入射光線的交角等于兩個鏡面交角角等于兩個鏡面交角 的兩倍。的兩倍。例例:解：根據(jù)幾何學外角公式，由圖可知解：根據(jù)幾何學外角公式，由圖可知)(212ii 而：而：故：故： 2 212122iiii )()( i2i11360

30、0max N兩鏡面間的成兩鏡面間的成像個數(shù)：像個數(shù)： NoImage3.5 3.5 光在球面介面上的反射和折射光在球面介面上的反射和折射一、球面的幾個概念一、球面的幾個概念 符號法則符號法則 球面頂點：O 球面曲率中心：C 球面曲率半徑：r 球面主軸：連接O、C而得的直線。 主截面：通過主軸的平面。 2 2、符號法則：、符號法則：為使計算結(jié)果普遍適用，對線段和角度正負取法的規(guī)定。1 1、基本概念：、基本概念： 線段長度均從頂點頂點算起： A、凡光線與主軸交點在頂點右方右方者線段長度數(shù)值為正為正； 凡光線與主軸交點在頂點左方左方者線段長度數(shù)值為負為負； B、物點或像點至主軸的距離在主軸上方為正上

31、方為正，下方為負下方為負。 光線的傾角均從主軸或球面法線算起，并取小于900的角度；由主軸 （或法線）轉(zhuǎn)向有關(guān)光線時： A、順時針轉(zhuǎn)動，角度為正；B、逆時針轉(zhuǎn)動，角度為負。（注意：角度的正負與構(gòu)成它的線段的正負無關(guān)）（注意：角度的正負與構(gòu)成它的線段的正負無關(guān)）沿軸線段垂軸線段新笛卡爾法則r C O主軸研究光在球面的反射和折射，是研究一般光學系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。研究光在球面的反射和折射，是研究一般光學系統(tǒng)成像的基礎(chǔ)。NoImage 圖中出現(xiàn)的長度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正負。yQ無論光線從左至右還是從右至左，無論是球面反射還是折射，以上符號法則均適用。以下的討論假設(shè)光線從左至右進行。以

32、下的討論假設(shè)光線從左至右進行。二、球面二、球面反射反射對單心性的破壞對單心性的破壞 P ACOP -s -r -s-u i-i-ull從主軸上P點發(fā)出單心光束，其中一條光線在球面上A點反射，反射光與主軸交于P點。即P為P的像。按符號法則，各有關(guān)線段和角度的正負如圖所示。s 物距 s 象距! !,不適用對llcos2cos2:,2222rsrrsrlsrrsrrlACPPAC由余弦定理有中和在NoImage P ACOP -s -r -s-u i-i-ullcos2cos22222rsrrsrnsrrsrrnnlnlPAP 光程對給定的物點，不同的入射點，對給定的物點，不同的入射點， 對應著不同

33、的入射線和反射線，對應著不同的入射線和反射線， 對應著不同的對應著不同的 。lslsrlllrslsrrsrlnsrrlnddddPAPPAPPAP111:0:0sin2sin2).(,0:即化簡有由此處是恒定值取得極值時當由費馬原理可知對一定的球面和發(fā)光點P（S一定），不同的入射點對應有不同的S。 即：同一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點。同一個物點所發(fā)出的不同光線經(jīng)球面反射后不再交于一點。由由P P點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被破壞點所發(fā)出的單心光束經(jīng)球面反射后，單心性被破壞NoImage三、三、近軸光線條件近軸光線條件下球面反射的物像公式下球面反射的物像公式1 1

34、、近軸光線條件、近軸光線條件rsslslsrllsrsrrsrrsrlssrrsrrsrrl211:111:221cos,222222得由很小時當即：對一定的反射球面（即：對一定的反射球面（r r一定），一定），和一一對應，而與入射點無關(guān)。和一一對應，而與入射點無關(guān)。 由P點所發(fā)出的單心光束，經(jīng)球面反射后將交于一點P，光束的單心 性得以保持。一個物點將有一個確定像點與之對應。光學上稱： 很小的區(qū)域為近軸（或傍軸）區(qū)域，此區(qū)域內(nèi)的光線為近軸光線在近軸光線條件下：像點稱為高斯像點；研究物像關(guān)系的內(nèi)容為高斯光學。NoImage2 2、物像公式、物像公式2rss有當焦點：沿主軸方向的平行光束經(jīng)球面反射

35、后將會聚于 主軸上一點，該點稱為反射球面的焦點(F)。 ACOP -s -r -sFf焦距：焦點到球面頂點的距離（ ）。它同樣遵守符號法則。它同樣遵守符號法則。 2rf球面反射物像公式111fss說明：說明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近軸條件下成立；2、式中各量必須嚴格遵從符號法則；3、對凸球面反射同樣適用；4、當光線從右至左時同樣適用。NoImage例題：例題：3-13-1P129例3-3 一個點狀物放在凹面鏡前0.05m處，凹面鏡的 曲率半徑為0.20m，試確定像的位置和性質(zhì).COP s-r -sP解解：設(shè)光線從左至右 mrsrssrssmrms1 . 02 . 005. 020

36、5. 02 . 02:21120. 005. 0:得由球面反射成像公式已知最后像是處于鏡后0.1米處的虛像虛像。當光線從右至左時，可得到相同結(jié)論。說明符號法則均適用NoImage四、球面四、球面折射折射對光束單心性的破壞對光束單心性的破壞cos2cos2:,2222rsrrsrlsrrsrrlACPPAC由余弦定理有中和在cos2cos22222rsrrsrnsrrsrrnlnnlPAP 光程 Pn -u-i1 A -i2 n uCP O r -s sll設(shè)n0:實像S0:虛像虛像在物空間,但實際存在的是像空間的發(fā)散光束,故像方折射率仍為n. POP -s -s物空間像空間P Ps -s物空間

37、像空間S0:虛像NoImage 焦點、焦距F fA、像方焦點 F、像方焦距f像方焦距得由物像公式時當rnnnsfrnnsnsns:,B、物方焦點F、物方焦距fnn O -ss nn O -ss F -f物方焦距得由物像公式時當rnnnsfrnnsnsns:,C、nnff ffnn “”號表示ff 與永遠異號，物、像方焦點一定位于球面兩側(cè)。NoImage 球面反射從數(shù)學處理上可視為球面折射的特例在球面反射中，物像空間重合，且入射光線與反射光線行進方向相反在數(shù)學處理方法上，可假設(shè)：nn物理上無意義rnnsnsnnnff:球面折射rssff211:球面反射六、理想成象的兩個普適公式六、理想成象的兩個

38、普適公式 1 1、高斯公式：、高斯公式：11:sfsfsrnnnsrnnnrnnsnsn變形為將物像公式高斯公式 對任何理想成像過程均適用NoImage2 2、牛頓公式：、牛頓公式： PnnCP O r -s sxfxfFF若將取值原點由頂點O改為物、像方焦點F、F，則有如下關(guān)系（如右圖示）:1:ffxxxffxffxfsxfs化簡可得則高斯公式變?yōu)? 3、說明：、說明：;, 1,三者等效在球面折射中ffxxsfsfrnnsnsn 高斯公式、牛頓公式是近軸條件下理想成像的普適公式。只是在不同 情況下，焦距的形式不同而已。牛頓公式 對任何理想成像過程均適用rssrff2112:高斯公式球面反射如

39、NoImagecmsnrnnnsrnnsnsnnncmrcms16:6 . 1, 1,2,5:11111111代入數(shù)據(jù)得由折射成像公式已知P133 例3.4 一個折射率為1.6的玻璃啞鈴，長20cm，兩端的曲率半徑為 2cm。若在離啞鈴左端5cm處的軸上有一物點,試求像的位置和性質(zhì)。 O2 s1 nn -s1 n O1 -s2 -s2 P1 P2 P 解解 ：兩次折射成像問題。兩次折射成像問題。1、P為物對球面O1折射成像P1 2、P1為物對球面O2折射成像cmsnrnnnsnncmrcms10:11, 6 . 1,2,41620:22222代入數(shù)據(jù)有同已知也可用高斯公式、牛頓公式求解！NoI

40、mage3.6 3.6 光連續(xù)在幾個球面上的折射光連續(xù)在幾個球面上的折射 虛物虛物 實際的光學系統(tǒng)大多由兩個或兩個以上的球面所構(gòu)成。研究多個球面上的折射成像更具實際意義。一、共軸光具組一、共軸光具組1 1、定義：、定義：由兩個或兩個以上的球面所構(gòu)成的，其曲率中心處在同一條直線上的光學系統(tǒng)，稱為共軸光具組。該直線為共軸光具組的光軸。反之，稱為非共軸光具組。5n4n3n2n1n1P1P4P3P2P2 2、共軸光具組的特點：、共軸光具組的特點： 光在連續(xù)折射時，前一球面的像就是后一球面的物； 通過前一球面的光束必須能全部或部分通過次一個球面，才能保 證整個系統(tǒng)最后能夠成像。光線是近軸的。NoImag

41、e二、逐個球面成像法二、逐個球面成像法1 1、定義：、定義：依球面的順序，應用成像公式逐個對球面求像，最后得到整個共軸光具組的像。5n4n3n2n1n1P1P4P3P2P4P3P2P12d2S1S2 2、方法特點及注意事項、方法特點及注意事項 必須在近軸光線條件下使用，才能得到最后像。 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空間是次一球面的物空間；前一球面的折射線是后一球面的入射線。（如上圖所示） 必須針對每一個球面使用符號法則。對哪個球面成像就只能以它的頂點為取值原點，不能混淆。 計算次一個球面物距時要考慮兩個球面間的距離。（如上圖所示）.:121122始終取正值其中dsdsNoImag

42、e三、虛物三、虛物1P1P4P3P2P5n4n3n2n1n4P3P2P1 1、定義：、定義：會聚的入射光束的頂點，稱為虛物。如上圖中P4 發(fā)散的入射光束的頂點，稱為實物。如上圖中P1、P2和P3。2 2、說明：、說明： 實物、虛物的判斷依據(jù)A、入射光束： 發(fā)散實物；會聚虛物B、物所處空間： 物空間實物；像空間虛物 虛物處永遠沒有光線通過。（實物不一定，如P1、P2有， P3 無） 虛物仍遵從符號法則。（如上圖中S40） 虛物處像空間，但對應的卻是物空間的會聚光束，故折射率就取 物方折射率。（與虛像類似。如上圖中P4：物方折射率為n4 NoImage3.7 3.7 薄透鏡薄透鏡一、透鏡一、透鏡1

43、 1、定義：、定義：用玻璃或其它透明介質(zhì)研磨拋光為兩個球面或一個球面一個 平面所形成的薄片。通常做成園形。2 2、分類：按表面形狀分、分類：按表面形狀分 凸透鏡：中間部分比邊緣厚的透鏡。1o2o2c1r2r2c1o2o1c2r1r 凹透鏡：中間部分比邊緣薄的透鏡。彎凸平凸雙凸1c2c1o2o1r2r1o2o1c1r2r1c2c1o2o1r2r雙凹平凹彎凹2c2o1c1o2r1rNoImage3 3、有關(guān)透鏡的幾個概念：、有關(guān)透鏡的幾個概念： 主軸： 兩球面曲率中心的連線。 21cc2c2o1c1o2r1r 主截面：包含主軸的任一平面。有無窮個。注意：由于透鏡為園形，主軸為其對稱軸，所以各主截面

44、內(nèi) 光線分布均相同，只需研究一個面內(nèi)的成像就行了。 孔徑： 垂直于主軸方向透鏡的直徑。 厚度： 兩球面在主軸上的間距。 21oo當透鏡厚度與其曲率半徑相比可以忽略不計時，稱為薄透鏡； 當透鏡厚度與其曲率半徑相比不可忽略不計時，稱為厚透鏡。NoImage二、近軸條件下薄透鏡的物像公式二、近軸條件下薄透鏡的物像公式2c2o1c1o2n1nnPPsst2r1rAA P s111 rnnsnsn 第一個球面：221112rnnrnnsnsn在近軸光線條件下，對透鏡兩面的折射過程分別應用球面折射成象公式（逐個球面成像法）：1 1、物像公式、物像公式 第二個球面面：22 2rnntsnsn對薄透鏡， ，略

45、去 后，兩式相加得： ,0stt即t薄透鏡物像公式薄透鏡物像公式NoImage2 2、討論：、討論：對薄透鏡 重合為一點 ， 稱為光心，它是薄透鏡 中所有長度量的取值原點。 21, 0oot和o.,21點的光線不改變方向通過光心時當onn 當光線從左至右時：.00;00虛像實像實物虛物ssss當光線從右至左時，成像公式同樣成立：.00;00實像虛像虛物實物ssss 薄透鏡的會聚和發(fā)散，不僅與其形狀有關(guān)，還與兩側(cè)的介質(zhì)有關(guān)：.,;,:21凸透鏡是發(fā)散鏡凹透鏡是會聚鏡時當凹透鏡是發(fā)散鏡凸透鏡是會聚鏡時當則設(shè)nnnnnnn空氣中的空氣中的薄透鏡薄透鏡NoImage 高斯公式高斯公式221122211

46、1221112limlim:rnnrnnnsfrnnrnnnsfrnnrnnsnsn像方焦距物方焦距得物像公式由ss薄透鏡高斯公式物像公式變?yōu)?:sfsf111:fssff高斯公式變形為當透鏡兩邊介質(zhì)相同時 薄透鏡簡化模型薄透鏡簡化模型 牛頓公式牛頓公式 仍成立。ffxxoFFffoFFff凸透鏡凹透鏡NoImage1 1、定義：、定義：在近軸光線和近軸物的條件下，像的橫向大小與物的橫向大小之比。三、橫向放大率三、橫向放大率yy2 2、說明：、說明：oFFffyysxsxPPQQ 對處于同種介質(zhì)中的薄透鏡 ，21nn ,fxxfssssyyOQPPOQ也可表示為相似于 像的性質(zhì)判斷：縮小像放大

47、像倒立像正立像1100NoImage四、薄透鏡作圖求像法四、薄透鏡作圖求像法1 1、主軸外的近軸物點、主軸外的近軸物點 作圖求象法是利用透鏡光心、焦點、焦平面的性質(zhì)，通過作圖來確定象的位置或光的傳播方向。在近軸條件下適用。 方法：利用如圖所示的三條特殊光線中的兩條，其折射后的交點即 為所求像點。QQoFFQoFFQNoImage2 2、主軸上的物點、主軸上的物點 物方焦平面：在近軸條件，過物方焦點F且與主軸垂直的平面。 像方焦平面：在近軸條件，過像方焦點F且與主軸垂直的平面。 付軸： 焦平面上任一點與光心O的連線。有無窮條。 焦平面的性質(zhì)：OFPOPFOPFOPF物方焦平面像方焦平面NoIma

48、ge利用物方焦平面第一條第二條付軸：P OPFP BA利用像方焦平面OPF P BAOPFP BAOPFBANoImage3.8 3.8 近軸物點近軸光線成像條件近軸物點近軸光線成像條件 前幾節(jié)研究了在近軸光線條件下，主軸上的發(fā)光物點的反射和折射成像規(guī)律。實際的物體總有一定的大小，它可以看成由無數(shù)個發(fā)光物點構(gòu)成。這些發(fā)光物點有的在主軸上，有的在主軸外。因此，研究具有一定大小的物體的成像，就歸結(jié)為研究主軸外的發(fā)光物點的反射、折射成像。一、費馬原理的推論一、費馬原理的推論PQ y-xAOh PQ-y費馬原理：光在空間兩定點間傳播時，光程總是取極值。 兩點一定，其極值為一個確定值。 無論這兩點間有多

49、少條實際光路，每條光路（即光線）的光 程都必須且只能等于這個確定值。要使物體上的任一點Q（定點）理想成像于Q（另一定點），即從Q點發(fā)出的所有光線經(jīng)反射或折射后均會聚于Q，必須滿足：從Q點發(fā)出的所有光線到達Q時，光程均相等。費馬原理的推論等光程成像原理，適用于所有理想成像過程NoImage二、近軸物近軸光線球面反射成像二、近軸物近軸光線球面反射成像PQ y-xAOh PQ-yssA 1 1、物像公式、物像公式 由近軸物點Q發(fā)出的光線，一條在球面頂點O處反射，另一條在球面任意位置A點處反射，兩反射光交于Q點。 由圖可求得從Q點到Q點的光程為：22222222syhxsshyxsxsyhxshyAQ

50、QAQAQrsshsysyhsysyssxshyxshyQAQQAQ211222,)()()()(222并略去高次項有展開用二項式定理將對近軸物點和近軸光線NoImage當反射點A的位置不同時，h值將不同，因而會得到不同的光程值。 若要使Q點理想成像于Q點，由費馬原理的推論，光程必須為唯一定值， 即其光程與h無關(guān)。為此令上式中所有含h的項的系數(shù)為0，有：sysyrss002112 2、說明、說明 上述式實為 ，即主軸外任一物點經(jīng)球面反射的成 像公式，由于Q點的任意性，垂直于主軸的近軸物體亦滿足此公式。rss211 此公式是一般公式，對主軸外、主軸上的物點均適用。 當軸上物點P和近軸物點Q具有同

51、一 物距 s 值時，軸上象點P和近 軸象點Q必有同一象距 s值，物和象具有幾何相似性，即近軸光條 件下近軸物可實現(xiàn)理想成象。 上述式反映了物與像的大小關(guān)系 ，可由圖中幾何關(guān) 系直接得到。 ssyyNoImage 從公式推導中可看出：主軸外物點要理想成像，必須滿足近軸條件： A、光線必須是近軸的； B、物點必須是近軸的。三、近軸物近軸光線球面折射成像三、近軸物近軸光線球面折射成像1 1、物像公式、物像公式 PQ yOA h+x -s sPQ-y n n近軸物點Q發(fā)出的兩條光線分別在球面的O點和A點發(fā)生折射，折射光交于Q點。2222xshynxshynAQnQAnQQQAQ的光程為：形類似，從同近

52、軸物球面反射的情NoImage在近軸光線和近軸物點條件下，用二項式定理展開并略去高次項得：rnnsnsnhsynsnyhsynsnysnnsQAQ222222 當折射點A的位置不同時，h值將不同，因而會得到不同的光程值。 若要使Q點理想成像于Q點，由費馬原理的推論，光程必須為唯一定值， 即其光程與h無關(guān)。為此令上式中所有含h的項的系數(shù)為0，有：rnnsnsnsynsny002 2、說明：、說明： 上述式實為 ，即主軸外任一物點經(jīng)球面折射的成 像公式，由于Q點的任意性，垂直于主軸的近軸物體亦滿足此公式。 所以，它是一般公式，對主軸外、主軸上的物點均適用。 rnnsnsnNoImage 由上述公式

53、可知：若近軸線狀物垂直于主軸，則其像為線狀也垂直于主 軸，滿足理想成像條件。 上述式反映了物與像的大小關(guān)系： nnssyyssyynn:,:關(guān)系球面反射的物像的大小則此公式變成若令NoImage例題例題 3-33-3 用一個焦距為20cm的凸透鏡與一個平面鏡組成共軸光具組，平面鏡位于透鏡右邊10cm處，今置高為1cm的物體于透鏡左方10cm處（系統(tǒng)處于空氣中），（1）求最后成像的大小和性質(zhì)；（2）作出準確的光路圖。 解解：此題屬三次成像問題。如圖示。y1 y3 y2 y F1 O1 F1 O2 （1）物y對凸透鏡 s1= -10cm f1=20cm 由高斯公式有：cmfsfss20201020

54、)10(11111 1=s1/s1=(-20)/(-10)=2y1=1y=21=2cm（2）y1對平面鏡 s2= -10-20= -30cm s2= -s2=30cm 2=1 y2=2cmNoImage（3）y2對凸透鏡 s3=30+10=40cm f3= -20cm有cmfsfss402040)20(40333333=s3/s3=(-40)/40= -1 y3=3y2=(-1)2= -2cm 最后成像在凸透鏡左方40cm處，為放大、倒立的實像。光路圖如下：y y1 y3 y2 F1 O1 F1 O2 NoImage3.9 3.9 理想光具組的基點基面理想光具組的基點基面 對由多個球面組成的共

55、軸光具組，在近軸條件下，可采用逐個球面成像法，應用單個球面的成像公式依次求解，得到最后像。事實上，實際共軸光具組由眾多的球面所構(gòu)成且球面與球面間相對位置關(guān)系并不知道，逐個球面成像法用起來并非簡單、有效。能有更簡單有效的處理方法嗎？ 由薄透鏡成像的計算法和作圖法可知：只要知道了其幾個基本位置（取值原點光心、焦點），就可相當簡單地求出像的位置和性質(zhì)。這為求解多球面的共軸光具組問題，給予了啟示。 將復雜共軸光具組簡單化，找出其類似于薄透鏡光心和焦點的基本位置，用類似于薄透鏡求像的方法，在根本不考慮光一其內(nèi)部實際的傳播路徑的情況下，解決復雜共軸光具組求像問題。這是以下幾節(jié)在解決的問題。為解決這一問題高

56、斯提出了理想光具組的模型，建立了光具組的一般理論。NoImage一、理想光具組一、理想光具組1 1、定義、定義： 能保持光束單心性，保持像和物在幾何上的相似性的光具組， 即能理想成像的光具組。2 2、說明：、說明： 在高斯理想光具組中，物方的任一點、線、面，在像方均存在與 其共軛的點、線、面。 高斯理想光具組理論就是建立點與點、直線與直線、平面與平面 之間的共軛關(guān)系的純幾何理論。 理想光具組的近軸成像理論稱為高斯光學；幾何光學原理稱為 高斯光學原理。3 3、共軸光具組與理想光具組：、共軸光具組與理想光具組： 在近軸區(qū)域內(nèi)，實際光具組可看成理想光具組。 在高斯理論中，除滿足近軸條件外，并不要求光

57、具組是“薄”的。 研究光具組的成像問題，只需建立一系列的基點和基面（如主點、焦點、主平面和焦平面），利用它們就可描述光具組的主要光學特性，而不用去考慮光具組中的實際光路，使問題大大簡化。NoImage 由兩個球面所構(gòu)成的厚透鏡是最簡單的共軸光具組。由構(gòu)成它的單球面的基點可求出整個光具組的基點基面位置。同樣，采用逐個球面成像的思想，可求出任意多個球面所構(gòu)成的共軸光具組的基點位置。二、空氣中的厚透鏡二、空氣中的厚透鏡ssn2O1OFFQQt2r1r如圖示，F(xiàn)、F為厚透鏡的焦點，Q為Q經(jīng)厚透鏡所成的像。在近軸條件下使用逐個球面成像法求解。22112121111111:2,111:2,11:1nrnf

58、nrnfffrntsnsrnssnQ則的物方焦距為球面的像方焦距為設(shè)球面成像其像為物對球面成像對球面NoImage。，Os，Ostffnftfstffnftfstffnftfsssfntsnsfnssn用上式求像相當復雜為原點是以為原點是以由于有消去兩式中的上述成像公式變?yōu)?1212212121211212111011:研究發(fā)現(xiàn)，只要選擇適當?shù)娜≈翟c，可使上式簡化為與薄透鏡相似形式的成像公式。現(xiàn)將物方取值原點從O1移至H點，像方取值原點從O2移至H點，上式可變?yōu)椋?1,:111HOpHOpfpsps其中ssn2O1OFFQQt2r1rppHHff122121:ftfpftfptffnfff可以求得。f整體的像方焦距是厚透鏡作為一個NoImagess.111:,:,式形式相同與空氣中薄透鏡成像公成像公式為像距像方取值原點物距物方取